Обчислення

Lim _ (x-> a) (x ^ 3/8-a ^ 3/8) / (x ^ 5/3-a ^ 5/3) = (9) / (40a ^ (2)) lim _ ( x-> a) (x ^ 3/8-a ^ 3/8) / (x ^ 5/3-a ^ 5/3) Оскільки ми легко можемо визначити, що це 0/0, ми будемо змінювати частку ( (x ^ 3-a ^ 3) * 3) / ((x ^ 5-a ^ 5) * 8) Застосувати правило факторингу (скасувати (x -a) (a ^ 2 + ax + x ^ 2) * 3 ) / (8закинути (xa) (x ^ 4 + x ^ 3a + x ^ 2a ^ 2 + xa ^ 3 + a ^ 4) Підключити значення a ((a ^ 2 + aa + a ^ 2) * 3) / (8 (a ^ 4 + a ^ 3a + a ^ 2a ^ 2 + aa ^ 3 + a ^ 4) ((3a ^ 2) * 3) / (8 (2a ^ 4 + 2a ^ 3a ^ 1 + a ^ 2a) ^ 2) (9a ^ 2) / (8 (2a ^ 4 + 2a ^ 4 + a ^ 4) (9a ^ 2) / (8 (5a ^ 4) (9a ^ 2) / (40a ^ 4) Докладніше »

Arctan (e ^ x) + C "записуємо" e ^ x "dx як" d (e ^ x) ", тоді отримуємо" int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2 ) "з підстановкою y =" e ^ x ", отримуємо" int (d (y)) / (1 + y ^ 2) ", яка дорівнює" arctan (y) + C "Тепер замінюємо назад" y = e ^ x: arctan (e ^ x) + C Докладніше »

"Характеристичне рівняння:" z ^ 3 - z ^ 2 + 4 z = 0 => z (z ^ 2 - z + 4) = 0 => z = 0 "АБО" z ^ 2 - z + 4 = 0 " диск квад. eq. = 1 - 16 = -15 <0 "", тому ми маємо два комплексних рішення, вони "z = (1 pm sqrt (15) i) / 2" Отже загальне рішення однорідного рівняння є: "A + B 'exp (x / 2) exp ((sqrt (15) / 2) ix) + C' exp (x / 2) exp (- (sqrt (15) / 2) ix) = A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) "Особливе рішення для повного рівняння є" "y = x, - Це легко побачити. "Таким чином, повне рішення:" Докладніше »

Див. Відповідь нижче: Кредити: 1.Завдяки omatematico.com (вибачте за португальці), які нагадують нам про відповідні тарифи, на сайті: 2. Завдяки KMST, які нагадують нам про пов'язані тарифи, на веб-сайті: http://www.algebra.com/algebra/homework/Finance/Finance.faq.question.831122.html Докладніше »

A) Похідної не існує B) Так C) Ні Питання A Ви можете побачити це кілька різних способів. Або ми можемо диференціювати функцію для пошуку: f '(x) = 6/5 (x-2) ^ (- 3/5) = 6 / (5 (x-2) ^ (3/5)), яка не визначена при x = 2. Або, можна поглянути на межу: lim_ (h-> 0) (f (2 + h) -f (2)) / h = lim_ (h-> 0) (3 (2 + h-2) ^ ( 2/5) -3 (2-2) ^ (3/5)) / h = = lim_ (h-> 0) 0 / h Цей граничний ліміт не існує, що означає, що похідна не існує в цей момент. Запитання B Так, теорема про середнє значення застосовується. Умова диференційованості в теоремі про середнє значення вимагає, щоб функція була диференційованою на відкрито Докладніше »

Lim_ (xrarroo) [(3x-2) / (8x + 7)] = колір (блакитний) (3/8 Ось два різні методи, які можна використовувати для цієї проблеми, відмінні від методу Дугласа К. з використанням l'Hôpital's Ми просимо знайти ліміт lim_ (xrarroo) [(3x-2) / (8x + 7)] Найпростіший спосіб зробити це - підключити дуже велике число для x (наприклад, 10 ^ 10) і побачити результат, значення, що виходить, є, як правило, межею (ви не завжди можете це робити, тому цей метод зазвичай не рекомендується): (3 (10 ^ 10) -2) / (8 (10 ^ 10)) +7) ~ ~ колір (блакитний) (3/8 Однак наступним є надійний спосіб знайти межу: У нас є: lim_ (xrarroo) [(3x-2 Докладніше »

Lim_ (x-> oo) (e ^ x-1) / x = oo Розширення Маклорена e ^ x = 1 + x + x ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) + .. ..... Отже, e ^ x-1 = x + x ^ 2 / (2!) + X ^ 3 / (3!) + .......:. lim_ (x-> oo) (e ^ x-1) / x = lim_ (x-> oo) ((x + x ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) + .... ..) / x) = lim_ (x-> oo) (1 + x / (2!) + (x ^ 2) / (3!) + .......) = oo Докладніше »

Перенесіть зі мною трохи, але це стосується рівняння нахилу-перехоплення лінії, заснованого на першій похідній ... І я хотів би привести вас до способу зробити відповідь, а не просто дати вам відповідь ... , перш ніж я отримаю відповідь, я відпущу вас на (трохи) гумористичній дискусії, яку мій офіс мав, і я просто мав ... Мені: "Гаразд, waitasec ... Ви не знаєте г (х), але ви знаєте, що похідна є істинною для всіх (x) ... Чому ви хочете зробити лінійну інтерпретацію, засновану на похідній? Просто візьміть інтеграл з похідної, і у вас є вихідна формула ... Чи не так? О.М .: "Чекайте, що?" він читає питання ви Докладніше »

F є опуклим у RR Вирішено це я думаю. f в 2 рази диференційовані в RR так f і f 'є безперервними в RR Ми маємо (f' (x)) ^ 3 + 3f '(x) = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2x + 7 Диференціюючи обидві частини отримуємо 3 * (f '(x)) ^ 2f' '(x) + 3f' '(x) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 <=> 3f' '(x) ((f') (x)) ^ 2 + 1) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 f '(x) ^ 2> = 0, так що f' (x) ^ 2 + 1> 0 <=> f '' ( x) = (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) / (3 ((f '(x)) ^ 2 + 1)> 0) Потрібний знак чисельника, тому розглянемо нову функцію g ( x) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2, xinRR g '(x) = Докладніше »

Це проблема типу зв'язаних ставок (змін). Представляють інтерес змінні a = висота A = область, і, оскільки площа трикутника A = 1 / 2ba, нам потрібен b = base. Дані темпи зміни знаходяться в одиницях на хвилину, тому (невидима) незалежна змінна становить t = час у хвилинах. Нами дано: (da) / dt = 3/2 см / хв (dA) / dt = 5 см "" ^ 2 / хв І нам пропонується знайти (db) / dt при a = 9 см і A = 81см. "" ^ 2 A = 1 / 2ba, диференціюючись по t, отримуємо: d / dt (A) = d / dt (1 / 2ba). Нам потрібен правильний продукт. (dA) / dt = 1/2 (db) / dt a + 1 / 2b (da) / dt Нам було дано кожне значення, окрім (db) / Докладніше »

V = 16 / 15pi ~~ 3.35103 Область є рішенням цієї системи: {(y <= - x ^ 2 + 2x + 3), (y> = 3):} І вона накреслена в цьому ділянці: Формула для обсягу осі обертання твердого тіла є: V = pi * int_a ^ bf ^ 2 (z) dz. Щоб застосувати формулу, необхідно перевести півмісяць на осі абсцис, область не зміниться, і тому вона не змінить і обсяг: y = -x ^ 2 + 2x + 3color (червоний) (- 3) ) = - x ^ 2 + 2x y = 3колір (червоний) (- 3) = 0 Таким чином отримуємо f (z) = - z ^ 2 + 2z. Перекладені області тепер нанесені тут: Але які a і b інтеграла? Рішення системи: {(y = -x ^ 2 + 2x), (y = 0):} Отже, a = 0 і b = 2. Давайте перепишемо і Докладніше »

Дивись нижче. Я сподіваюся, що це допоможе. Часткове похідне по суті пов'язане з сумарною варіацією. Припустимо, що ми маємо функцію f (x, y) і хочемо знати, наскільки вона змінюється, коли вводимо приріст до кожної змінної. Фіксуючи ідеї, роблячи f (x, y) = kxy, ми хочемо знати, наскільки це df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) У нашому функціональному прикладі ми f (x + dx, y + dy) = k (x + dx) (y + dy) = kxy + kx dx + ky dy + k dx dy, а потім df (x, y) = kxy + kx dx + ky dy + k dx dy-k xy = kx dx + ky dy + k dx dy Вибір dx, dy довільно малий, dx dy приблизно 0, а потім df (x, y) = kx dx + ky dy але взагалі df (x Докладніше »

