Питання 69

Відповідь:

Звичайна лінія: # y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #. Дотична лінія: #y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Пояснення:

Для інтуїції: Уявіть, що функція #f (x, y) = e ^ x ln (y) - xy # описує висоту деяких місцевостей, де # x # і # y # є координатами в площині і #ln (y) # вважається натуральним логарифмом. Тоді все # (x, y) # такий, що #f (x, y) = a # (висота) дорівнює деякій постійній # a # називаються кривими рівня. У нашому випадку постійна висота # a # дорівнює нулю, оскільки #f (x, y) = 0 #.

Можливо, ви знайомі з топографічними картами, в яких закриті лінії вказують на лінії рівної висоти.

Тепер градієнт #grad f (x, y) = ((часткова f) / (часткова x), (часткова f) / (часткова x)) = (e ^ x ln (y) - y, e ^ x / y - x) # дає нам напрямок в точці # (x, y) # у якому #f (x, y) # (висота) змінюється найшвидше. Це або прямо, або прямо вниз по схилу, поки наша місцевість гладка (диференційована), і ми не на вершині, в дні або на плато (точка екстремуму). Це насправді нормальний напрямок на криву постійної висоти, така, що в # (x, y) = (2, e ^ 2) #:

#grad f (2, e ^ 2) = (e ^ 2 ln (e ^ 2) - e ^ 2, e ^ 2 / e ^ 2 - 2) = (e ^ 2, -1) #.

Тому звичайна лінія в цьому напрямку проходить # (2, e ^ 2) # можна описати як

# (x, y) = (2, e ^ 2) + s (e ^ 2, -1) #, де #s in mathbbR # є реальним параметром. Ви можете усунути # s # щоб висловити # y # як функція # x # якщо ви віддаєте перевагу, знайти

# y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #.

Напрямна похідна в напрямку дотичної повинна бути #0# (мається на увазі, що висота не змінюється), тому дотичний вектор # (u, v) # повинні задовольняти

#grad f (2, e ^ 2) cdot (u, v) = 0 #

# (e ^ 2, -1) cdot (u, v) = 0 #

# e ^ 2u - v = 0 #

# v = e ^ 2u #, де # cdot # означає точковий продукт. Тому # (u, v) = (1, e ^ 2) # є одним правильним вибором. Тому дотична лінія переживає # (2, e ^ 2) # можна описати як

# (x, y) = (2, e ^ 2) + t (1, e ^ 2) #, #t in mathbbR #.

Рішення для # y # дає це

#y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Ви повинні нарешті перевірити це # (2, e ^ 2) # лежить на кривій #f (x, y) #, на дотичній лінії, і на звичайній лінії.