Прохання вирішити це? який варіант правильний?

Це легко сприймається як не виконане елементарними засобами, тому я просто вирішив його чисельно і отримав:

Я оцінив інтеграл для #n = 1, 1.5, 2,…, 9.5, 10, 25, 50, 75, 100. На той час вона явно досягала #0.5#.

Відповідь:

Дивись нижче.

Пояснення:

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1 #

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx ge 1/2 int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1/2 #

або

# 1/2 le int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le 1 #

Тепер припускаючи, що один з відповідей правдивий, найбільш природним є четвертий 4)

ПРИМІТКА

для #x у 0,1 #

# 1/2 le 1 / (1 + x ^ 2) le 1 #

Відповідь:

#1/2#

Пояснення:

Як вже було показано в попередньому рішенні, #I_n = int_0 ^ 1 (nx ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx #

існує і обмежена:

# 1/2 le I_n <1 #

Тепер інтеграція по частинах дає можливість

# I_n = ((int nx ^ (n-1) dx) / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1-int_0 ^ 1 x ^ n разів (- (2x) / (1 + x ^ 2) ^ 2) dx #

#qquad = (x ^ n / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1 + 2int_0 ^ 1 x ^ (n + 1) / (1 + x ^ 2) ^ 2dx #

#qquad = 1/2 + J_n #

Тепер, оскільки # 0 <(1 + x ^ 2) ^ - 1 <1 # в #(0,1)#

#J_n = 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) ^ 2 dx #

#qquad <= 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) dx = 2 / (n + 2) I_ (n + 2)) #

З #lim_ (n до оо) I_n # існує, у нас є

#lim_ (n до оо) J_n = lim_ (n до оо) 2 / (n + 2) I_ (n + 2) = lim_ (n до оо) 2 / (n + 2) рази lim_ (n до оо) I_ (n + 2) = 0 #

Звідси

# lim_ (n до оо) I_n = 1/2 #