Тут '/ так я роблю це: - Я дозволю деякому "" тета = arcsin (9x) "" і деяким "" альфа = arccos (9x) Так я отримую, "" sintheta = 9x "" і "" cosalpha = 9x я диференціюю як неявно так: => (costheta) (d (тета)) / (dx) = 9 "" => (d (тета)) / (dx) = 9 / (costheta) = 9 / (sqrt (1-sin ^ 2theta)) = 9 / (sqrt (1- (9x) ^ 2) - Далі, я диференціюю cosalpha = 9x => (- sinalpha) * (d (alpha)) / (dx) = 9 "" => (d (альфа)) / (dx) = - 9 / (sin (alpha)) = - 9 / (sqrt (1-cosalpha)) = - 9 / sqrt (1- (9x) ^ 2) У цілому, "" f (x) = тета + а Докладніше »

Звичайна лінія: y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2. Дотична лінія: y = e ^ 2x -e ^ 2. Для інтуїції: уявіть, що функція f (x, y) = e ^ x ln (y) - xy описує висоту деякої місцевості, де x і y є координатами в площині, а ln (y) вважається природним. логарифм. Тоді все (x, y) таке, що f (x, y) = a (висота) дорівнює деякій константі a називаються кривими рівня. У нашому випадку константна висота a дорівнює нулю, оскільки f (x, y) = 0. Можливо, ви знайомі з топографічними картами, в яких закриті лінії вказують на лінії рівної висоти. Тепер градієнт grad f (x, y) = ((частковий f) / (частковий x), (частковий f) / (частковий x)) = (e ^ x ln ( Докладніше »

C = 4 Середнє значення: (int_1 ^ c (4 / x ^ 2) dx) / (c-1) int_1 ^ c (4 / x ^ 2) = [-4 / x] _1 ^ c = -4 / c + 4 Отже, середнє значення (-4 / c + 4) / (c-1) Вирішення (-4 / c + 4) / (c-1) = 1 дає нам c = 4. Докладніше »

Dy / dx дорівнює нулю для x = -2 pm sqrt (11), а dy / dx не визначено для x = -2 Знайти похідну: dy / dx = (d (x ^ 2 - 3x + 1)) / dx 1 / (x + 2) + (x ^ 2 - 3x + 1) (d) / (dx) (1 / (x + 2)) = (2x-3) / (x + 2) - (x ^ 2 - 3x + 1) 1 / (x + 2) ^ 2 = ((2x-3) (x + 2) - (x ^ 2 - 3x + 1)) / (x + 2) ^ 2 = (2x ^ 2 - 3x + 4x -6 - x ^ 2 + 3x-1) / (x + 2) ^ 2 = (x ^ 2 + 4x -7) / (x + 2) ^ 2 за правилом продукту та різними спрощеннями. Знайти нулі: dy / dx = 0 тоді і тільки тоді, коли x ^ 2 + 4x -7 = 0. Коріння цього полінома: x_ {1,2} = (1/2) (- 4 pm sqrt (4 ^ 2 - 4 (-7))) = -2 pm sqrt (11), тому dy / dx = 0 для x = -2 pm sqrt (11). Зна Докладніше »

Dy / dx = 3sqrtx y = 2xsqrtx = uv dy / dx = u (dv) / dx + v (du) / dx u = 2x (du) / dx) = 2 v = sqrtx = x ^ (1/2) ( dv) / (dx) = 1/2 * x ^ (1 / 2-1) = x ^ (- 1/2) / 2 dy / dx = 2x * x ^ (- 1/2) / 2 + 2 * x ^ (1/2) = sqrtx + 2sqrtx = 3sqrtx Докладніше »

F (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c del_x f = 4 x ^ 3 + 9 x ^ 2 y ^ 2 => f = x ^ 4 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + C_1 (y) del_y f = 6 x ^ 3 y + 6 y ^ 5 => f = 3 x ^ 3 y ^ 2 + y ^ 6 + C_2 (x) "Тепер візьмемо" C_1 (y) = y ^ 6 + c C_2 (x) = x ^ 4 + c "Тоді маємо одне і те ж f, яке задовольняє умовам." => f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c Докладніше »

Максимум: 1/2 Мінімум: -1/2 Альтернативний підхід полягає в тому, щоб змінити функцію на квадратичне рівняння. Так: f (x) = x / (1 + x ^ 2) rarrf (x) x ^ 2 + f (x) = xrarrf (x) x ^ 2-x + f (x) = 0 Нехай f (x ) = c "", щоб він виглядав більш акуратним :-) => cx ^ 2-x + c = 0 Нагадаємо, що для всіх реальних коренів цього рівняння дискримінант є позитивним або нульовим Отже, ми маємо, (-1) ^ 2- 4 (c) (c)> = 0 "" => 4c ^ 2-1 <= 0 "" => (2c-1) (2c + 1) <= 0 Легко визнати, що -1/2 < = c <= 1/2 Отже, -1/2 <= f (x) <= 1/2 Це показує, що максимум f (x) = 1/2, а мінімум f ( Докладніше »

Криву перетину можна параметризувати як (z, r) = ((81/2) sin2, 9). Я не впевнений, що ви маєте на увазі за допомогою векторної функції. Але я розумію, що ви прагнете представити криву перетину між двома поверхнями у формулі запитання. Оскільки циліндр симетричний навколо осі z, може бути легше виразити криву в циліндричних координатах. Перехід до циліндричних координат: x = r cos yta y = r sin ea z = z. r - відстань від осі z і ета - кут проти годинникової стрілки від осі x в площині x, y. Тоді перша поверхня стає x ^ 2 + y ^ 2 = 81 r ^ 2cos ^ 2 анта + r ^ 2sin ^ 2 ета = 81 r ^ 2 = 81 r = 9, через піфагорійську тригонометр Докладніше »

Загальне рішення: phi = Ae ^ (- (8pi ^ 2mE) / h ^ 2x) Ми не можемо йти далі, оскільки v є невизначеним. Ми маємо: (dphi) / dx + k phi = 0 Це перший порядок розділення ODE, тому ми можемо писати: (dphi) / dx = - k phi 1 / phi (dphi) / dx = - k Тепер, ми відокремлюємо змінні, щоб отримати int 1 / phi d phi = - int k dx, який складається з стандартних інтегралів, тому ми можемо інтегрувати: ln | phi | = -kx + lnA:. | phi | = Ae ^ (- kx) Відзначимо, що експоненціальна позитивна над всією своєю областю, а також ми написали C = lnA, як константу інтеграції. Потім ми можемо написати загальне рішення як: phi = Ae ^ (- kx) = Ae ^ ( Докладніше »

Y = - (3x) /14-2.53 "Дотичний": d / dx [f (x)] = f '(x) "Нормальний": - 1 / (f' (x)) = - 1 / (d / dx [cscx + tanx-cotx]) = - 1 / (d / dx [cscx] + d / dx [tanx] -d / dx [cotx]) = - 1 / (- cscxcotx + sec ^ 2x + csc ^ 2x ) -1 / (f '(- pi / 3)) = - 1 / (- csc (-pi / 3) cot (-pi / 3) + sec ^ 2 (-pi / 3) + csc ^ 2 (- pi / 3)) = - 1 / (14/3) = - 3/14 y = mx + cf (a) = ma + c csc (-pi / 3) + tan (-pi / 3) -cot (- pi / 3) = - pi / 3 (-3/14) + cc = csc (-pi / 3) + tan (-pi / 3) -кот (-pi / 3) + pi / 3 (-3/14) ) c = -2.53 y = - (3x) /14-2.53 Докладніше »

(dy) / (dx) = secxtanx-sec ^ 2x Щоб диференціювати secx тут '/ як це відбувається: secx = 1 / cosx Ви повинні застосувати коефіцієнт факту: тобто "знаменник (cosx)" xx "похідний від чисельника" ( 1) - "похідна знаменника (cosx) чисельник" xx "похідна знаменника" (cosx) І ВСЕ ТЕ - :( "знаменник") ^ 2 (d (secx)) / (dx) = (cosx (0) - 1 (-sinx)) / (cosx) ^ 2 = sinx / cos ^ 2x = 1 / cosx xx sinx / cosx = колір (блакитний) (secxtanx) Тепер ми переходимо до tanx Такий же принцип, як вище: (d (tanx)) / (dx) = (cosx (cosx) -sin (-cosx)) / (cosx) ^ 2 = (cos ^ 2x + sin ^ 2x) / cos Докладніше »

Pi ln3 Якщо tan (3 ^ x) = 0, то sin (3 ^ x) = 0 і cos (3 ^ x) = + -1 Тому 3 ^ x = kpi для деякого цілого числа k. Нам сказали, що є один нуль на [0,1,4]. Цей нуль НЕ х = 0 (оскільки tan 1! = 0). Найменше позитивне рішення повинно мати 3 ^ x = pi. Отже, x = log_3 pi. Тепер давайте подивимося на похідну. f '(x) = sec ^ 2 (3 ^ x) * 3 ^ x ln3 Ми знаємо згори, що 3 ^ x = pi, так що у цій точці f' = sec ^ 2 (pi) * pi ln3 = (- 1 ) ^ 2 pi ln3 = pi ln3 Докладніше »

A = 2 і b = -4 Дано: y = ax ^ 2 + bx, y (1) = -2 З даного можна замінити 1 для x і 2 для y і написати наступне рівняння: -2 = a + b " [1] "Ми можемо написати друге рівняння, використовуючи те, що перша похідна дорівнює 0 при x = 1 dy / dx = 2ax + b 0 = 2a + b" [2] "Відняти рівняння [1] з рівняння [2]: 0 - -2 = 2a + b - (a + b) 2 = aa = 2 Знайти значення b, підставивши a = 2 в рівняння [1]: -2 = 2 + b -4 = bb = -4 Докладніше »

