Як знайти інтеграл int (x * ln (x)) dx?

Ми будемо використовувати інтеграцію по частинах.

Згадайте формулу IBP, яка є

#int u dv = uv - int v du #

Дозволяє #u = ln x #, і #dv = x dx #. Ми вибрали ці значення, оскільки знаємо, що похідна від #ln x # дорівнює # 1 / x #, що означає, що замість того, щоб інтегрувати щось складне (природний логарифм), ми тепер будемо інтегрувати щось досить легко. (поліном)

Таким чином, #du = 1 / x dx #, і #v = x ^ 2/2 #.

Підключення до формули IBP дає нам:

#int x ln x dx = (x ^ 2 ln x) / 2 - int x ^ 2 / (2x) dx #

An # x # скасує з нового інтегранта:

#int x ln x dx = (x ^ 2 ln x) / 2 - int x / 2 dx #

Тепер рішення легко знайти за допомогою правила потужності. Не забувайте про постійну інтеграцію:

#int x ln x dx = (x ^ 2 ln x) / 2 - x ^ 2/4 + C #

Як знайти інтеграл int (ln (x)) ^ 2dx?

Наша мета полягає в тому, щоб зменшити потужність ln x так, щоб інтеграл було легше оцінити. Ми можемо це зробити, використовуючи інтеграцію по частинах. Майте на увазі формулу ІБП: int u dv = uv - int v du. Тепер давайте похвалимо u = (lnx) ^ 2, а dv = dx. Отже, du = (2lnx) / x dx та v = x. Тепер, збираючи частини разом, отримуємо: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx Цей новий інтеграл виглядає набагато краще! Спрощуючи біт і доводячи константу до фронту, виходить: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx Тепер, щоб позбутися цього наступного інтеграла, ми зробимо другу інтеграцію по частинах, доз

Як знайти інтеграл int (x ^ 2 * sin (pix)) dx?

Використання інтеграції по частинах, intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C Пам'ятайте, що інтеграція за частинами використовує формулу: intu dv = uv - intv du Котрий базується від правила продукту для похідних: uv = vdu + udv Щоб використовувати цю формулу, ми повинні вирішити, який термін буде u, а який буде dv. Корисний спосіб з'ясувати, яким терміном є метод ILATE. Інверсні логарифми Trig Алгебра Trig Exponentials Це дає вам порядок пріоритету, термін якого використовується для "u", так що все, що залишилося стає нашим dv. Наша функція містить x ^ 2

Як знайти інтеграл int (x * cos (5x)) dx?

Ми будемо мати на увазі формулу інтеграції за частинами, яка є: int u dv = uv - int v du Щоб знайти цей інтеграл успішно, дозвольте u = x і dv = cos 5x dx. Отже, du = dx і v = 1/5 sin 5x. (v можна знайти за допомогою швидкої u-заміни) Причина, по якій я вибрав x для значення u, полягає в тому, що я знаю, що пізніше я в кінцевому підсумку інтегрую v, помножену на похідну u. Оскільки похідна від u рівна 1, і оскільки інтеграція тригерової функції сама по собі не робить її більш складною, ми ефективно видалили x з подинтегрального діапазону і тільки зараз треба турбуватися про синус. Отже, підключившись до формули IBP, отрима