Відповідь:
# V = 16 / 15pi ~~ 3.35103 #
Пояснення:
Область є рішенням цієї системи:
# {(y <= - x ^ 2 + 2x + 3), (y> = 3):} #
І це замальовано в цій ділянці:
Формула для обсягу обертання осі обертання x:
# V = pi * int_a ^ b f ^ 2 (z) dz #.
Щоб застосувати формулу, слід перевести півмісяць по осі абсцис, область не зміниться, і тому вона не змінить і обсяг:
# y = -x ^ 2 + 2x + 3 кольору (червоний) (- 3) = - x ^ 2 + 2x #
# y = 3color (червоний) (- 3) = 0 #
Таким чином ми отримуємо #f (z) = - z ^ 2 + 2z #.
Тут перекладено область перекладу:
Але які a і b інтеграла? Рішення системи:
# {(y = -x ^ 2 + 2x), (y = 0):} #
Тому # a = 0 і b = 2 #.
Давайте перепишемо і вирішимо інтеграл:
# V = pi * int_0 ^ 2 (-z ^ 2 + 2z) ^ 2 dz #
# V = pi * int_0 ^ 2 z ^ 4-4z ^ 3 + 4z ^ 2 dz #
# V = pi * z ^ 5 / 5- (4z ^ 4) / 4 + (4z ^ 3) / 3 _0 ^ 2 #
# V = pi * z ^ 5/5-z ^ 4 + (4z ^ 3) / 3 _0 ^ 2 #
# V = pi * (2 ^ 5 / 5-2 ^ 4 + (4 * 2 ^ 3) / 3-0 ^ 5/5 + 0 ^ 4- (4 * 0 ^ 3) / 3) #
# V = pi * (32 / 5-16 + 32/3 + 0) #
# V = pi * (96 / 15-240 / 15 + 160/15) #
# V = pi * (96 / 15-240 / 15 + 160/15) #
# V = 16 / 15pi ~~ 3.35103 #
І цей "лимон" - це тверда речовина, отримана:
