Що таке екстремуми і сідлові точки f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1)?

Відповідь:

Пояснення:

Ми маємо:

# f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) #

Крок 2 - Визначте критичні точки

Критична точка виникає при одночасному рішенні

# f_x = f_y = 0 iff (часткова f) / (часткова x) = (часткова f) / (часткова y) = 0 #

тобто, коли:

# f_x = {2 (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = 0 #

=> (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1) = 0 # ….. A

Розв'язуючи одночасно A і B, отримуємо єдине рішення:

# x = y = 1 #

Отже, можна зробити висновок, що є одна критична точка:

# (1,1) #

Крок 3 - Класифікуйте критичні точки

Для класифікації критичних точок ми виконуємо тест, подібний до тестової однієї змінної з використанням другого часткового похідного і гессіанської матриці.

# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((часткова ^ 2 f) / (часткова x ^ 2), (часткова ^ 2 f) / (часткова x часткова y)), ((часткова ^ 2 f) / (часткова y часткова x), (часткова ^ 2 f) / (часткова y ^ 2)) | = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Тоді залежно від значення # Delta #:

# {: (Delta> 0, "Максимум якщо" f_ (xx) <0), (, "і мінімум, якщо" f_ (xx)> 0), (Дельта <0, "є сідловий пункт")), (Delta = 0, "Необхідний подальший аналіз"):} #

Використовуючи власні макроси excel, значення функції поряд з частковими значеннями похідних обчислюються наступним чином: