Використання інтеграції за частинами,
# intx ^ 2sinpixdx #
#=#
# (- 1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #
Пам'ятайте, що інтеграція за частинами використовує формулу:
# intu # # dv # =#uv - intv # # du #
Який базується поза правила продукту для похідних:
#uv = vdu + udv #
Щоб скористатися цією формулою, необхідно вирішити, який термін буде
Зворотний триг
Логарифми
Алгебра
Триг
Експонент
Це дає вам порядок пріоритету, для якого використовується термін "
Тепер у нас є:
#u = x ^ 2 # ,#dv = sinpix #
Наступні пункти, які нам потрібні у формулі:
Похідна отримана за допомогою правила потужності:
# d / dxx ^ 2 = 2x = du #
Для інтеграла можна використовувати заміщення.
використання
Тепер у нас є:
#du = 2x dx # ,#v = # # (- 1 / pi) cospix #
Підключаючись до нашої оригінальної формули інтеграції за частинами, ми маємо:
# intu # # dv # =#uv - intv # # du #
#=#
# intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix - (-1 / pi) int2xcospixdx #
Тепер ми залишилися з іншим інтегралом, який ми повинні ще раз використовувати для інтеграції частинами, щоб вирішити. Потягнувши
#intxcospixdx = (1 / pi) xsinpix - (1 / pi) intsinpixdx #
Цей останній інтеграл ми можемо вирішити за допомогою останнього раунду заміщення, даючи нам:
# (1 / pi) intsinpixdx = (-1 / pi ^ 2) cospix #
Розташуючи все, що ми знайшли разом, зараз маємо:
# (- 1 / pi) x ^ 2cospix - (-2 / pi) (1 / pi) xsinpix - (-1 / pi ^ 2) cospix #
Тепер ми можемо спростити негативи та дужки, щоб отримати остаточну відповідь:
# intx ^ 2sinpixdx = #
# (- 1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #
Ключовим моментом є те, що ви будете мати ланцюжок з кількома термінами, які будуть додаватися або відніматися разом. Ви постійно розбиваєте інтеграл на дрібні, керовані частини, за якими ви повинні відстежувати остаточну відповідь.
Як знайти інтеграл int (ln (x)) ^ 2dx?
Наша мета полягає в тому, щоб зменшити потужність ln x так, щоб інтеграл було легше оцінити. Ми можемо це зробити, використовуючи інтеграцію по частинах. Майте на увазі формулу ІБП: int u dv = uv - int v du. Тепер давайте похвалимо u = (lnx) ^ 2, а dv = dx. Отже, du = (2lnx) / x dx та v = x. Тепер, збираючи частини разом, отримуємо: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx Цей новий інтеграл виглядає набагато краще! Спрощуючи біт і доводячи константу до фронту, виходить: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx Тепер, щоб позбутися цього наступного інтеграла, ми зробимо другу інтеграцію по частинах, доз
Як знайти інтеграл int (x * cos (5x)) dx?
Ми будемо мати на увазі формулу інтеграції за частинами, яка є: int u dv = uv - int v du Щоб знайти цей інтеграл успішно, дозвольте u = x і dv = cos 5x dx. Отже, du = dx і v = 1/5 sin 5x. (v можна знайти за допомогою швидкої u-заміни) Причина, по якій я вибрав x для значення u, полягає в тому, що я знаю, що пізніше я в кінцевому підсумку інтегрую v, помножену на похідну u. Оскільки похідна від u рівна 1, і оскільки інтеграція тригерової функції сама по собі не робить її більш складною, ми ефективно видалили x з подинтегрального діапазону і тільки зараз треба турбуватися про синус. Отже, підключившись до формули IBP, отрима
Як знайти інтеграл int (x * e ^ -x) dx?
Int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C Процес: int x e ^ (- x) dx =? Цей інтеграл вимагатиме інтеграції по частинах. Майте на увазі формулу: int u dv = uv - int v du Дозвольте u = x, а dv = e ^ (- x) dx. Тому du = dx. Знаходження v вимагатиме u-заміщення; Я буду використовувати буква q замість u, оскільки ми вже використовуємо u в інтеграції за формулами частин. v = int e ^ (- x) dx нехай q = -x. таким чином, dq = -dx Перепишемо інтеграл, додавши два негативу для розміщення dq: v = -int -e ^ (- x) dx Написано в термінах q: v = -int e ^ (q) dq Тому, v = -e ^ (q) Підстановка назад для q дає нам: v = -e ^ (- x) Тепер