(df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) з визначення похідної і з деякими межами. Нехай f (x) = x ^ 2 sin (x). Тоді (df) / dx = lim_ {h 0} (f (x + h) - f (x)) / h = lim_ {h 0} ((x + h) ^ 2sin (x + h) - x ^ 2sin (x)) / h = lim_ {h 0} ((x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) - x ^ 2sin (x)) / h = lim_ {h 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h + lim_ {h 0} (x ^ 2sin) (h) cos (x)) / h + lim_ {h 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h + lim_ {h (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) / h тригонометричною ідентичністю і деякими спрощеннями. На цих чотирьох останніх рядках ми маємо чотири терміни. Докладніше »

-sin (x ^ 2 + 1) * 2x d / dx cos (x ^ 2 + 1) Для цієї задачі необхідно використовувати правило ланцюга, а також те, що похідна cos (u) = -sin ( u). Правило ланцюга в основному просто стверджує, що ви можете спочатку вивести зовнішню функцію по відношенню до того, що знаходиться всередині функції, а потім помножити її на похідну функції, що знаходиться всередині функції. Формально dy / dx = dy / (du) * (du) / dx, де u = x ^ 2 + 1. По-перше, треба виробити похідну біта всередині косинуса, а саме 2x. Потім, знайшовши похідну косинуса (негативного синуса), ми можемо просто помножити його на 2х. = -sin (x ^ 2 + 1) * 2x Докладніше »

1568 * pi cc / хв. Якщо радіус r, то швидкість зміни r відносно часу t, d / dt (r) = 2 см / хв. Обсяг як функція радіуса r для сферичного об'єкта дорівнює V ( r) = 4/3 * pi * r ^ 3 Потрібно знайти d / dt (V) при r = 14cm Тепер, d / dt (V) = d / dt (4/3 * pi * r ^ 3) = (4pi) / 3 * 3 * r ^ 2 * d / dt (r) = 4pi * r ^ 2 * d / dt (r) Але d / dt (r) = 2 см / хв. Таким чином, d / dt (V) при r = 14 см: 4pi * 14 ^ 2 * 2 куб. См / хвилину = 1568 * pi cc / хв. Докладніше »

Це проблема, пов’язана з тарифами (зміни). Швидкість вдування повітря вимірюється в обсязі за одиницю часу. Це швидкість зміни обсягу по часу. Швидкість вдування повітря така ж, як швидкість, з якою обсяг балона збільшується. V = 4/3 pi r ^ 3 Відомо (dr) / (dt) = 5 "см / сек". Ми хочемо (dV) / (dt) при r = 13 "см". Диференціювати V = 4/3 pi r ^ 3 неявно по відношенню до td / (dt) (V) = d / (dt) (4/3 pi r ^ 3) (dV) / (dt) = 4/3 pi * 3r ^ 2 (dr) / (dt) = 4 pi r ^ 2 (dr) / (dt) Підключіть те, що ви знаєте, і вирішуйте те, що ви не знаєте. (dV) / (dt) = 4 pi (13 "cm") ^ 2 (5 "cm / sec") Докладніше »

Y = A e ^ -x + x - 1 "Це лінійний диф. першого порядку eq. Існує загальна методика" "для вирішення такого роду рівняння. "По-перше, шукайте рішення однорідного рівняння (=" "одне і те ж рівняння з правою стороною, що дорівнює нулю:" {dy} / {dx} + y = 0 ". Це лінійна диф. Першого порядку з постійними коефіцієнтами. . T "Ми можемо вирішити питання з підстановкою" y = A e ^ (rx): r A e ^ (rx) + A e ^ (rx) = 0 => r + 1 = 0 "(після поділу на" A ") e ^ (rx) ")" => r = -1 => y = A e ^ -x "Тоді шукаємо конкретне рішення всього рівняння." Докладніше »

"Див. Пояснення" "Помножити на" 1 = (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt (x ^ 2 - 7 x + 3)) / (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt (x ^ 2 - 7 x + 3)) "Тоді ви отримаєте" lim_ {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt ( x ^ 2 - 7 x + 3)) "(оскільки" (ab) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 ")" = lim_ {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (sqrt (4 x ^ 2 (1 + 1 / (4x) - 1 / (4x ^ 2))) + sqrt (x ^ 2 (1 - 7 / x + 3 / x ^ 2)) = lim {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (2x sqrt (1 + 0 - 0) + x sqrt (1 - 0 + 0)) "(тому що" lim_ {x-> oo} 1 / x = 0 ")" = lim {x-> oo} Докладніше »

Dy / dx = - (t (t-4) ^ 2) / (2 (1-t ^ 2) ^ 2) = - t / 2 ((t-4) / (1-t ^ 2)) ^ 2 dy / dx = (y '(t)) / (x' (t)) y (t) = 1 / (1-t ^ 2) y '(t) = ((1-t ^ 2) d / dt [1] -1d / dt [1-t ^ 2]) / (1-t ^ 2) ^ 2 колір (білий) (y '(t)) = (- (- 2t)) / (1-t ^ 2) ^ 2 колір (білий) (y '(t)) = (2t) / (1-t ^ 2) ^ 2 x (t) = t / (t-4) x' (t) = ((t -4) d / dt [t] -td / dt [t-4]) / (t-4) ^ 2 колір (білий) (x '(t)) = (t-4-t) / 4) ^ 2 колір (білий) (x '(t)) = - 4 / (t-4) ^ 2 dy / dx = (2t) / (1-t ^ 2) ^ 2 -: - 4 / (т -4) ^ 2 = (2t) / (1-t ^ 2) ^ 2xx- (t-4) ^ 2/4 = (- 2t (t-4) ^ 2) / (4 (1-t ^ 2) ) ^ 2) = - (t (t-4) ^ Докладніше »

Цей інтеграл не існує. Оскільки ln x> 0 в інтервалі [1, e], то sqrt {ln ^ 2 x} = | ln x | = ln x тут, так що інтеграл стає int_1 ^ e dx / {x ln x} Замініть ln x = u, тоді dx / x = du так, що int_1 ^ e dx / {x ln x} = int_ {ln 1} ^ {ln e} {du} / u = int_0 ^ 1 {du} / u Це невідповідний інтеграл, оскільки інтегральна діаграма розходиться на нижній межі. Це визначається як lim_ {l -> 0 ^ +} int_l ^ 1 {du} / u, якщо він існує. Тепер int_l ^ 1 {du} / u = ln 1 - ln l = -ln l, оскільки це розходиться в межі l -> 0 ^ +, інтеграл не існує. Докладніше »

При x = 1 розглянемо знаменник. x ^ 2 + 2x -3 Можна записати як: x ^ 2 + 2x +1 -4 (x + 1) ^ 2 -4 (x + 1) ^ 2 -2 ^ 2 Тепер з відношення a ^ 2-b ^ 2 = (a + b) (ab) маємо (x + 1 +2) (x + 1 -2)) (x + 3) (x-1)) Якщо x = 1, знаменник у вищевказаній функції дорівнює нулю і функція прагне до оо і не диференціюється. Переривається. Докладніше »

V = 4 / 3r ^ 3pi (dV) / (dt) = 4/3 (3r ^ 2) (dr) / dtpi (dV) / (dt) = (4r ^ 2) (dr) / (dt) pi ми дивимося на наші кількості, щоб побачити, що нам потрібно і що маємо. Отже, ми знаємо швидкість, з якою змінюється обсяг. Ми також знаємо початковий обсяг, який дозволить нам вирішити для радіуса. Ми хочемо знати швидкість, з якою радіус змінюється через 7 годин. 340 = 4 / 3r ^ 3pi 255 = r ^ 3pi 255 / pi = r ^ 3 root (3) (255 / pi) = r Підключаємо це значення в "r" всередині похідної: (dV) / (dt) = 4 (корінь (3) (255 / pi)) ^ 2 (dr) / (dt) pi Ми знаємо, що (dV) / (dt) = -17, тому через 7 годин вона розплавиться -119 & Докладніше »

-3. Нехай, f (x) = ([2-x] + [x-2] -x). Ми знайдемо ліву та праву межі f як x to2. Як x до 2-, x <2; "переважно, 1 <x <2". Додаючи -2 до нерівності, отримаємо, -1 lt (x-2) <0, і, помноживши нерівність на -1, отримаємо, 1 gt 2-x gt 0.:. [x-2] = - 1 ......., і, ................. [2-x] = 0. rArr lim_ (x до 2-) f (x) = (0 + (- 1) -2) = - 3 ....................... ( star_1). Як x до 2+, x gt 2; "переважно", 2 lt x lt 3.:. 0 lt (x-2) lt 1, і -1 lt (2-x) <0:. [2-x] = - 1, ......., і, .............. [x-2] = 0. rArr lim_ (x до 2+) f (x) = (- 1 + 0-2) = - 3 ......................... ( star_2). З (st Докладніше »

Дивись нижче. Похідною швидкості є прискорення, тобто нахил графіка швидкості - прискорення. Взявши похідну функції швидкості: v '= 2 - 2sin (2t), можна замінити v' на a. a = 2 - 2sin (2t) Тепер задаємо a до 0. 0 = 2 - 2sin (2t) -2 = -2sin (2t) 1 = sin (2t) pi / 2 = 2t t = pi / 4 Оскільки ми знаємо, що 0 <t <2 і періодичність функції sin (2x) pi, можна бачити, що t = pi / 4 є єдиним часом, коли прискорення буде 0. Докладніше »

Відповідь = x "arc" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C Ми потребуємо (sec ^ -1x) '= ("arc" secx)' = 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) intsecxdx = ln (sqrt (x ^ 2-1) + x) Інтеграція за частинами є intu'v = uv-intuv 'Тут ми маємо u' = 1, =>, u = xv = "arc "secx, =>, v '= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) Отже, int" arc "secxdx = x" arc "secx-int (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)) Виконайте другий інтеграл підстановкою Нехай x = secu, =>, dx = secutanudu sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (sec ^ 2u-1) = tanu intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu) ) / (tanu) = intsecudu = int (secu (secu + t Докладніше »

Відстань змінюється на sqrt (1476) / 2 вузла на годину. Нехай відстань між двома човнами буде d та число годин вони мандрують h. За теоремою піфагора ми маємо: (15h) ^ 2 + (12h) ^ 2 = d ^ 2 225h ^ 2 + 144h ^ 2 = d ^ 2 369h ^ 2 = d ^ 2 Тепер ми диференціюємо це по часу. 738h = 2d ((dd) / dt) Наступним кроком є визначення того, наскільки далеко один від одного два човни після двох годин. Через дві години північний човен зробить 30 вузлів, а західний човен зробить 24 вузли. Це означає, що відстань між двома є d ^ 2 = 24 ^ 2 + 30 ^ 2 d = sqrt (1476) Тепер ми знаємо, що h = 2 і sqrt (1476). 738 (2) = 2sqrt (1476) ((dd) / dt) 7 Докладніше »

Автомобіль A подорожує на південь, а автомобіль B подорожує на захід, беручи початок як точку, де починаються автомобілі рівняння автомобіля A = Y = -60t рівняння автомобіля B = X = -25t Відстань D = (X ^ 2 + Y) ^ 2) ^ 0.5 D = (2500tt + 3600tt) ^ 0.5 D = (6100tt) ^ 0.5 D = 78.1 * t швидкість зміни D dD / dt = 78.1 швидкість зміни відстані між вагонами становить 78,1 мілі / год Докладніше »

A) N (14) = 3100-400sqrt2 ~~ 2534 колір (білий) (... |) N (34) = 3900-400sqrt2 ~~ 3334 b) N (t) = 400sqrt (t + 2) + 1500- 400sqrt2 Почнемо з розв'язування для N (t). Ми можемо це зробити, просто інтегруючи обидві сторони рівняння: N '(t) = 200 (t + 2) ^ (- 1/2) int N' (t) dt = int 200 (t + 2) ^ (- 1/2) dt Ми могли б зробити u-заміну з u = t + 2, щоб оцінити інтеграл, але ми визнаємо, що du = dt, так що ми можемо просто претендувати t + 2 є змінною і використовувати потужність правило: N (t) = (200 (t + 2) ^ (1/2)) / (1/2) + C = 400sqrt (t + 2) + C Ми можемо вирішити для постійної C, оскільки знаємо, що N (0) = Докладніше »

Візьмемо деякі похідні! Для f (x) = 1 - x - e ^ (- 3x) / x маємо f '(x) = - 1 - (-3xe ^ (- 3x) -e ^ (- 3x)) / x ^ 2 Це спрощує (роду) до f '(x) = - 1 + e ^ (- 3x) (3x + 1) / x ^ 2 Тому f' '(x) = e ^ (- 3x) (- 3x-2) ) / x ^ 3-3e ^ (- 3x) (3x + 1) / x ^ 2 = e ^ (- 3x) ((- 3x-2) / x ^ 3-3 (3x + 1) / x ^ 2 ) = e ^ (- 3x) ((- 3x-2) / x ^ 3 + (- 9x-3) / x ^ 2) = e ^ (- 3x) ((- 3x-2) / x ^ 3 + (-9x ^ 2-3x) / x ^ 3) = e ^ (- 3x) ((- 9x ^ 2-6x-2) / x ^ 3) Тепер нехай x = 4. f '' (4) = e ^ (- 12) ((- - 9 (16) ^ 2-6 (4) -2) / 4 ^ 3) Зверніть увагу, що експоненція завжди позитивна. Чисельник дробу негативний дл Докладніше »

Dy / dx = 2 / x ^ 2 Ви можете спокуситися використовувати неявну диференціацію тут, але, оскільки у вас є відносно просте рівняння, це набагато простіше вирішити для y з точки зору x, а потім просто використовувати нормальну диференціацію. Отже: 2 + xy = x => y = (x-2) / x = 1 - 2 / x Тепер ми просто використовуємо просте правило харчування: => dy / dx = - (- 2x ^ -2) = 2 / x ^ 2 Там ви! Зверніть увагу, що ви могли б використати неявну диференціацію, щоб вирішити цю проблему, але, виконуючи це, ми маємо похідну, яка має вигляд просто x, що трохи зручніше. Однак, незалежно від методу, який ви використовуєте, відповідь Докладніше »

False Як ви вважали, інтервал потрібно закрити, щоб твердження було вірним. Щоб дати явний контрприклад, розглянемо функцію f (x) = 1 / x. f безперервний на RR _ {0}, і таким чином є безперервним на (0,1). Однак, як lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = oo, явно немає точки c в (0,1) такою, що f (c) максимальна в межах (0,1). Дійсно, для будь-якого c у (0,1) маємо f (c) <f (c / 2). Таким чином, твердження не виконується для f. Докладніше »

Будь ласка, зверніться до Пояснення. Щоб показати, що h є безперервним, потрібно перевірити його безперервність при x = 3. Ми знаємо, що h буде продовжуватися. при x = 3, якщо і тільки якщо, lim_ (x до 3-) h (x) = h (3) = lim_ (x до 3+) h (x) ............ ................... (ast). Як x до 3-, x lt 3:. h (x) = - x ^ 2 + 4x + 1. :. lim_ (x до 3-) h (x) = lim_ (x до 3 -) - x ^ 2 + 4x + 1 = - (3) ^ 2 + 4 (3) +1, rArr lim_ (x до 3-) h (x) = 4 ............................................ .......... (ast ^ 1). Аналогічно, lim_ (x до 3+) h (x) = lim_ (x до 3+) 4 (0.6) ^ (x-3) = 4 (0.6) ^ 0. rArr lim_ (x до 3+) h (x) = 4 ......... Докладніше »

Функція є неперервною по всьому домену. Домен f (x) = 1 / sqrtx є відкритим інтервалом (0, oo). Для кожної точки a, в цьому інтервалі, f - фактор двох безперервних функцій - з ненульовим знаменником - і тому є безперервним. Докладніше »

Корінь (4) (84) ~~ 3.03 Зауважимо, що 3 ^ 4 = 81, що близьке до 84. Отже, корінь (4) (84) трохи більше, ніж 3. Для кращого наближення можна використовувати лінійний. наближення, інакше метод Ньютона. Визначимо: f (x) = x ^ 4-84 Тоді: f '(x) = 4x ^ 3 і задане наближене нуль x = a від f (x), краще наближення: a - (f (a)) / (f '(a)) Отже, у нашому випадку, поклавши a = 3, кращою апроксимацією є: 3- (f (3)) / (f' (3)) = 3- (3 ^ 4-84) / (4 (3) ^ 3) = 3- (81-84) / (4 * 27) = 3 + 1/36 = 109/36 = 3.02 бар (7) Це майже з точністю до 4 значущих цифр, але давайте наведемо наближення як 3.03 Докладніше »

Це легко сприймається як не виконане елементарними засобами, тому я просто вирішив його чисельно і отримав: Я оцінив інтеграл для n = 1, 1.5, 2,. . . , 9.5, 10, 25, 50, 75, 100. До того часу вона явно досягала 0,5. Докладніше »

2 Для будь-якого рядка: {(y = mx + b), (y '= m):} qquad m, b у RR Підключення до DE: m + xm ^ 2 - y = 0 означає y = m ^ 2 x + m qquad qquad = mx + bm = m ^ 2 випливає, m = 0,1 означає b = 0,1:. y = {(0), (x + 1):} обидва задовольняють DE Докладніше »

(ln (x ^ 2 + 1)) / x ^ 2 = sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / nx ^ (2n-2) = 1-x ^ 2/2 + x ^ 4/3-x ^ 6/4 ... Ми знаємо наступний ряд Маклорена для ln (x + 1): ln (x + 1) = sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n) +1) / nx ^ n = xx ^ 2/2 + x ^ 3/3 ... Можна знайти ряди для ln (x ^ 2 + 1), замінивши всі x на x ^ 2: ln (x ^ 2 + 1) = sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / n (x ^ 2) ^ n Тепер можна просто розділити на x ^ 2, щоб знайти ряд, який ми шукаємо: (ln (x ^ 2 + 1)) / x ^ 2 = 1 / x ^ 2sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / nx ^ (2n) = = sum_ (n = 1) ) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / n * x ^ (2n) / x ^ 2 = sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / nx ^ (2n- Докладніше »

