Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) Обчислити значення очікування в будь-який пізніший час t = t_1, phi_n є власні функції енергії нескінченного потенціалу свердловини. Напишіть відповідь в термінах E_0?

Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) Обчислити значення очікування в будь-який пізніший час t = t_1, phi_n є власні функції енергії нескінченного потенціалу свердловини. Напишіть відповідь в термінах E_0?
Anonim

Ну, я отримую # 14 / 5E_1 #… і з урахуванням обраної вами системи, вона не може бути повторно виражена в термінах # E_0 #.

У цьому питанні порушено багато правил квантової механіки …

  • The # phi_0 #, оскільки ми використовуємо нескінченні потенційні рішення для свердловин, автоматично зникає … #n = 0 #, тому #sin (0) = 0 #.

А для контексту ми дозволили #phi_n (x) = sqrt (2 / L) sin ((npix) / L) #…

  • це є неможливо написати відповідь в термінах # E_0 # оскільки #n = 0 # НЕ існує для нескінченної потенційної ями. Якщо ви не хочете, щоб частинка зникають , Я повинен написати це з точки зору # E_n #, #n = 1, 2, 3,… #…

  • Енергія є константою руху, тобто. # (d << E >>) / (dt) = 0 #…

Так що тепер…

#Psi_A (x, 0) = 1 / sqrt3 sqrt (2 / L) гріх ((pix) / L) + 1 / sqrt2 sqrt (2 / L) sin ((2pix) / L) #

Значення очікування є константою руху, тому нам не цікаво, який час # t_1 # ми вибираємо. Інакше це не консервативна система …

# << E >> = (<< Psi | hatH | Psi >>) / (<< Psi | Psi >>) = E_n # для деяких #n = 1, 2, 3,… #

Фактично, ми вже знаємо, яким він повинен бути, оскільки гамільтоніан для одновимірної нескінченної потенційної ями є незрозумілим часом …

#hatH = -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) + 0 #

# (delhatH) / (delt) = 0 #

і # (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) ^ "*" (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) # перейти до 1 в інтегралі:

#color (синій) (<< E >>) = (1 / 3int_ (0) ^ (L) Phi_1 ^ "*" (x, t) hatHPhi_1 (x, t) dx + 1 / 2int_ (0) ^ (L) Phi_2 ^ "*" (x, t) hatHPhi_2 (x, t) dx) / (<< Psi | Psi >>) #

де ми дозволили #Phi_n (x, t) = phi_n (x, 0) e ^ (-iE_nt_http: // ℏ) #. Знову ж таки, всі фазові фактори скасовуються, і зауважимо, що недиагональні терміни йдуть до нуля через ортогональність # phi_n #.

Знаменником є норма # Psi #, який

#sum_i | c_i | ^ 2 = (1 / sqrt3) ^ 2 + (1 / sqrt2) ^ 2 = 5/6 #.

Тому, # << Psi | Psi >> = 5/6 #. Це дає:

# => (1 / sqrt3) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) скасування (e ^ (iE_1t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((pix) / L) скасування (e ^ (-iE_1t_http: // ℏ)) dx + (1 / sqrt2) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) скасування (e ^ (iE_2t_http: //))) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((2pix) / L) скасування (e ^ (-iE_2t_http: // ℏ)) dx / (5 // 6) #

Застосувати похідні:

# = 6/5 1/3 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot pi ^ 2 / L ^ 2 sin ((pix) / L) dx + 1/2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot (4pi ^ 2) / L ^ 2 sin ((2pix) / L) dx #

Константи виводяться:

# = 6/5 1/3 (2 ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) гріх ((pix) / L) dx + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) sin ((2pix) / L) dx #

І цей інтеграл відомий з фізичних причин між ними #0# і # L #, незалежно від # n #:

# = 6/5 1/3 (2 ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 #

# = 6/5 1/3 (2 ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) #

# = 6/5 1/3 E_1 + 1/2 4E_1 #

# = колір (синій) (14/5 E_1) #

Відповідь:

