Які екстремуми та сідлові точки f (x) = 2x ^ 2 lnx?

Область визначення:

#f (x) = 2x ^ 2lnx #

- інтервал #x in (0, + oo) #.

Оцінюють першу і другу похідні функції:

# (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) #

# (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx #

Критичними точками є рішення:

#f '(x) = 0 #

# 2x (1 + 2lnx) = 0 #

і як #x> 0 #:

# 1 + 2lnx = 0 #

#lnx = -1 / 2 #

#x = 1 / sqrt (e) #

У цьому пункті:

#f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0 #

тому критична точка є локальним мінімумом.

Сідельні точки є рішеннями:

#f '' (x) = 0 #

# 6 + lnx = 0 #

#lnx = -6 #

# x = 1 / e ^ 6 #

і як #f '' (x) # монотонне збільшення ми можемо зробити висновок, що #f (x) # увігнута вниз #x <1 / e ^ 6 # і для увігнутих #x> 1 / e ^ 6 #

графік {2x ^ 2lnx -0.2943, 0.9557, -0.4625, 0.1625}