Загальними кроками є: Намалюйте трикутник у відповідності з даною інформацією, позначте відповідну інформацію Визначте, які формули мають сенс у ситуації (Площа цілого трикутника на основі двох сторін з фіксованою довжиною, а також відношення трикутників праворуч для змінної висоти) будь-які невідомі змінні (висота) назад до змінної (тета), яка відповідає тільки заданій швидкості ((d theta) / (dt)) Зробіть деякі заміни в "основну" формулу (формула області), щоб можна було передбачити використання Дана швидкість диференціювати і використовувати дану швидкість, щоб знайти швидкість, на яку ви прагнете ((dA) / (dt)) Докладніше »

Починаємо цю проблему, знаходячи точку дотику. Замініть у значення 1 для x. x ^ 3 + y ^ 3 = 9 (1) ^ 3 + y ^ 3 = 9 1 + y ^ 3 = 9 y ^ 3 = 8 Не впевнені, як показувати кореневий куб, використовуючи нашу математичну нотацію тут, на Socratic, але пам'ятайте, підняття кількості до 1/3 потужності еквівалентно. Підніміть обидві сторони до 1/3 потужності (y ^ 3) ^ (1/3) = 8 ^ (1/3) y ^ (3 * 1/3) = 8 ^ (1/3) y ^ (3 / 3) = 8 ^ (1/3) y ^ (1) = 8 ^ (1/3) y = (2 ^ 3) ^ (1/3) y = 2 ^ (3 * 1/3) y = 2 ^ (3/3) y = 2 ^ (1) y = 2 Ми просто виявили, що коли x = 1, y = 2 Повне неявне диференціювання 3x ^ 2 + 3y ^ 2 (dy / dx) = 0 Заміна в ци Докладніше »

З того, що ви говорите там, все це виглядає так, як ми повинні робити, це показати, що hatT_L = e ^ (ihatp_xL // ℏ). Схоже, будь-яке місце, з якого ви отримали це запитання, є незрозумілим щодо визначення hatT_L. Ми будемо доводити, що використання hatT_L - = e ^ (LhatD) = e ^ (ihatp_xL //) дає [hatD, hatx] - = [ihatp_x // p, hatx] = 1, а не hatT_L = e ^ (- LhatD). Якщо ми хочемо, щоб все було послідовно, то, якщо hatT_L = e ^ (- LhatD), то повинно було б бути, що [hatD, hatx] = bb (-1). Я вирішив це питання і вирішив це вже. З частини 1 ми показали, що для цього визначення (що hatT_L - = e ^ (LhatD)), [hatx, hatT_L] = -Lh Докладніше »

I = x * tan ^ -1 (4x) -1 / 4log | sqrt (1 + 16x ^ 2) | + C = x * tan ^ -1 (4x) -1 / 8log | (1 + 16x ^ 2) | + C (1) I = inttan ^ -1 (4x) dx Let, tan ^ -1 (4x) = urArr4x = tanurArr4dx = sec ^ 2udurArrdx = 1 / 4sec ^ 2udu I = intu * 1 / 4sec ^ 2udu = 1 / 4intu * sec ^ 2udu Використання інтеграції частинами, I = 1/4 [u * intsec ^ 2udu-int (d / (du) (u) * intsec ^ 2udu) du] = 1/4 [u * tanu-int1 * tanudu] = 1/4 [u * tanu-log | secu |] + C = 1/4 [tan ^ -1 (4x) * (4x) -log | sqrt (1 + tan ^ 2u |] + C = x * tan ^ -1 (4x) -1 / 4log | sqrt (1 + 16x ^ 2) | + C Другий метод: (2) I = int1 * tan ^ -1 (4x) dx = tan ^ -1 (4x) * x-int (1 / Докладніше »

Заміною та інтеграцією частинами, int ln (2x + 1) dx = 1/2 (2x + 1) [ln (2x + 1) -1] + C Подивимося на деякі деталі. int ln (2x + 1) dx підстановкою t = 2x + 1. Rightarrow {dt} / {dx} = 2 Rightarrow {dx} / {dt} = 1/2 Rightarrow dx = {dt} / {2} = 1 / 2int ln t dt шляхом інтеграції частинами, Нехай u = ln t і dv = dt Rightarrow du = dt / t і v = t = 1/2 (tlnt-int dt) = 1/2 (tlnt-t) + C шляхом факторингу out t, = 1 / 2t (lnt-1) + C поклавши t = 2x + 1 назад, = 1/2 (2x + 1) [ln (2x + 1) -1] + C Докладніше »

Наша мета полягає в тому, щоб зменшити потужність ln x так, щоб інтеграл було легше оцінити. Ми можемо це зробити, використовуючи інтеграцію по частинах. Майте на увазі формулу ІБП: int u dv = uv - int v du. Тепер давайте похвалимо u = (lnx) ^ 2, а dv = dx. Отже, du = (2lnx) / x dx та v = x. Тепер, збираючи частини разом, отримуємо: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx Цей новий інтеграл виглядає набагато краще! Спрощуючи біт і доводячи константу до фронту, виходить: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx Тепер, щоб позбутися цього наступного інтеграла, ми зробимо другу інтеграцію по частинах, доз Докладніше »

За інтеграцією за частинами, int sin ^ {- 1} xdx = xsin ^ {- 1} x + sqrt {1-x ^ 2} + C Подивимося на деякі деталі. Нехай u = sin ^ {- 1} x і dv = dx. Rightarrow du = {dx} / sqrt {1-x ^ 2} і v = x Через інтеграцію за частинами, int sin ^ {- 1} xdx = xsin ^ {- 1} x-intx / sqrt {1-x ^ 2 } dx Нехай u = 1-x ^ 2. Rightarrow {du} / {dx} = - 2x Rightarrow dx = {du} / {- 2x} intx / sqrt {1-x ^ 2} dx = int x / sqrt {u} {du} / {- 2x} = -1 / 2intu ^ {- 1/2} du = -u ^ {1/2} + C = -sqrt {1-x ^ 2} + C Отже, int sin ^ {- 1} xdx = xsin ^ {- 1} x + sqrt {1-x ^ 2} + C Докладніше »

Використання інтеграції по частинах, intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C Пам'ятайте, що інтеграція за частинами використовує формулу: intu dv = uv - intv du Котрий базується від правила продукту для похідних: uv = vdu + udv Щоб використовувати цю формулу, ми повинні вирішити, який термін буде u, а який буде dv. Корисний спосіб з'ясувати, яким терміном є метод ILATE. Інверсні логарифми Trig Алгебра Trig Exponentials Це дає вам порядок пріоритету, термін якого використовується для "u", так що все, що залишилося стає нашим dv. Наша функція містить x ^ 2 Докладніше »

Інтеграція за частинами, int x ^ 5lnx dx = x ^ 6/36 (6lnx-1) + C Подивимося на деякі деталі. Нехай u = lnx і dv = x ^ 5dx. Rightarrow du = {dx} / x і v = x ^ 6/6 Інтеграція за частинами int udv = uv-int vdu, ми маємо int (lnx) cdot x ^ 5dx = (lnx) cdot x ^ 6/6-int x ^ 6 / 6cdot dx / x, спростивши біт, = x ^ 6 / 6lnx-int x ^ 5 / 6dx за правилом потужності, = x ^ 6 / 6lnx-x ^ 6/36 + C, факторизуючи x ^ 6 / 36, = x ^ 6/36 (6lnx-1) + C Докладніше »

Ми будемо мати на увазі формулу інтеграції за частинами, яка є: int u dv = uv - int v du Щоб знайти цей інтеграл успішно, дозвольте u = x і dv = cos 5x dx. Отже, du = dx і v = 1/5 sin 5x. (v можна знайти за допомогою швидкої u-заміни) Причина, по якій я вибрав x для значення u, полягає в тому, що я знаю, що пізніше я в кінцевому підсумку інтегрую v, помножену на похідну u. Оскільки похідна від u рівна 1, і оскільки інтеграція тригерової функції сама по собі не робить її більш складною, ми ефективно видалили x з подинтегрального діапазону і тільки зараз треба турбуватися про синус. Отже, підключившись до формули IBP, отрима Докладніше »

Int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C Процес: int x e ^ (- x) dx =? Цей інтеграл вимагатиме інтеграції по частинах. Майте на увазі формулу: int u dv = uv - int v du Дозвольте u = x, а dv = e ^ (- x) dx. Тому du = dx. Знаходження v вимагатиме u-заміщення; Я буду використовувати буква q замість u, оскільки ми вже використовуємо u в інтеграції за формулами частин. v = int e ^ (- x) dx нехай q = -x. таким чином, dq = -dx Перепишемо інтеграл, додавши два негативу для розміщення dq: v = -int -e ^ (- x) dx Написано в термінах q: v = -int e ^ (q) dq Тому, v = -e ^ (q) Підстановка назад для q дає нам: v = -e ^ (- x) Тепер Докладніше »

