Обчислення

Нескінченне число відносних екстремумів існує на x в [-1 / pi, 1 / pi] при f (x) = + - 1. По-перше, підключаємо кінцеві точки інтервалу [-1 / pi, 1 / pi] в функцію, щоб побачити поведінку кінця. f (-1 / pi) = - 1 f (1 / pi) = - 1 Далі визначаємо критичні точки, встановивши похідну, що дорівнює нулю. f '(x) = 1 / xcos (1 / x) + 1 / (x ^ 2) sin (1 / x) -син (1 / x) 1 / xcos (1 / x) + 1 / (x ^ 2) ) sin (1 / x) -sin (1 / x) = 0 На жаль, коли ви графіку цього останнього рівняння, ви отримаєте наступне Тому що граф похідної має нескінченне число коренів, оригінальна функція має нескінченне число локальні екстремуми. Це також Докладніше »

Мінімум дорівнює 0 при x = 0, а максимум 4 ^ 4 / e ^ 4 при x = 4 Зверніть увагу на те, що на [0, oo) f ніколи не є негативним. Крім того, f (0) = 0, так що має бути мінімальним. f '(x) = (x ^ 3 (4-x)) / e ^ x, який є позитивним на (0,4) і негативним на (4, oo). Ми робимо висновок, що f (4) є відносним максимумом. Оскільки функція не має інших критичних точок в області, цей відносний максимум є також абсолютним максимумом. Докладніше »

Y '= (-2x (x ^ 2 +5) ^ 2 - 2 (-x ^ 2 + 5) (x ^ 2 + 5) (2x)) / ((x ^ 2 +5) ^ 2) ^ 2 y '= (-2x (x ^ 2 +5) ^ 2 - 2 (-x ^ 2 + 5) (x ^ 2 + 5) (2x)) / ((x ^ 2 +5) ^ 2) ^ 2 y '= (-2x (x ^ 4 + 10x +25) - 4x (-x ^ 4 - скасування (5x ^ 2) + скасування (5x ^ 2) + 25)) / ((x ^ 2 +5) ^ 4 y '= (-2x ^ 5 - 20x ^ 2 -50x + 4x ^ 5 - 100x) / ((x ^ 2 + 5) ^ 4 y' = (2x ^ 5 - 20x ^ 2 - 150x) / (( x ^ 2 +5) ^ 4 Докладніше »

Абсолютний максимум: x = pi / 8 Абсолютний хв. знаходиться в кінцевих точках: x = 0, x = pi / 4 Знайдіть першу похідну за допомогою правила ланцюга: Нехай u = 2x; u '= 2, так y = sinu + cos uy' = (cosu) u '- (sinu) u' = 2cos2x - 2sin2x Знаходимо критичні числа, встановивши y '= 0 і фактор: 2 (cos2x-sin2x) = 0 чи cosu = sinu? при u = 45 ^ @ = pi / 4, так що x = u / 2 = pi / 8 Знайдіть другу похідну: y '' = -4sin2x-4cos2x Перевірте, чи є у вас макс. : y '' (pi / 8) ~~ -5.66 <0, тому pi / 8 є абсолютним максимумом в інтервалі. Перевірка кінцевих точок: y (0) = 1; y (pi / 4) = 1 мінімальн Докладніше »

Мінімум: f (x) = -6.237 при x = 1.147 Максимум: f (x) = 16464 при x = 7 Ми попросили знайти глобальне мінімальне та максимальне значення для функції в заданому діапазоні. Для цього необхідно знайти критичні точки рішення, які можна зробити, прийнявши першу похідну і вирішивши для x: f '(x) = 5x ^ 4 - 3x ^ 2 + 2x - 7 x ~~ 1.147 що є єдиною критичною точкою. Щоб знайти глобальні екстремуми, необхідно знайти значення f (x) при x = 0, x = 1.147, і x = 7, відповідно до заданого діапазону: x = 0: f (x) = 0 x = 1.147 : f (x) = -6.237 x = 7: f (x) = 16464 Таким чином, абсолютні екстремуми цієї функції на інтервалі x у [0, 7] є Докладніше »

Немає максимуму. Мінімум 0. Не максимум As xrarr0, sinxrarr0 і lnxrarr-oo, так lim_ (xrarr0) abs (sinx + lnx) = oo Так що максимуму немає. Немає мінімуму Нехай g (x) = sinx + lnx і зауважте, що g є безперервним на [a, b] для будь-якого позитивного a та b. g (1) = sin1> 0 "" і "" g (e ^ -2) = sin (e ^ -2) -2 <0. g є безперервним на [e ^ -2,1], що є підмножиною За теоремою проміжного значення g має нуль в [e ^ -2,1], що є підмножиною (0,9), таке ж число - нуль для f (x) = abs (0,9). sinx + lnx) (який повинен бути неотрицательным для всіх x у домені.) Докладніше »

