Як знайти лінійне наближення до кореня (4) (84)?

Відповідь:

#root (4) (84) ~~ 3.03 #

Пояснення:

Зверніть увагу на це #3^4 = 81#, яка близька #84#.

Тому #root (4) (84) # трохи більше, ніж #3#.

Для кращого наближення можна використовувати лінійну апроксимацію методом Ньютона.

Визначити:

#f (x) = x ^ 4-84 #

Потім:

#f '(x) = 4x ^ 3 #

і дано приблизний нуль # x = a # з #f (x) #, краще наближення:

#a - (f (a)) / (f '(a)) #

Так у нашому випадку, покласти # a = 3 #, краще наближення:

# 3- (f (3)) / (f '(3)) = 3- (3 ^ 4-84) / (4 (3) ^ 3) = 3- (81-84) / (4 * 27) = 3 + 1/36 = 109/36 = 3.02 бар (7) #

Це майже точно #4# Значні цифри, але давайте процитуємо наближення як #3.03#

Відповідь:

#root (4) (84) ~~ 3.02778 #

Пояснення:

Зауважимо, що лінійна апроксимація поблизу точки # a # може бути надано:

#f (x) ~ ~ f (a) + f '(a) (x-a) #

Якщо дано: #f (x) = root (4) (x) #

потім відповідний вибір # a # міг би бути # a = 81 # тому що ми знаємо #root (4) 81 = 3 # точно, і вона близька #84#.

Тому:

#f (a) = f (81) = корінь (4) (81) = 3 #

Також;

#f (x) = x ^ (1/4) # тому #f '(x) = 1 / 4x ^ (- 3/4) = 1 / (4root (4) (x) ^ 3) #

#f '(81) = 1 / (4root (4) (81) ^ 3) = 1 / (4 * 3 ^ 3) = 1/108 #

Тому ми можемо наблизитися (поруч #81#):

#f (x) ~ ~ f (a) + f '(a) (x-a) #

#implies root (4) (x) ~~ 3 + 1 / (108) (x-81) #

Тому:

#root (4) (84) = 3 + 1/108 (84-81) #

#3+1/108*3=324/3+3/108=327/108~~3.02778#

Більш точне значення #3.02740#

тому лінійне наближення досить близько.

Відповідь:

#root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #

Пояснення:

Можна сказати, що ми маємо функцію #f (x) = root (4) (x) #

і # root (4) (84) = f (84) #

Тепер знайдемо похідну нашої функції.

Ми використовуємо правило влади, яке стверджує, що якщо #f (x) = x ^ n #, потім #f '(x) = nx ^ (n-1) # де # n # є константою.

#f (x) = x ^ (1/4) #

=>#f '(x) = 1/4 * x ^ (1 / 4-1) #

=>#f '(x) = (x ^ (- 3/4)) / 4 #

=>#f '(x) = 1 / x ^ (3/4) * 1/4 #

=>#f '(x) = 1 / (4x ^ (3/4)) #

Тепер, щоб наблизитися # root (4) (84) #Ми намагаємося знайти ідеальну четверту потужність, найближчу до 84

Подивимося …

#1#

#16#

#81#

#256#

Ми бачимо це #81# це наш найближчий.

Тепер ми знаходимо дотичну лінію нашої функції, коли # x = 81 #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (3/4)) #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (2/4) * 81 ^ (1/4)) #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 9 * 3) #

=>#f '(81) = 1/108 #

Це схил, який ми шукаємо.

Спробуємо записати рівняння дотичної лінії у вигляді # y = mx + b #

Ну, що є # y # дорівнює коли # x = 81 #?

Подивимося …

#f (81) = корінь (4) (81) #

=>#f (81) = 3 #

Тому зараз ми маємо:

# 3 = m81 + b # Ми знаємо, що схил, # m #, є #1/108#

=># 3 = 1/108 * 81 + b # Тепер ми можемо вирішити # b #.

=># 3 = 81/108 + b #

=># 3 = 3/4 + b #

=># 2 1/4 = b #

Отже, рівняння дотичної лінії # y = 1 / 108x + 2 1/4 #

Зараз ми використовуємо 84 на місці # x #.

=># y = 1/108 * 84 + 2 1/4 #

=># y = 1/9 * 7 + 2 1/4 #

=># y = 7/9 + 9/4 #

=># y = 28/36 + 81/36 #

=># y = 109/36 #

=># y = 3.02bar7 #

Тому, #root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #