Яке значення має часткова похідна? Наведіть приклад і допоможіть мені розібратися.

Відповідь:

Дивись нижче.

Пояснення:

Я сподіваюся, що це допоможе.

Часткове похідне по суті пов'язане з сумарною варіацією.

Припустимо, що ми маємо функцію #f (x, y) # і ми хочемо знати, наскільки вона змінюється, коли ми вводимо приріст до кожної змінної.

Фіксуючи ідеї, роблячи #f (x, y) = k x y # ми хочемо знати, скільки це

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) #

У нашому функціональному прикладі ми маємо

#f (x + dx, y + dy) = k (x + dx) (y + dy) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy #

і потім

#df (x, y) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy-k x y = k x dx + k y dy + k dx dy #

Вибір #dx, dy # тоді як завгодно мало #dx dy приблизно 0 # і потім

#df (x, y) = k x dx + k y dy #

але взагалі

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) = 1/2 (2 f (x + dx, y + dy) -2f (x, y) + f (x + dx, y) -f (x + dx, y) + f (x, y + dy) -f (x, y + dy)) = #

# = 1/2 (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx dx +1/2 (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy dy + #

# + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x, y + dy)) / dx dx + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x + dx), y)) / dy dy #

тепер роблять #dx, dy # довільно малі ми

#df (x, y) = 1/2 (2f_x (x, y) dx + 2f_y (x, y) dy) = f_x (x, y) dx + f_y (x, y) dy #

тому можна обчислити повну варіацію для даної функції, обчисливши часткові похідні #f_ (x_1), f_ (x_2), cdots, f_ (x_n) # і рецептура

#df (x_1, x_2, cdots, x_n) = f_ (x_1) dx_1 + cdots + f_ (x_n) dx_n #

Тут кількість #f_ (x_i) # називаються частковими похідними і також можуть бути представлені як

# (часткова f) / (часткова x_i) #

У нашому прикладі

#f_x = (часткова f) / (часткова x) = k x # і

#f_y = (часткова f) / (часткова y) = k y #

ПРИМІТКА

#f_x (x, y) = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dx #

#f_y (x, y) = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dy #

Відповідь:

Дивись нижче.

Пояснення:

Щоб доповнити відповідь Кесарео вище, я дам менш математично строге вступне визначення.

Часткова похідна, вільно кажучи, говорить нам, наскільки змінюється багатоваріантна функція при утриманні інших змінних постійними. Наприклад, припустимо, що нам дано

#U (A, t) = A ^ 2t #

Де # U # функція корисності (щастя) конкретного продукту, # A # - кількість продукту, і # t # - це час, протягом якого продукт використовується.

Припустимо, компанія, яка виробляє продукт, хотіла б знати, наскільки більше корисності вони можуть отримати з неї, якщо вони збільшать термін служби виробу на 1 одиницю. Часткова похідна повідомить компанію про цю величину.

Часткова похідна зазвичай позначається нижньою грецькою літерою delta (# частковий #), але є й інші позначення. Ми будемо використовувати # частковий # зараз.

Якщо ми намагаємося знайти, як змінюється корисність продукту з збільшенням 1 одиниці у часі, ми обчислюємо часткову похідну корисності відносно часу:

# (частковаU) / (часткова)

Щоб обчислити PD, тримаємо інші змінні постійними. У цьому випадку ми лікуємо # A ^ 2 #, інша змінна, як би число. Нагадаємо з вступного обчислення, що похідна від постійного часу змінної є просто постійною. Це те ж саме: тут (часткова) похідна від # A ^ 2 #, постійна, раз # t #, змінна, є просто константою:

# (частковаU) / (часткова) = A ^ 2 #

Таким чином, 1 одиниця збільшення часу використання продукту виробляється # A ^ 2 # більше корисності. Іншими словами, продукт стає більш задовільним, якщо він може використовуватися частіше.

Існує багато, багато чого ще можна сказати про часткові похідні - насправді цілі курси для студентів і аспірантів можуть бути присвячені вирішенню лише декількох типів рівнянь, що включають часткові похідні, - але основна ідея полягає в тому, що часткова похідна говорить нам, наскільки одна змінюється, коли інші залишаються тими ж.