Дві сторони трикутника мають довжину 6 м і 7 м, а кут між ними збільшується зі швидкістю 0,07 рад / с. Як ви знаходите швидкість, з якою площа трикутника зростає, коли кут між сторонами фіксованої довжини pi / 3?

Загальні кроки:

Намалюйте трикутник, що відповідає даній інформації, маркуючи відповідну інформацію
Визначте, які формули мають сенс у ситуації (Площа цілого трикутника, що базується на двох сторонах фіксованої довжини, і відносини трикутників правих трикутників для змінної висоти)
Пов'язуйте будь-які невідомі змінні (висоту) до змінної # (тета) # що відповідає тільки даній швидкості # ((d theta) / (dt)) #
Зробіть деякі заміни в "основну" формулу (формула області), щоб можна було передбачити використання даної швидкості
Диференціювати і використовувати дану швидкість, щоб знайти ставку, на яку ви прагнете # ((dA) / (dt)) #

Давайте запишемо формально інформацію:

# (d theta) / (dt) = "0,07 рад / с" #

Тоді у вас є дві сторони з фіксованою довжиною і кут між ними. Третя довжина є змінною величиною, але це технічно нерелевантна довжина. Ми хочемо # (dA) / (dt) #. Однак немає жодних ознак того, що це правильний трикутник, але давайте почнемо з припущення, що це не в даний момент.

Теоретично відповідний трикутник:

Майте на увазі, що це не є пропорційно репрезентативним для справжнього трикутника. Найлегше знайти область з:

#A = (B * h) / 2 #

де наша база, звичайно #6#. Що # h #Хоч? Якщо ми намалюємо лінійку розділення по вертикалі від вершини вниз до бази, ми автоматично маємо правий трикутник на лівій стороні всього трикутника, незалежно довжини сторони # x #:

Тепер ми робити мають правильний трикутник. Зверніть увагу, однак, що наша формула має # h # але ні # theta #, і ми тільки знаємо # (d theta) / (dt) #. Отже, нам потрібно представляти # h # з точки зору кута. Знаючи, що єдина відома сторона на лівому правому трикутнику - це #7#сторона:

#sintheta = h / 7 #

# 7sintheta = h #

Поки що ми маємо:

# (d theta) / (dt) = "0,07 рад / с" # (1)

#A = (Bh) / 2 # (2)

# 7sintheta = колір (зелений) (h) # (3)

Отже, ми можемо підключити (3) в (2), диференціювати (2) і неявно придбати # (d theta) / (dt) #і підключіть (1) в (2) вирішити для # (dA) / (dt) #, Наша мета:

#A = (6 * колір (зелений) (7sintheta)) / 2 = 21 дюйм #

#color (синій) ((dA) / (dt)) = 21costheta ((d theta) / (dt)) #

# = 21costheta ("0.07 рад / с") #

Нарешті, на #theta = pi / 3 #, ми маємо #cos (pi / 3) = 1/2 # і:

# = 10.5 (0.07) = колір (синій) ("0.735 u" ^ 2 "/ s") #

(зверніть увагу на це #6*7# означає, що одиниці стають # "u" * "u" = "u" ^ 2 #, і #2# не є довжиною сторони, тому він не має одиниць. Також, # "rad" # зазвичай вважається виключеним, тобто. # "rad / s" => "1 / s" #)

Висота трикутника зростає зі швидкістю 1,5 см / хв., А площа трикутника збільшується зі швидкістю 5 кв. См / хв. При якій швидкості база трикутника змінюється, коли висота становить 9 см, а площа 81 кв.

Це проблема типу зв'язаних ставок (змін). Представляють інтерес змінні a = висота A = область, і, оскільки площа трикутника A = 1 / 2ba, нам потрібен b = base. Дані темпи зміни знаходяться в одиницях на хвилину, тому (невидима) незалежна змінна становить t = час у хвилинах. Нами дано: (da) / dt = 3/2 см / хв (dA) / dt = 5 см "" ^ 2 / хв І нам пропонується знайти (db) / dt при a = 9 см і A = 81см. "" ^ 2 A = 1 / 2ba, диференціюючись по t, отримуємо: d / dt (A) = d / dt (1 / 2ba). Нам потрібен правильний продукт. (dA) / dt = 1/2 (db) / dt a + 1 / 2b (da) / dt Нам було дано кожне значення, окрім (db) /

Трикутник має сторони A, B і C. Кут між сторонами A і B дорівнює (5pi) / 6, а кут між сторонами B і C - pi / 12. Якщо сторона B має довжину 1, то яка площа трикутника?

Сума кутів дає рівнобедрений трикутник. Половина вхідної сторони обчислюється з cos, а висота від гріха. Площа знайдена так само, як квадрат (два трикутники). Площа = 1/4 Сума всіх трикутників в градусах становить 180 ^ o в градусах або π в радіанах. Отже: a + b + c = π π / 12 + x + (5π) / 6 = π x = π-π / 12- (5π) / 6 x = (12π) / 12-π / 12- (10π) / 12 x = π / 12 Зауважимо, що кути a = b. Це означає, що трикутник є рівнобедреним, що призводить до B = A = 1. Наступне зображення показує, як можна обчислити висоту, протилежну c: Для кута b: sin15 ^ o = h / A h = A * sin15 h = sin15 Для обчислення половини C: cos15 ^ o = (C / 2

Паралелограмма має сторони A, B, C і D. Сторони A і B мають довжину 3, а сторони C і D мають довжину 7. Якщо кут між сторонами A і C дорівнює (7 pi) / 12, то яка площа паралелограма?

20,28 квадратних одиниць Площа паралелограма задається добутку суміжних сторін, помножених на синус кута між сторонами. Тут дві суміжні сторони 7 і 3, а кут між ними 7 pi / 12 Тепер Sin 7 pi / 12 radians = sin 105 градусів = 0.965925826 Підставляючи, A = 7 * 3 * 0.965925826 = 20.28444 кв.