Як знайти інтеграл int (x * cos (5x)) dx?

Ми будемо мати на увазі формулу інтеграції по частинах:

#int u dv = uv - int v du #

Знайти цей інтеграл успішно дозволимо #u = x #, і #dv = cos 5x dx #. Тому, #du = dx # і #v = 1/5 sin 5x #. (# v # можна знайти за допомогою швидкого # u #-заміщення)

Причина, яку я вибрав # x # для значення # u # це тому, що я знаю, що пізніше я закінчу інтеграцію # v # помножений на # u #Похідна Росії. З похідною Росії # u # просто #1#, і оскільки інтеграція тригерної функції сама по собі не робить її більш складною, ми ефективно видалили # x # від подинтегрального і тільки треба турбуватися про синус зараз.

Отже, підключаючи формулу IBP, отримуємо:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - int 1/5 sin 5x dx #

Потягнувши #1/5# з підінтегральної функції дає нам:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/5 інт. 5x dx #

Інтеграція синуса буде тільки a # u #-заміщення. Так як ми вже використовувалися # u # Для формули IBP я буду використовувати цей лист # q # замість цього:

#q = 5x #

#dq = 5 dx #

Щоб отримати # 5 dx # всередині інтегранта я помножу інтеграл на інший #1/5#:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int 5sin 5x dx #

І, замінивши все в термінах # q #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int sinq * dq #

Ми знаємо, що інтеграл від # sin # є # -cos #, так що ми можемо легко завершити цей інтеграл. Пам'ятайте про постійність інтеграції:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + 1/25 cos q + C #

Тепер ми просто повернемо назад # q #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + (cos 5x) / 25 + C #

І є наш інтеграл.

Як знайти інтеграл int (ln (x)) ^ 2dx?

Наша мета полягає в тому, щоб зменшити потужність ln x так, щоб інтеграл було легше оцінити. Ми можемо це зробити, використовуючи інтеграцію по частинах. Майте на увазі формулу ІБП: int u dv = uv - int v du. Тепер давайте похвалимо u = (lnx) ^ 2, а dv = dx. Отже, du = (2lnx) / x dx та v = x. Тепер, збираючи частини разом, отримуємо: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx Цей новий інтеграл виглядає набагато краще! Спрощуючи біт і доводячи константу до фронту, виходить: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx Тепер, щоб позбутися цього наступного інтеграла, ми зробимо другу інтеграцію по частинах, доз

Як знайти інтеграл int (x ^ 2 * sin (pix)) dx?

Використання інтеграції по частинах, intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C Пам'ятайте, що інтеграція за частинами використовує формулу: intu dv = uv - intv du Котрий базується від правила продукту для похідних: uv = vdu + udv Щоб використовувати цю формулу, ми повинні вирішити, який термін буде u, а який буде dv. Корисний спосіб з'ясувати, яким терміном є метод ILATE. Інверсні логарифми Trig Алгебра Trig Exponentials Це дає вам порядок пріоритету, термін якого використовується для "u", так що все, що залишилося стає нашим dv. Наша функція містить x ^ 2

Як знайти інтеграл з int 1 / (1 + cos (x))?

-cotx + cscx + "C" int1 / (1 + cosx) dx = int (1-cosx) / ((1 + cosx) (1-cosx)) dx = int (1-cosx) / (1-cos ^ 2x ) dx = int (1-cosx) / sin ^ 2xdx = int 1 / sin ^ 2 xdx-intcosx / sin ^ 2xdx = int csc ^ 2xdx-intcotxcscxdx = -cotx + cscx + "C"