Використовуючи визначення збіжності, як довести, що послідовність {5+ (1 / n)} збігається з n = 1 до нескінченності?

Дозволяє:

#a_n = 5 + 1 / n #

потім для будь-якого # m, n у NN # с #n> m #:

#abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) #

#abs (a_m-a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) #

#abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) #

як #n> m => 1 / n <1 / m #:

#abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n #

і як # 1 / n> 0 #:

#abs (a_m-a_n) <1 / m #.

Дано будь-яке реальне число #epsilon> 0 #, виберіть потім ціле число #N> 1 / епсілон #.

Для будь-яких цілих чисел # m, n> N # ми маємо:

#abs (a_m-a_n) <1 / N #

#abs (a_m-a_n) <epsilon #

що доводить умову Коші до конвергенції послідовності.