Використовуйте a) та b), щоб довести, що hatT_L = e ^ (LhatD) (a) [hatT_L, hatD] = 0 (b) [hatx, hatT_L] = - LhatT_L?

З того, що ви говорите там, все це схоже, що ми повинні робити це, щоб показати це #hatT_L = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #. Схоже, будь-яке місце, з якого ви отримали це питання, збентежено щодо визначення # hatT_L #.

Ми в кінцевому підсумку доведемо, що використовуємо

#hatT_L - = e ^ (LhatD) = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #

дає

# hatD, hatx - = ihatp_x // ℏ, hatx = 1 #

і ні #hatT_L = e ^ (- LhatD) #. Якщо ми хочемо, щоб все було послідовно, то якщо #hatT_L = e ^ (- LhatD) #, це повинно бути що # hatD, hatx = bb (-1) #. Я вирішив це питання і вирішив це вже.

З частини 1 ми показали, що для цього визначення (що #hatT_L - = e ^ (LhatD) #),

# hatx, hatT_L = -LhatT_L #.

З #f (x_0 - L) # є власною державою # hatT_L #, безпосередня форма, яка приходить на розум, є експоненціальним оператором # e ^ (LhatD) #. Ми інтуїціюємо це #hatD = + ihatp_x // ℏ #, і ми покажемо, що це правда.

Нагадаємо, що в доказі, показаному в частині 1, ми написали:

#hatx (hatT_L f (x_0)) = (hatx, hatT_L + hatT_Lhatx) f (x_0) #

# = -LhatT_Lf (x_0) + hatT_Lhatxf (x_0) #

і саме там нам доведеться його використовувати. Все, що нам потрібно зробити, це Тейлор розширюється експонентний оператор і показують, що вищезазначене доказ ще зберігається.

Це також показано в світлих деталях тут. Я розширив його, щоб бути більш ретельним …

# e ^ (LhatD) = sum_ (n = 0) ^ (oo) (LhatD) ^ (n) / (n!) = sum_ (n = 0) ^ (oo) 1 / (n!) L ^ n (hatD) ^ n #

Дайте це # L # є константою, ми можемо розрахувати це з комутатора. # hatx # може входити, не залежний від індексу. Тому:

# hatx, e ^ (LhatD) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, hatD ^ n} #

Тепер ми запропонували це #hatD = ihatp_x // #, і це має сенс, оскільки ми знаємо, що:

# hatx, hatp_x f (x) = -iℏx (df) / (dx) + iℏd / (dx) (xf (x)) #

# = cancel (-iℏx (df) / (dx) + iℏx (df) / (dx)) + iℏf (x) #

так що # hatx, hatp_x = iℏ #. Це означало б, що до тих пір #hatT_L = e ^ (LhatD) #, нарешті, ми можемо отримати визначення CONSISTENT для обох частин проблеми та отримати:

#color (синій) (hatD "," hatx) = (ihatp_x) / (ℏ), hatx #

# = - (hatp_x) / (iℏ), hatx = -1 / (iℏ) hatp_x, hatx #

# = -1 / (iℏ) cdot - hatx, hatp_x #

# = -1 / (iℏ) cdot-iℏ = колір (синій) (1) #

З цього ми ще більше розширимо комутатор:

# hatx, e ^ (ihatp_xL // ℏ) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, ((ihatp_x) / (ℏ)) ^ n } #

# = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n hatx, hatp_x ^ n} #

Тепер ми знаємо # hatx, hatp_x #, але не обов'язково # hatx, hatp_x ^ n #. Ви можете переконати себе в цьому

# d ^ n / (dx ^ n) (xf (x)) = x (d ^ nf) / (dx ^ n) + n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1)) #

і що

# hatp_x ^ n = hatp_xhatp_xhatp_xcdots #

# = (-iℏ) d / (dx) ^ n = (-iℏ) ^ n (d ^ n) / (dx ^ n) #

так що:

