Припустимо, що у мене немає формули для g (x), але я знаю, що g (1) = 3 і g '(x) = sqrt (x ^ 2 + 15) для всіх x. Як використовувати лінійну апроксимацію для оцінки g (0.9) і g (1.1)?

Перенесіть зі мною трохи, але це стосується рівняння нахилу-перехоплення лінії, заснованого на першій похідній … І я хотів би привести вас до шляху робити відповідь, а не просто дати Ви відповіли …

Добре, перш ніж я отримаю відповідь, я відпущу вас на (трохи) гумористичній дискусії, яку мій офіс і я просто мав …

Я: "Гаразд, waitasec … Ви не знаєте, g (x), але ви знаєте, похідна істинна для всіх (x) … Чому ви хочете зробити лінійну інтерпретацію, засновану на похідній? інтеграл похідної, і ви маєте вихідну формулу … Чи не так?

О.М.: "Чекайте, що?" він читає питання вище "Свята моли, я цього не робив років!"

Отже, це призводить до дискусії між нами про те, як інтегрувати це, але те, що професор дійсно хоче (ймовірно), це не робити вам зворотну операцію (яка в деяких випадках може бути дійсно HARD), але зрозуміти що перша похідна фактично є.

Таким чином, ми подряпали наші голови і обдумували наші колективні вікові спогади, і, нарешті, погодилися, що 2-я похідна є локальним максимумом / мінімумом, а перша похідна (яка вам до речі) є нахил кривої в даній точці.

Що ж це має відношення до ціни на черв'яків у Мексиці? Ну, якщо ми зробимо припущення, що нахил залишається відносно постійним для всіх "сусідніх" точок (щоб знати це, потрібно дивитися на криву і використовувати добру думку, виходячи з того, що ви знаєте про речі - але оскільки це те, що ваш проф. хоче, це те, що він отримує!), тоді ми можемо зробити лінійну інтерполяцію - це саме те, що ви просили!

Гаразд, тоді - м'ясо відповіді:

Нахил (m) функції за нашим відомим значенням:

m =#sqrt (x ^ 2 + 15) #

Таким чином, нахил у відомій точці (x = 1) становить:

m =#sqrt (1 ^ 2 + 15) #

m =#sqrt (1 + 15) #

m =#sqrt (16) #

m = 4

Пам'ятайте, що формула для рядка (необхідна для лінійної інтерполяції):

# y = mx + b #

Це означає, що для точок "близько" до нашого відомого значення, ми можемо наблизити значення як до лінії з нахилом m, а y-перехопити b. або:

#g (x) = mx + b #

#g (x) = 4x + b #

Так, тоді, що # b #?

Ми вирішуємо це за допомогою нашого відомого значення

#g (1) = 3 #

# 4 (1) + b = 3 #

# 4 + b = 3 #

# b = -1 #

Тепер ми знаємо формулу для лінії, яка наближається до нашої кривої у відомій точці:

g (x#~=#1) = 4x-1

Отже, ми не вставляємо точки наближення, щоб отримати приблизне значення, або:

#g (0.9) ~ = 4 (0.9) -1 #

#g (0.9) ~ = 3.6-1 #

#g (0.9) ~ = 2.6 #

і

#g (1.1) ~ = 4 (1.1) -1

#g (1.1) ~ = 4.4-1 #

#g (1.1) ~ = 3.4 #

Легко, чи не так?