Які абсолютні екстремуми f (x) = (9x ^ (1/3)) / (3x ^ 2-1) в [2,9]?

Відповідь:

Абсолютний мінімум є # (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# що відбувається, коли # x = 9 #.

Абсолютний максимум є # (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # що відбувається, коли # x = 2 #.

Пояснення:

Абсолютні екстремуми функції є найбільшими і найменшими значеннями у функції на даному домені. Цей домен може бути наданий нам (як у цій проблемі), або він може бути областю самої функції. Навіть коли нам дана область, ми повинні розглянути область самої функції, якщо вона виключає будь-які значення даної області.

#f (x) # містить показник #1/3#, яка не є цілим числом. На щастя, домен #p (x) = root3 (x) # є # (- oo, oo) # тому цей факт не є проблемою.

Однак нам все ж таки потрібно враховувати той факт, що знаменник не може дорівнювати нулю. Знаменник буде дорівнювати нулю, коли #x = + - (1/3) = + - (sqrt (3) / 3) #. Жодна з цих цінностей не лежить в даній області #2,9#.

Отже, ми переходимо до пошуку абсолютних екстремумів #2,9#. Абсолютні екстремуми відбуваються в кінцевих точках домену або в локальних екстремумах, тобто в точках, де функція змінює напрямок. Локальні екстремуми відбуваються в критичних точках, які є точками в області, де похідна дорівнює #0# або не існує. Таким чином, ми повинні знайти похідну. Використовуючи правило частки:

#f '(x) = ((3x ^ 2-1) * (1/3) (9x ^ (- 2/3)) - 9x ^ (1/3) * 6x) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = ((3x ^ 2-1) * 3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = (9x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = (- 45x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

Якщо ми фактор # -3x ^ (- 2/3) # з чисельника ми маємо:

#f '(x) = (- 3 (15x ^ 2 + 1)) / (x ^ (2/3) (3x ^ 2-1) #

Немає значень # x # на #2,9# де #f '(x) # не існує. Також немає значень на #2,9# де #f '(x) = 0 #. Таким чином, на даній області немає критичних точок.

Використовуючи "тест кандидатів", ми знаходимо значення #f (x) # на кінцевих точках. #f (2) = (9 * root3 (2)) / (3 * 4-1) #=# (9 * root3 (2)) / 11 #

#f (9) = (9 * root3 (9)) / (3 * 9-1) #=# (9 * root3 (9)) / 26 #

Швидка перевірка на наших калькуляторах показує, що:

# (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # (абсолютний максимум)

# (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# (абсолютний мінімум)

Які абсолютні екстремуми f (x) = x ^ 3 - 3x + 1 в [0,3]?

На [0,3] максимум дорівнює 19 (при х = 3), а мінімум -1 (при х = 1). Для знаходження абсолютних екстремумів (безперервної) функції на замкнутому інтервалі ми знаємо, що екстремуми повинні відбуватися в будь-яких критичних числах в інтервалі або в кінцях інтервалу. f (x) = x ^ 3-3x + 1 має похідну f '(x) = 3x ^ 2-3. 3x ^ 2-3 ніколи не визначено і 3x ^ 2-3 = 0 при x = + - 1. Оскільки -1 не знаходиться в інтервалі [0,3], ми його відкидаємо. Єдиним критичним числом для розгляду є 1. f (0) = 1 f (1) = -1 і f (3) = 19. Отже, максимум 19 (при x = 3) і мінімум -1 ( x = 1).

Які абсолютні екстремуми f (x) = (x ^ 3-7x ^ 2 + 12x-6) / (x-1) в [1,4]?

Глобальних максимумів немає. Глобальний мінімум дорівнює -3 і відбувається при x = 3. f (x) = (x ^ 3 - 7x ^ 2 + 12x - 6) / (x - 1) f (x) = ((x - 1) (x ^ 2 - 6x + 6)) / (x - 1) f (x) = x ^ 2 - 6x + 6, де x f 1 f '(x) = 2x - 6 Абсолютні екстремуми відбуваються на кінцевій точці або на критичне число. Кінцеві точки: 1 & 4: x = 1 f (1): "undefined" lim_ (x 1) f (x) = 1 x = 4 f (4) = -2 Критична точка (и): f '(x) = 2x - 6 f '(x) = 0 2x - 6 = 0, x = 3 При x = 3 f (3) = -3 Немає глобальних максимумів. Не існує глобальних мінімумів -3 і відбувається при x = 3.

Які абсолютні екстремуми f (x) = 1 / (1 + x ^ 2) в [oo, oo]?

X = 0 - максимум функції. f (x) = 1 / (1 + x²) Пошук f '(x) = 0 f' (x) = - 2x / ((1 + x²) ²) Таким чином, ми бачимо, що існує унікальне рішення, f ' (0) = 0 А також, що це рішення є максимумом функції, оскільки lim_ (x до ± oo) f (x) = 0, а f (0) = 1 0 / ось наша відповідь!