# hatx, hatp_x ^ n = hatxhatp_x ^ n - hatp_x ^ nhatx #

# = x cdot (-iℏ) ^ n (d ^ n f) / (dx ^ n) - (-iℏ) ^ n d ^ n / (dx ^ n) (xf (x)) #

# = (-iℏ) ^ nx (d ^ nf) / (dx ^ n) - (-iℏ) ^ n (x (d ^ nf) / (dx ^ n) + n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))) #

# = (-iℏ) ^ n {скасувати (x (d ^ nf) / (dx ^ n)) - скасувати (x (d ^ nf) / (dx ^ n)) - n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))} #

# = (-iℏ) ^ (n-1) (- iℏ) (- n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))) #

# = iℏn (-iℏ) ^ (n-1) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1)) f (x) #

Ми визнаємо це # hatp_x ^ (n-1) = (-iℏ) ^ (n-1) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1)) #. Таким чином,

# hatx, hatp_x ^ n = iℏnhatp_x ^ (n-1) #, надано #n> = 1 #.

З цього ми знаходимо:

# hatx "," e ^ (ihatp_xL // ℏ) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, ((ihatp_x) / (ℏ)) ^ n} #

# = sum_ (n = 1) ^ (oo) {1 / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n iℏnhatp_x ^ (n-1)} #

де ви оцінюєте #n = 0 # Термін, ви повинні побачити, що він переходить до нуля, тому ми опустили його. Виходячи, ми маємо:

# = iℏ sum_ (n = 1) ^ (oo) n / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n hatp_x ^ (n-1) #

# = iℏ sum_ (n = 1) ^ (oo) 1 / ((n-1)!) ((iL) / ℏ) ^ (n-1) ((iL) / ℏ) hatp_x ^ (n-1)) # #

Тут ми просто намагаємося зробити це знову схожим на експоненційну функцію.

# = iℏ ((iL) / ℏ) sum_ (n = 1) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n-1) / ((n-1)!) #

(групові терміни)

# = -L sum_ (n = 1) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n-1) / ((n-1)!) #

(оцінити зовні)

# = -L overbrace (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n) / (n!)) ^ (E ^ (ihatp_xL // ℏ)) #

(якщо # n # починається з нуля, # (n-1) #го терміну стає # n #-й термін.)

У результаті ми нарешті отримаємо:

# => колір (блакитний) (hatx "," e ^ (ihatp_xL // ℏ)) = -Le ^ (ihatp_xL // ℏ) #

# - = -Le ^ (LhatD) #

# - = колір (синій) (- LhatT_L) #

І ми знову повернемося до оригінального комутаторащо

# hatx, hatT_L = -LhatT_L колір (синій) (sqrt "") #

Нарешті, покажемо це # hatT_L, hatD = 0 #.

# hatT_L, hatD = e ^ (LhatD), hatD #

# = сума_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!), hatD #

# = (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!)) hatD - hatD (сума_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n) !)) #

Написавши це явно, ми зможемо побачити його роботу:

# = колір (синій) (hatT_L "," hatD) = ((LhatD) ^ 0) / (0!) hatD + ((LhatD) ^ 1) / (1!) hatD +… - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0!) + hatD ((LhatD) ^ 1) / (1!) +… #

# = ((LhatD) ^ 0) / (0!) HatD - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0!) + ((LhatD) ^ 1) / (1!) HatD - hatD ((LhatD) ^ 1) / (1!) +… #

# = ((LhatD) ^ 0) / (0!), HatD + (LhatD) ^ (1) / (1!), HatD +… #

# = L ^ 0 / (0!) (HatD) ^ 0, hatD + L ^ 1 / (1!) (HatD) ^ (1), hatD +… #

# = color (синій) (sum_ (n = 0) ^ (oo) L ^ n / (n!) (hatD) ^ n "," hatD) #

і з тих пір # hatD # завжди змінюється з собою, # hatD ^ n, hatD = 0 # і таким чином,

# hatT_L, hatD = 0 # #color (синій) (sqrt "") #