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 = 6E_0 #

Пояснення:

Кожен стаціонарний стан, що відповідає власному значенню енергії # E_n # підбирає фазовий фактор #e ^ {- iE_n t} # на еволюцію часу. Даний стан є ні стаціонарний стан - оскільки це суперпозиція власних станів енергії, що належать до різних власних значень. Як наслідок, вона буде розвиватися в часі нетривіально. Однак рівняння Шредінгера, що регулює еволюцію станів, є лінійним - так що кожна компонентна власна функція еволюціонує незалежно - збираючи свій фазовий фактор.

Отже, початкова хвильова функція

#psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) #

еволюціонує в часі # t # до

#psi_A (x, t) = sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏt} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1 / 2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t} #

Таким чином, значення енергетичного очікування в момент часу # t # дається

# <E> = int_-infty ^ infty psi_A ** (x, t) {H} psi_A (x, t) dx #

# = int_infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {iE_2ℏ t}) hat {H} (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

# = int_-infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1 / 2) раз phi_2 (x) e ^ {iE_2 /} t}) (sqrt (1/6) E_0phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) E_1phi_1 (x) e ^ { -iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) E_2phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

де ми використали той факт, що #phi_i (x) # є власні функції енергії, так що #hat {H} phi_i (x) = E_i phi_i (x) #.

Це все ще дає нам дев'ять термінів. Однак остаточний розрахунок значно спрощується тим, що власні функції енергії ортонормалізовані, тобто вони підкоряються

# int_-infty ^ infty phi_i (x) phi_j (x) dx = delta_ {ij} #

Це означає, що з дев'яти інтегралів тільки три виживають, і ми отримуємо

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 #

Використовуючи стандартний результат, що #E_n = (n + 1) ^ 2 E_0 #, ми маємо # E_1 = 4E_0 # і # E_2 = 9E_0 # для нескінченного потенціалу свердловини (ви можете бути більш звичними до виразу, який говорить #E_n propto n ^ 2 # для нескінченної свердловини - але в цьому основний стан позначений # E_1 # - тут ми позначаємо його # E_0 # - звідси зміна). Таким чином

# <E> = (1/6 рази 1 + 1/3 рази 4 + 1/2 рази 9) E_0 = 108/18 E_0 = 6E_0 #

Примітка:

  1. Хоча індивідуальні енергетичні власні функції розвиваються в часі, підбираючи фазовий фактор, загальну хвильову функцію не відрізняються від початкового лише фазовим фактором - тому вже не є стаціонарним станом.
  2. Ці інтеграли були схожими

    # int_-infty ^ infty psi_i (x) e ^ {+ iE_i /} t} E_j psi_j e ^ {- iE_j / ℏ t} dx = E_j e ^ {i (E_i-E_j) / }t} раз int_-infty ^ infty psi_i (x) psi_j (x) dx #

    і вони виглядають так, як вони залежать від часу. Проте єдиними інтегралами, які вижили, є для них # i = j # - і це саме ті, для яких відміняється тимчасова залежність.

  3. Останні результати відповідає тому, що #hat {H} # зберігається - хоча стан не є стаціонарним станом - значення енергетичного очікування не залежить від часу.
  4. Початкова хвильова функція вже нормалізована # (sqrt {1/6}) ^ 2 + (sqrt {1/3}) ^ 2 + (sqrt {1/2}) ^ 2 = 1 # і ця нормалізація зберігається в еволюції часу.
  5. Ми могли б скоротити багато роботи, якщо б ми використали стандартний квантово-механічний результат - якщо хвильова функція розширена у вигляді #psi = sum_n c_n phi_n # де # phi_n # є власними функціями ермітового оператора #hat {A} #, #hat {A} phi_n = lambda_n phi_n #, потім # <hat {A}> = sum_n | c_n | ^ 2 lambda_n #, за умови, звичайно, що держави правильно нормалізуються.
Обчислення
Вибір редактора