Ми будемо використовувати інтеграцію по частинах. Згадайте формулу IBP, яка є int u dv = uv - int v du Нехай u = ln x, а dv = x dx. Ми вибрали ці значення, оскільки знаємо, що похідна ln x дорівнює 1 / x, а це означає, що замість того, щоб інтегрувати щось складне (натуральний логарифм), ми тепер будемо інтегрувати щось досить легко. (поліном) Отже, du = 1 / x dx, і v = x ^ 2 / 2. Підключення до формули IBP дає нам: int x ln x dx = (x ^ 2 ln x) / 2 - int x ^ 2 / (2x) dx А x відмінить від нового інтегрального значення: int x ln x dx = (x ^ 2 ln x) / 2 - int x / 2 dx Тепер рішення легко знайти за допомогою правила потужності Докладніше »

= lim_ (h-> 0) ((x + h) ^ 2 + 9 (x + h) - 3 - (x ^ 2 + 9x - 3)) / h = lim_ (h-> 0) (x ^ 2) + 2xh + h ^ 2 + 9x + 9h - 3 - x ^ 2 - 9x + 3) / h = lim_ (h-> 0) (скасування (x ^ 2) + 2xh + h ^ 2 + скасування (9x) + 9 год - скасувати (3) - скасувати (x ^ 2) - скасувати (9x) + скасувати (3)) / h = lim_ (h-> 0) (2xh + h ^ 2 + 9h) / h = lim_ (h-> 0) (h (2x + h + 9)) / h = lim_ (h-> 0) (скасувати (h) (2x + h + 9)) / скасувати (h) = lim_ (h-> 0) 2x 0 + 9 = 2x + 9 Докладніше »

0.02083 (реальне значення 0.0208008) Це можна вирішити за формулою Тейлора: f (a + x) = f (a) + xf '(a) + (x ^ 2/2) f' '(a) ... Якщо f (a) = a ^ (1/3), то будемо мати: f '(a) = (1/3) a ^ (- 2/3) тепер, якщо a = 0.008, то f (a) = 0.2 і f '(a) = (1/3) 0.008 ^ (- 2/3) = 25/3 Так, якщо x = 0.001, то f (0.009) = f (0.008 + 0.001) ~~ f (0.008) + 0.001xxf' (0,008) = = 0,2 + 0,001 * 25/3 = 0,2083 Докладніше »

Дивіться нижче. Отже, f (x) = 1 / 2x - sinx, це досить проста функція для диференціації. Нагадаємо, що d / dx (sinx) = cosx, d / dx (cosx) = -sinx і d / dx (kx) = k, для деяких k в RR. Отже, f '(x) = 1/2 - cosx. Отже, f '' (x) = sinx. Нагадаємо, що якщо крива є 'увігнутою', f '' (x)> 0, і якщо вона 'увігнута вниз', f '' (x) <0. Ми можемо вирішити ці рівняння досить легко, використовуючи знання графа y = sinx, який є позитивним від "парного" множини pi до "непарного" множини, а негативний - від "even" множини до "непарного". кілька. От Докладніше »

Нехай: a_n = 5 + 1 / n, тоді для будь-якого m, n в NN з n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m) -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) при n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n і як 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Враховуючи будь-яке дійсне число epsilon> 0, вибираємо потім ціле число N> 1 / епсилон. Для будь-яких цілих чисел m, n> N ми маємо: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon, що доводить умову Коші для збіжності послідовності. Докладніше »

Використовуйте властивості експоненційної функції для визначення N, таких як | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon для кожного m, n> N Визначення збіжності говорить, що {a_n} збігається, якщо: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon Отже, з урахуванням epsilon> 0 приймаємо N> log_2 (1 / епсилон) і m, n> N з m <n Як m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (mn)) Тепер як 2 ^ x завжди позитивна, (1- 2 ^ (mn)) <1, тому 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) А як 2 ^ (- x) сувор Докладніше »

1 "Зауважте, що:" колір (червоний) (cos ^ 2 (x) -сін ^ 2 (x) = cos (2x)) "Отже, у нас є" lim_ {x-> pi / 2} sin (cos (x )) / cos (x) "Тепер застосуємо правило de l 'Hôptial:" = lim_ {x-> pi / 2} cos (cos (x)) * (- sin (x)) / (- sin (x)) = lim_ {x-> pi / 2} cos (cos (x)) = cos (cos (pi / 2)) = cos (0) = 1 Докладніше »

F '(x) = (- 4e ^ (4x) csc ^ 2 (e ^ (4x)) (cot (e ^ (4x))) ^ (- 1/2)) / 2 колір (білий) (f') (x)) = - (2e ^ (4x) csc ^ 2 (e ^ (4x))) / sqrt (cot (e ^ (4x)) f (x) = sqrt (cot (e ^ (4x))) колір (білий) (f (x)) = sqrt (g (x)) f '(x) = 1/2 * (g (x)) ^ (- 1/2) * g' (x) колір (білий) ) (f '(x)) = (g' (x) (g (x)) ^ (- 1/2)) / 2 g (x) = cot (e ^ (4x)) колір (білий) (g) (x)) = cot (h (x)) g '(x) = - h' (x) csc ^ 2 (h (x)) h (x) = e ^ (4x) колір (білий) (h ( x)) = e ^ (j (x)) h '(x) = j' (x) e ^ (j (x)) j (x) = 4x j '(x) = 4 h' (x) = 4e ^ (4x) g '(x) = - 4e ^ (4x) csc ^ 2 (e ^ (4x)) Докладніше »

Lim_ (x-> 0) (lncotx) ^ tanx = 1 lim_ (x-> 0) tanx = 0 lim_ (x-> 0 ^ +) cotx = + oo lim_ (x-> 0 ^ -) cotx = -oo lim_ (x -> + oo) ln (x) = oo oo ^ 0 = 1, так як a ^ 0 = 1, a! = 0 (скажемо, a! = 0, оскільки це трохи ускладнено, інакше деякі сказати, що це 1, деякі кажуть 0, інші кажуть, що це невизначене, і т.д.) Докладніше »

Відношення радіуса, r, верхньої поверхні води до глибини води, w є постійною залежністю від загальних розмірів конуса r / w = 5/10 rarr r = w / 2 Обсяг конуса вода задається формулою V (w, r) = pi / 3 r ^ 2w або, в термінах просто w для даної ситуації V (w) = pi / (12) w ^ 3 (dV) / (dw) = pi / 4w ^ 2 rarr (dw) / (dV) = 4 / (piw ^ 2) Нам сказали, що (dV) / (dt) = -3 (cu.ft./min.) (dw) / ( dt) = (dw) / (dV) * (dV) / (dt) = 4 / (piw ^ 2) * (- 3) = (- 12) / (piw ^ 2) При w = 6 глибина води зміна зі швидкістю (dw) / (dt) (6) = = (-12) / (pi * 36) = -1 / (3pi) Виражається в термінах швидкості падіння рівня води, при глибині води Докладніше »

Нехай V - об'єм води в резервуарі, см ^ 3; h - глибина / висота води, см; і нехай r - радіус поверхні води (зверху), см. Оскільки танк є перевернутим конусом, так і маса води. Оскільки танк має висоту 6 м і радіус у верхній частині 2 м, подібні трикутники означають, що frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3, так що h = 3r. Об'єм перевернутого конуса води - це V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Тепер диференціюйте обидві сторони відносно часу t (у хвилинах), щоб отримати frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} (Правило ланцюга використовується в цьому крок). Якщо V_ {i} - об'єм води, яка була закачан Докладніше »

= (5) / (9 pi) ft / min Для заданої висоти, h, рідини в циліндрі або радіуса r, об'єм V = pi r ^ 2 h Диференціюючи часову точку wrt V = 2 pi r точка rh + pi r ^ 2 точка h, але точка r = 0, так точка V = pi r ^ 2 точка h точка h = точка V / (pi r ^ 2) = (5) / (pi (3 ^ 2)) = (5) / (9 pi) фут / хв Докладніше »

40pi "cm" ^ 2 "/ min" По-перше, ми повинні почати з рівняння, яке ми знаємо, що стосуються площі кола, басейну і його радіусу: A = pir ^ 2 Однак, ми хочемо побачити, як швидко область басейн зростає, що дуже схоже на швидкість, яка дуже нагадує похідну. Якщо взяти похідну від A = pir ^ 2 відносно часу, t, то видно, що: (dA) / dt = pi * 2r * (dr) / dt (Не забувайте, що правило ланцюга застосовується праворуч боку, з r ^ 2 - це схоже на неявну диференціацію.) Отже, ми хочемо визначити (dA) / dt. Питання сказало нам, що (dr) / dt = 4, коли він сказав "радіус басейну зростає зі швидкістю 4 см / хв" Докладніше »

