Які всі значення для k, для яких int_2 ^ kx ^ 5dx = 0?

Відповідь:

Дивись нижче.

Пояснення:

# int_2 ^ kx ^ 5 dx = 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) #

і

# k ^ 6-2 ^ 6 = (k ^ 3 + 2 ^ 3) (k ^ 3-2 ^ 3) # але

# k ^ 3 + 2 ^ 3 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) # і

# k ^ 3-2 ^ 3 = (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) # тому

# k ^ 6-2 ^ 6 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) #

або

# {(k + 2 = 0), (k ^ 2-2k + 2 ^ 2 = 0), (k-2 = 0), (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2 = 0):} #

потім нарешті

реальні значення #k = {-2,2} #

складні значення #k = {-1pm i sqrt3,1pm i sqrt3} #

Відповідь:

# k = + - 2 #

Пояснення:

Ми вимагаємо:

# int_2 ^ k x ^ 5 dx = 0 #

Інтеграція ми отримуємо:

# x ^ 6/6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 колір (білий) ("" / "") x ^ 6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) = 0 #

#:. (k ^ 3) ^ 2- (2 ^ 3) ^ 2 = 0 #

#:. k ^ 3 = + - 2 ^ 3 #

#:. k = + - 2 #,

Припускаючи, що #k у RR # (є насправді #6# коріння, #4# з яких складні)

Тепер, залежно від контексту проблеми, можна стверджувати, що це #k <2 # (тобто # k = -2 #) недійсний як #k> = 2 # зробити внутрішнє «власне» таким чином, що виключає це рішення, але без будь-якого контексту доцільно включати обидва рішення.

Також зверніть увагу на це #k = + - 2 # може бути показано, що вони є рішеннями без фактичної реалізації будь-якої інтеграції.

По-перше, властивість певних інтегралів:

# int_a ^ a f (x) = 0 #

щоб ми могли відразу встановити # k = 2 # є рішенням.

По-друге, # x ^ 5 # є незвичайний функції, а непарні функції задовольняють:

# f (-x) = f (x) #

і мають ротаційну симетрію щодо походження. як такі, якщо #f (x) # тоді дивно:

# int_ (a) ^ a f (x) = 0 #

щоб ми могли відразу встановити # k = -2 # є рішенням.

Інтеграція та подальші розрахунки доводять, що це єдині рішення!