Що таке домен і діапазон y = 4 / (x ^ 2-1)?

Відповідь:

Домен: # (- oo, -1) uu (-1, 1) uu (1, oo) #

Діапазон: # (- oo, -4 uu (0, oo) #

Пояснення:

Найкраще пояснюється через графік.

графік {4 / (x ^ 2-1) -5, 5, -10, 10}

Можна бачити, що для домену граф починається з негативної нескінченності. Потім він переходить у вертикальну асимптоту при x = -1.

Ось і фантазія math-talk для графа не визначається при x = -1, тому що при цьому значення у нас є #4/((-1)^2-1)# що дорівнює #4/(1-1)# або #4/0#.

Оскільки ви не можете розділити на нуль, ви не можете мати точку на x = -1, тому ми залишаємо її поза домену (нагадаємо, що домен функції - це сукупність всіх значень x, які виробляють y-значення).

Потім, між -1 і 1, все нормально, тому ми повинні включити його в домен.

Речі починають набувати фанк при x = 1 знову. Ще раз, коли ви підключаєте 1 для x, результат буде #4/0# тому ми повинні виключити це з домену.

Підсумовуючи це, домен функції дорівнює від негативної до -1, потім від -1 до 1, а потім до нескінченності. Математичний спосіб висловити це # (- oo, -1) uu (-1, 1) uu (1, oo) #.

Діапазон відповідає тій же ідеї: це набір всіх y-значень функції. З графіка видно, що від негативної нескінченності до -4, все добре.

Потім починаються речі на південь. У y = -4, x = 0; але тоді, якщо ви спробуєте y = -3, ви не отримаєте x. Годинник:

# -3 = 4 / (x ^ 2-1) #

# -3 (x ^ 2-1) = 4 #

# x ^ 2-1 = -4 / 3 #

# x ^ 2 = -4 / 3 + 1 = -1 / 3 #

#x = sqrt (-1/3) #

Не існує такої речі, як квадратний корінь з негативного числа. Це говорить, що деяка кількість квадратів дорівнює #-1/3#, що неможливо, оскільки квадратичне число завжди має позитивний результат.

Це означає #y = "-" 3 # є невизначеним і тому не є частиною нашого асортименту. Те ж саме справедливо для всіх y-значень від 4 до 0.

З 0 вище все добре до всього до нескінченності. Наш діапазон - тоді негативна нескінченність до -4, потім 0 - до нескінченності; у математичних термінах, # (- oo, -4 uu (0, oo) #.

Загалом, щоб знайти домен і діапазон, потрібно шукати місця, де справи підозрілі. Як правило, це стосується поділу на нуль, прийняття квадратного кореня з негативного числа тощо.

Всякий раз, коли ви знайдете точку, подібну до цього, видаліть її з домену / діапазону і побудуйте нотації.