R = 20 / sqrt (3) = (20sqrt (3)) / 3 Дозвольте переформулювати це питання, як я це розумію. За умови, що площа поверхні цього об'єкта становить 200pi, максимізуйте гучність. План Знаючи площу поверхні, ми можемо представляти висоту h як функцію радіуса r, тоді ми можемо представляти обсяг як функцію тільки одного параметра - радіус r. Цю функцію потрібно максимізувати, використовуючи r як параметр. Це дає значення r. Площа поверхні містить: 4 стіни, які утворюють бічну поверхню паралелепіпеда з периметром підстави 6r і висотою h, які мають загальну площу 6rh.1 дах, половина бічної поверхні циліндра радіуса r і висота r Докладніше »

Коли літак знаходиться на відстані 2 метри від радіолокаційної станції, швидкість її збільшення становить приблизно 433 мілі / год. Положення R радіолокаційної станції V є точкою, розташованої вертикально від радіолокаційної станції на висоті літака h висотою літака d відстань між площиною і радіолокаційною станцією x відстань між площиною і точкою V Так як площина летить горизонтально, можна зробити висновок, що PVR є правильним трикутником. Отже, теорема піфагора дозволяє знати, що d обчислюється: d = sqrt (h ^ 2 + x ^ 2) Нас цікавить ситуація, коли d = 2mi, і, оскільки літак літає горизонтально, ми знаємо, що h = 1mi не Докладніше »

Знайдемо межі на нескінченності. lim_ {x to + infty} {5 + 2 ^ x} / {1-2 ^ x}, розділивши чисельник і знаменник на 2 ^ x, = lim_ {x to + infty} {5/2 ^ x + 1 } / {1/2 ^ x-1} = {0 + 1} / {0-1} = - 1 і lim_ {x to -infty} {5 + 2 ^ x} / {1-2 ^ x} = {5 + 0} / {1-0} = 5 Отже, його горизонтальні асимптоти є y = -1 і y = 5 Вони виглядають так: Докладніше »

Дивись нижче. int_2 ^ kx ^ 5 dx = 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) і k ^ 6-2 ^ 6 = (k ^ 3 + 2 ^ 3) (k ^ 3-2 ^ 3), але k ^ 3 + 2 ^ 3 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) і k ^ 3-2 ^ 3 = (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2), так що k ^ 6 -2 ^ 6 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) або {(k + 2 = 0), (k ^ 2-2k + 2 ^ 2 = 0), (k-2 = 0), (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2 = 0):} нарешті реальні значення k = {-2,2} комплексні значення k = {-1pm i sqrt3,1pm i sqrt3} Докладніше »

Докладніше »

Ми маємо: f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) Крок 1 - Знайдіть часткові похідні Обчислимо часткову похідну функції з двох або більше змінні шляхом диференціації однієї змінної, тоді як інші змінні розглядаються як константи. Таким чином: Перші похідні: f_x = {(x ^ 2 + y ^ 2 + 1) (2 (x + y + 1)) - ((x + y + 1) ^ 2) (2x)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 (x + y + 1) - 2x (x + y + 1) ^ 2} / (x) ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = (2 + x + y + 1) (x ^ 2 + y ^ 2 + 1-x ^ 2-xy-x)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = {2 (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 f_y = { (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) (2 (x + y + 1)) - ((x + y + 1) ^ 2) (2y)} Докладніше »

Dy / dx = (xcos (x) + sin (x) - 1) / (x + cos (x)) ^ 2 "По-перше, нагадаємо, коефіцієнт коефіцієнта:" t (x) / g (x)] ^ '{g (x) f' (x) - f (x) g '(x)} / {g (x) ^ 2} "Нам дана функція диференціювання:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad y = {2 + sinx} / {x + cosx} quad. Використовуйте правило частки, щоб вивести наступне: y '= {[(x + cosx) (2 + sinx)'] - [(2 + sinx) (x + cosx) ']} / (x + cosx) ^ 2 y '= {[(x + cosx) (cosx)] - [(2 + sinx) (1 -sinx)]} / (x + cos x) ^ 2, помноживши чисельник на вивід: y' = {xcosx + cos ^ 2x - (2 - 2 sinx + sinx - sin ^ 2x)} / (x + cos) ^ Докладніше »

Параметричні рівняння корисні, коли позиція об'єкта описується в термінах t. Давайте розглянемо пару прикладів. Приклад 1 (2-D) Якщо частинка рухається по круговій траєкторії з радіусом r з центром (x_0, y_0), то її положення в момент часу t може бути описано параметричними рівняннями, такими як: {(x (t) = x_0 + rcost ), (y (t) = y_0 + rsint):} Приклад 2 (3-D) Якщо частинка піднімається вздовж спірального шляху радіуса r, центрованого по осі z, то його положення в момент часу t може бути описано параметричним рівняння типу: {(x (t) = rcost), (y (t) = rsint), (z (t) = t):} Параметричні рівняння корисні в цих прикладах, Докладніше »

Корисні програми в фізиці та техніці. З точки зору фізика, полярні координати (r і тета) корисні для розрахунку рівнянь руху від багатьох механічних систем. Досить часто у вас є об'єкти, що рухаються в колах, і їх динаміка може бути визначена за допомогою методів, які називаються лагранжіанським і гамільтоніаном системи. Використання полярних координат на користь декартових координат дозволить спростити речі дуже добре. Отже, ваші похідні рівняння будуть акуратними і зрозумілими. Крім механічних систем, можна використовувати полярні координати і розширювати їх в 3D (сферичні координати). Це дуже допоможе у виконанні ро Докладніше »

Роздільне рівняння зазвичай виглядає так: {dy} / {dx} = {g (x)} / {f (y)}. Помноживши на dx і f (y) на окремі x і y, Rightarrow f (y) dy = g (x) dx Через інтеграцію обох сторін, Rightarrow int f (y) dy = int g (x) dx, що дає Нам рішення виражено неявно: Rightarrow F (y) = G (x) + C, де F і G є антидерев'янцями f і g, відповідно. Щоб отримати докладнішу інформацію, перегляньте це відео: Докладніше »

Ліміт 1. Lim_ (x -> 0) (3x) / (tan3x) = Lim_ (x -> 0) (3x) / ((sin3x) / (cos3x)) = Lim_ (x -> 0) (3xcos3x) ) / (sin3x) = Lim_ (x -> 0) (3x) / (sin3x) .cos3x = Lim_ (x -> 0) колір (червоний) ((3x) / (sin3x)). cos3x = Lim_ (x - > 0) cos3x = Lim_ (x -> 0) cos (3 * 0) = Cos (0) = 1 Пам'ятайте, що: Lim_ (x -> 0) колір (червоний) ((3x) / (sin3x)) = 1 і Lim_ (x -> 0) колір (червоний) ((sin3x) / (3x)) = 1 Докладніше »

Dy / dx = (e ^ y-ye ^ x) / (e ^ x-xe ^ y) Спочатку беремо d / dx кожного терміну. d / dx [ye ^ x] = d / dx [xe ^ y] yd / dx [e ^ x] + e ^ xd / dx [y] = xd / dx [e ^ y] + e ^ yd / dx [ x] ye ^ x + e ^ xd / dx [y] = xd / dx [e ^ y] + e ^ y Використовуючи правило ланцюга, ми знаємо, що: d / dx = d / dy * dy / dx ye ^ x + dy / dxe ^ xd / dy [y] = dy / dxxd / dy [e ^ y] + e ^ y y ^ x + dy / dxe ^ x = dy / dxxe ^ y + e ^ y . dy / dxe ^ x-dy / dxxe ^ y = e ^ y-ye ^ x dy / dx (e ^ x-xe ^ y) = e ^ y-ye ^ x dy / dx = (e ^ y-ye ^ x) / (e ^ x-xe ^ y) Докладніше »

Площа = (32/3) u ^ 2 і обсяг = (512 / 15pi) u ^ 3 Почніть з пошуку перехоплення з осі абсцис y = 4x-x ^ 2 = x (4-x) = 0 Отже, x = 0 і x = 4 Площа dA = ydx A = int_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) dx = [2x ^ 2-1 / 3x ^ 3] _0 ^ 4 = 32-64 / 3 -0 = 32 / 3u ^ 2 Обсяг dV = piy ^ 2dx V = piint_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) ^ 2dx = piint_0 ^ 4 (16x ^ 2-8x ^ 3 + x ^ 4) dx = pi [16 / 3x ^ 3-2x ^ 4 + 1 / 5x ^ 5] _0 ^ 4 = pi (1024 / 3-512 + 1024 / 5-0) = pi (5120 / 15-7680 / 15 + 3072/15) = pi (512/15) Докладніше »

F '(x) = 3x ^ 2sqrt (x-2) sinx + (x ^ 3sinx) / (2sqrt (x-2)) + x ^ 3sqrt (x-2) cosx Якщо f (x) = g (x) h (x) j (x), потім f '(x) = g' (x) h (x) j (x) + g (x) h '(x) j (x) + g (x) h (x ) j '(x) g (x) = x ^ 3 g' (x) = 3x ^ 2 h (x) = sqrt (x-2) = (x-2) ^ (1/2) h '(x ) = 1/2 * (x-2) ^ (- 1/2) * d / dx [x-2] колір (білий) (h '(x)) = (x-2) ^ (- 1/2 ) / 2 * 1 колір (білий) (h '(x)) = (x-2) ^ (- 1/2) / 2 колір (білий) (h' (x)) = 1 / (2sqrt (x- 2)) j (x) = sinx j '(x) = cosx f' (x) = 3x ^ 2sqrt (x-2) sinx + x ^ 3 1 / (2sqrt (x-2)) sinx + x ^ 3sqrt (x-2) cosx f '(x) = 3x ^ 2sqrt (x Докладніше »

Збільшення Щоб знайти, якщо функція f (x) зростає або занижується в точці f (a), ми беремо похідну f '(x) і знаходимо f' (a) / Якщо f '(a)> 0, то вона зростає Якщо f '(a) = 0, то це перегин, якщо f' (a) <0, то зменшується f (x) = cosx + sinx f '(x) = - sinx + cosx f' (pi / 6) = cos (pi / 6) -sin (pi / 6) = (- 1 + sqrt (3)) / 2 f '(pi / 6)> 0, тому зростає при f (pi / 6) Докладніше »

На [0,3] максимум дорівнює 19 (при х = 3), а мінімум -1 (при х = 1). Для знаходження абсолютних екстремумів (безперервної) функції на замкнутому інтервалі ми знаємо, що екстремуми повинні відбуватися в будь-яких критичних числах в інтервалі або в кінцях інтервалу. f (x) = x ^ 3-3x + 1 має похідну f '(x) = 3x ^ 2-3. 3x ^ 2-3 ніколи не визначено і 3x ^ 2-3 = 0 при x = + - 1. Оскільки -1 не знаходиться в інтервалі [0,3], ми його відкидаємо. Єдиним критичним числом для розгляду є 1. f (0) = 1 f (1) = -1 і f (3) = 19. Отже, максимум 19 (при x = 3) і мінімум -1 ( x = 1). Докладніше »

Глобальних максимумів немає. Глобальний мінімум дорівнює -3 і відбувається при x = 3. f (x) = (x ^ 3 - 7x ^ 2 + 12x - 6) / (x - 1) f (x) = ((x - 1) (x ^ 2 - 6x + 6)) / (x - 1) f (x) = x ^ 2 - 6x + 6, де x f 1 f '(x) = 2x - 6 Абсолютні екстремуми відбуваються на кінцевій точці або на критичне число. Кінцеві точки: 1 & 4: x = 1 f (1): "undefined" lim_ (x 1) f (x) = 1 x = 4 f (4) = -2 Критична точка (и): f '(x) = 2x - 6 f '(x) = 0 2x - 6 = 0, x = 3 При x = 3 f (3) = -3 Немає глобальних максимумів. Не існує глобальних мінімумів -3 і відбувається при x = 3. Докладніше »

X = 0 - максимум функції. f (x) = 1 / (1 + x²) Пошук f '(x) = 0 f' (x) = - 2x / ((1 + x²) ²) Таким чином, ми бачимо, що існує унікальне рішення, f ' (0) = 0 А також, що це рішення є максимумом функції, оскільки lim_ (x до ± oo) f (x) = 0, а f (0) = 1 0 / ось наша відповідь! Докладніше »

Абсолютний максимум при f (.4636) близько 2.2361 Абсолютний хв при f (pi / 2) = 1 f (x) = 2cosx + sinx Знайти f '(x) шляхом диференціації f (x) f' (x) = - 2sinx + cosx Знайти будь-які відносні екстремуми, встановивши f '(x) дорівнює 0: 0 = -2sinx + cosx 2sinx = cosx На заданому інтервалі єдине місце, яке змінює знак f' (x) (використовуючи калькулятор), знаходиться на x = .4636476 Тепер перевірте значення x, підключивши їх до f (x), і не забудьте включити межі x = 0 і x = pi / 2 f (0) = 2 колір (синій) (f (. 4636) близько 2,236068) колір (червоний) (f (pi / 2) = 1) Отже, абсолютний максимум f (x) для x в [0, Докладніше »

-3 (відбуваються при x = -3) і -28 (відбуваються при x = -2) Абсолютні екстремуми замкнутого інтервалу відбуваються в кінцевих точках інтервалу або при f '(x) = 0. Це означає, що нам доведеться встановити похідну, рівну 0, і подивитися, які значення x отримує нас, і нам доведеться використовувати x = -3 і x = -1 (тому що це кінцеві точки). Отже, починаючи з прийняття похідної: f (x) = x ^ 4-8x ^ 2-12 f '(x) = 4x ^ 3-16x Установка рівна 0 і розв'язування: 0 = 4x ^ 3-16x 0 = x ^ 3-4x 0 = x (x ^ 2-4) x = 0 і x ^ 2-4 = 0 Таким чином, розв'язки становлять 0,2 і -2. Ми відразу позбавляємося від 0 і 2, тому що вон Докладніше »

6 і -2 Абсолютні екстремуми (мінімальні і максимальні значення функції над інтервалом) можна знайти, оцінивши кінцеві точки інтервалу і точки, де похідна функції дорівнює 0. Почнемо з оцінки кінцевих точок інтервал; в нашому випадку це означає знаходження f (0) і f (4): f (0) = 2 (0) ^ 2-8 (0) + 6 = 6 f (4) = 2 (4) ^ 2-8 (4) + 6 = 6 Зауважимо, що f (0) = f (4) = 6. Далі знайдемо похідну: f '(x) = 4x-8-> використовуючи правило потужності і знаходимо критичні точки; тобто значення, для яких f '(x) = 0: 0 = 4x-8 x = 2 Оцініть критичні точки (у нас є тільки одна, x = 2): f (2) = 2 (2) ^ 2-8 ( 2) + 6 = -2 Нарешті, ви Докладніше »

F (x) має абсолютний мінімум 2 при x = 0 f (x) = 2 + x ^ 2 f (x) - парабола з єдиним абсолютним мінімумом, де f '(x) = 0 f' (x) = 0 + 2x = 0 -> x = 0: .f_min (x) = f (0) = 2 Це видно на графіку f (x) нижче: графік {2 + x ^ 2 [-9.19, 8.59, -0,97, 7,926]} Докладніше »

У [-8, 8] абсолютний мінімум 0 при O. x = + -8 - вертикальні асимптоти. Таким чином, абсолютного максимуму немає. Звичайно, | f | to oo, як x до + -8. Перший - це загальний графік. Графік симетричний, близько O. Другий для заданих меж x у [-8, 8] графіку {((2x ^ 3-x) / (x ^ 2-64) -y) (y-2x) = 0 [-160, 160, -80, 80]} графік {(2x ^ 3-x) / (x ^ 2-64) [-10, 10, -5, 5]} За дійсним поділом, y = f ( x) = 2x +127/2 (1 / (x + 8) + 1 / (x-8)), виявляючи похилу асимптоту y = 2x і вертикальну асимптоту x = + -8. Отже, абсолютного максимуму не існує, як | y | до оо, як x до + -8. y '= 2-127 / 2 (1 / (x + 8) ^ 2 + 1 / (x-8) ^ 2) = 0 Докладніше »

Абсолютна макс: (pi / 4, pi / 4) абсолютна min: (0, 0) Дано: f (x) = 2x sin ^ 2x + x cos2x в [0, pi / 4] Знайти першу похідну за допомогою правила продукту . Правило продукту: (uv) '= uv' + v u 'Нехай u = 2x; "" u '= 2 Нехай v = sin ^ 2x = (sin x) ^ 2; "" v '= 2 sin x cos x f' (x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + ... Для другої половини рівняння: Нехай u = x; "" u '= 1 Нехай v = cos (2x); "" v '= (- sin (2x)) 2 = -2sin (2x) f' (x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + x (-2sin (2x)) + cos (2x) (1) ) Спростити: f '(x) = скасувати (2x sin (2x)) + 2sin ^ Докладніше »

Абсолютний максимум f (x) - f (1) = 6, а абсолютний мінімум - f (0) = 0. Щоб знайти абсолютні екстремуми функції, потрібно знайти її критичні точки. Це точки функції, де її похідна є нульовою або не існує. Похідною функції є f '(x) = 3x ^ (- 2/3) -3. Ця функція (похідна) існує всюди. Знайдемо, де вона дорівнює нулю: 0 = 3x ^ (- 2/3) -3rarr3 = 3x ^ (- 2/3) rarrx ^ (- 2/3) = 1rarrx = 1 Ми також повинні враховувати кінцеві точки функції при пошуку абсолютних екстремумів: три можливості для екстремумів - f (1), f (0) і f (5). Розраховуючи їх, знаходимо, що f (1) = 6, f (0) = 0, і f (5) = 9корот (3) (5) -15 ~~ 0.3, так що f Докладніше »

Абсолютний мінімум (9 * root3 (9)) / 26 = 0.7200290. . . що відбувається при x = 9. Абсолютний максимум дорівнює (9 * root3 (2)) / 11 = 1.030844495. . . що відбувається при x = 2. Абсолютні екстремуми функції є найбільшими і найменшими значеннями у функції на даному домені. Цей домен може бути наданий нам (як у цій проблемі), або він може бути областю самої функції. Навіть коли нам дана область, ми повинні розглянути область самої функції, якщо вона виключає будь-які значення даної області. f (x) містить показник 1/3, який не є цілим числом. На щастя, область p (x) = root3 (x) є (-oo, oo), тому цей факт не є проблемою. Одн Докладніше »