Які екстремуми та сідлові точки f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?

Відповідь:

# (: ("Критична точка", "Висновок"), ((0,0), "min"), ((-1, -2), "сідло"), ((-1,2), "сідло" "), ((-5 / 3,0)," max "):} #

Пояснення:

Теорія для визначення екстремумів Росії # z = f (x, y) # є:

Вирішуємо одночасно критичні рівняння

# (часткова f) / (часткова x) = (часткова f) / (часткова y) = 0 t (тобто # z_x = z_y = 0 #)
Оцінити #f_ (x x), f_ (yy) і f_ (xy) (= f_ (yx)) # на кожній з цих критичних точок. Звідси оцінюють # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # на кожній з цих точок
Визначити природу екстремумів;

# {: (Delta> 0, "Є мінімум, якщо" f_ (xx) <0), (, "і максимум, якщо" f_ (yy)> 0), (Дельта <0, "є сідловий пункт")), (Delta = 0, "Необхідний подальший аналіз"):} #

Тому ми маємо:

# f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2 #

Знайдемо перші часткові похідні:

# (часткова f) / (часткова x) = 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x #

# (часткова f) / (часткова y) = 2xy + 2y #

Отже, наші критичні рівняння:

# 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x = 0 #

# 2xy + 2y = 0 #

З другого рівняння ми маємо:

# 2y (x + 1) = 0 => x = -1, y = 0 #

Subs # x = -1 # у перше рівняння і отримуємо:

# 6 + y ^ 2-10 = 0 => y ^ 2 = 4 => y = + - 2 #

Subs # y = 0 # у перше рівняння і отримуємо:

# 6x ^ 2 + 0 ^ 2 + 10x = 0 => 2x (3x + 5) = 0 => x = -5 / 3,0 #

І так у нас є чотири критичні точки з координатами;

# (-1,-2), (-1,2), (0,0), (-5/3,0) #

Отже, тепер розглянемо другі часткові похідні, щоб визначити природу критичних точок:

(частковий ^ 2f) / (частковий x ^ 2) = 12x + 10 #

(частковий ^ 2f) / (частковий y ^ 2) = 2x + 2 #

# (частковий ^ 2f) / (частковий x частковий y) = 2y (= (частковий ^ 2f) / (частковий y частковий x)) #

І ми повинні розрахувати:

# Delta = (частковий ^ 2f) / (частковий x ^ 2) (частковий ^ 2f) / (частковий y ^ 2) - ((частковий ^ 2f) / (частковий x частковий y)) ^ 2 #

в кожній критичній точці. Другі часткові похідні значення, # Delta #і висновок такі:

# {: ("Критична точка", (часткова ^ 2f) / (часткова x ^ 2), (часткова ^ 2f) / (часткова y ^ 2), (часткова ^ 2f) / (часткова x часткова y), Delta, "Висновок"), ((0,0), 10,2,0, gt 0, f_ (xx)> 0 => "min"), ((-1, -2), - 2,0,4, lt 0, "сідло"), ((-1,2), - 2,0,4, lt 0, "сідло"), ((-5 / 3,0), - 10, -4 / 3,0, gt 0, f_ (xx) <0 => "max"):} #

Ми бачимо ці критичні точки, якщо подивитися на 3D-сюжет: