Як знайти інтеграл int (ln (x)) ^ 2dx?

Наша мета - зменшити потужність #ln x # так що інтеграл легше оцінити.

Ми можемо це зробити, використовуючи інтеграцію по частинах. Майте на увазі формулу IBP:

#int u dv = uv - int v du #

Тепер ми дозволимо #u = (lnx) ^ 2 #, і #dv = dx #.

Тому, #du = (2lnx) / x dx #

#v = x #.

Тепер, збираючи шматки разом, отримуємо:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx #

Цей новий інтеграл виглядає набагато краще! Дещо спрощуючи, і приносячи постійний фронт, дає:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx #

Тепер, щоб позбутися цього наступного інтеграла, ми зробимо другу інтеграцію частинами, дозволяючи #u = ln x # і #dv = dx #.

Таким чином, #du = 1 / x dx # і #v = x #.

Складання дає нам:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 (xlnx - int x / x dx) #

Тепер усе, що потрібно зробити, це спростити, маючи на увазі додавання константи інтеграції:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2xlnx + 2x + C #

І там ми її маємо. Пам'ятайте, що інтеграція по частинах стосується вибору # u # так що брудні речі усуваються з інтегранта. У цьому випадку ми привезли # (ln x) ^ 2 # аж до #ln x #, а потім вниз # 1 / x #. Зрештою, деякі # x #Скасовано, і стало легше інтегруватися.

Як знайти інтеграл int (x ^ 2 * sin (pix)) dx?

Використання інтеграції по частинах, intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C Пам'ятайте, що інтеграція за частинами використовує формулу: intu dv = uv - intv du Котрий базується від правила продукту для похідних: uv = vdu + udv Щоб використовувати цю формулу, ми повинні вирішити, який термін буде u, а який буде dv. Корисний спосіб з'ясувати, яким терміном є метод ILATE. Інверсні логарифми Trig Алгебра Trig Exponentials Це дає вам порядок пріоритету, термін якого використовується для "u", так що все, що залишилося стає нашим dv. Наша функція містить x ^ 2

Як знайти інтеграл int (x * cos (5x)) dx?

Ми будемо мати на увазі формулу інтеграції за частинами, яка є: int u dv = uv - int v du Щоб знайти цей інтеграл успішно, дозвольте u = x і dv = cos 5x dx. Отже, du = dx і v = 1/5 sin 5x. (v можна знайти за допомогою швидкої u-заміни) Причина, по якій я вибрав x для значення u, полягає в тому, що я знаю, що пізніше я в кінцевому підсумку інтегрую v, помножену на похідну u. Оскільки похідна від u рівна 1, і оскільки інтеграція тригерової функції сама по собі не робить її більш складною, ми ефективно видалили x з подинтегрального діапазону і тільки зараз треба турбуватися про синус. Отже, підключившись до формули IBP, отрима

Як знайти інтеграл int (x * e ^ -x) dx?

Int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C Процес: int x e ^ (- x) dx =? Цей інтеграл вимагатиме інтеграції по частинах. Майте на увазі формулу: int u dv = uv - int v du Дозвольте u = x, а dv = e ^ (- x) dx. Тому du = dx. Знаходження v вимагатиме u-заміщення; Я буду використовувати буква q замість u, оскільки ми вже використовуємо u в інтеграції за формулами частин. v = int e ^ (- x) dx нехай q = -x. таким чином, dq = -dx Перепишемо інтеграл, додавши два негативу для розміщення dq: v = -int -e ^ (- x) dx Написано в термінах q: v = -int e ^ (q) dq Тому, v = -e ^ (q) Підстановка назад для q дає нам: v = -e ^ (- x) Тепер