X = ln (5) і x = ln (30) Думаю, абсолютні екстремуми є "найбільшим" (найменший хв або найбільший максимум). Вам потрібно f ': f' (x) = (xcos (x) e ^ x - sin (x) (e ^ x + xe ^ x)) / (xe ^ x) ^ 2 f '(x) = (xcos (x) - sin (x) (1 + x)) / (x ^ 2e ^ x) AAx в [ln (5), ln (30)], x ^ 2e ^ x> 0, тому нам потрібен знак (xcos ( x) - sin (x) (1 + x)), щоб мати варіації f. AAx в [ln (5), ln (30)], f '(x) <0, так що f постійно зменшується на [ln (5), ln (30)]. Це означає, що її екстремали знаходяться в ln (5) & ln (30). Її максимум f (ln (5)) = sin (ln (5)) / (ln (25)), а його min - f (ln (30)) = sin ( Докладніше »

Абсолютний мінімум дорівнює 0, що відбувається при x = 0 і x = 20. Абсолютний максимум дорівнює 15 корінь (3) 5, що відбувається при x = 5. Можливими точками, які можуть бути абсолютними екстремумами, є: Точки переходу; тобто точки, де dy / dx = 0 Кінцеві точки інтервалу Ми вже маємо наші кінцеві точки (0 і 20), так що давайте знайдемо наші поворотні точки: f '(x) = 0 d / dx (x ^ (1/3) ( 20-x)) = 0 1 / 3x ^ (- 2/3) (20-x) - x ^ (1/3) = 0 (20-x) / (3x ^ (2/3)) = x ^ (1/3) (20-x) / (3x) = 1 20-x = 3x 20 = 4x 5 = x Отже, є поворотною точкою, де x = 5. Це означає, що 3 можливі точки, які можуть бути екстремумами, є : x = 0 Докладніше »

(1, 1 / e) є абсолютним максимумом у даній області Немає мінімуму Похідна задається f '(x) = (1 (e ^ (x ^ 2)) - x (2x) e ^ (x ^ 2)) / (e ^ (x ^ 2)) ^ 2 f '(x) = (e ^ (x ^ 2) - 2x ^ 2e ^ (x ^ 2)) / (e ^ (x ^ 2)) ) ^ 2 Критичні значення будуть мати місце, коли похідна дорівнює 0 або не визначена. Похідна ніколи не буде невизначеною (оскільки e ^ (x ^ 2) і x є безперервними функціями і e ^ (x ^ 2)! = 0 для будь-якого значення x. Отже, якщо f '(x) = 0: 0 = e ^ (x ^ 2) - 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) 0 = e ^ (x ^ 2) (1 - 2x ^ 2) Як згадувалося вище e ^ (x ^ 2) ніколи не буде дорівнює 0, так що наш два критичних числа будуть мат Докладніше »

Існує абсолютний максимум -1,718 при x = 1 і абсолютний мінімум -5,921 при x = ln8. Для визначення абсолютних екстремумів на інтервалі необхідно знайти критичні значення функції, що лежать в межах інтервалу. Потім необхідно перевірити як кінцеві точки інтервалу, так і критичні значення. Це місця, де можуть виникати критичні значення. Пошук критичних значень: Критичні значення f (x) відбуваються кожного разу, коли f '(x) = 0. Отже, треба знайти похідну f (x). Якщо: "" "" "" "" "" f (x) = xe ^ x Тоді: "" "" "" f '(x) = 1-e ^ x Отже, крити Докладніше »

При х = -1 мінімальний і при х = 3 максимум. f (x) = (x-1) / (x ^ 2 + x + 2) має стаціонарні точки, що характеризуються (df) / (dx) = - ((x-3) (1 + x)) / (2 + x + x ^ 2) ^ 2 = 0, так що вони при x = -1 і x = 3 Їх характеристика проводиться аналізуючи сигнал (d ^ 2f) / (dx ^ 2) = (2 (x ((x- 3) x-9)) - 1) / (2 + x + x ^ 2) ^ 3 у цих точках. (d ^ 2f) / (dx ^ 2) (- 1) = 1> 0-> відносний мінімум (d ^ 2f) / (dx ^ 2) (3) = - 1/49 <0-> відносний максимум. Прикріплена функція ділянки. Докладніше »

Немає абсолютних максимумів або мінімумів, ми маємо максимуми при x = 16 і мінімуми при x = 0. Максими будуть з'являтися там, де f '(x) = 0 і f' '(x) <0 для f (x) = (x +1) (x-8) ^ 2 + 9 f '(x) = (x-8) ^ 2 + 2 (x + 1) (x-8) = (x-8) (x-8 + 2x 2) = (x-8) (3x-6) = 3 (x-8) (x-2) Очевидно, що при x = 2 і x = 8 ми маємо екстремуми, але f '' (x) = 3 (x-2) +3 (x-8) = 6x-30 і при x = 2, f '' (x) = - 18 і при x = 8, f '' (x) = 18 Отже при x в [ 0,16] ми маємо локальний максимум при x = 2 і локальний мінімум при x = 8 не абсолютний максимум або мінімуми. У інтервалі [0,16] ми маємо максим Докладніше »

Абсолютний мінімум - 25/2 (при x = -sqrt (25/2)). Абсолютний максимум - 25/2 (при x = sqrt (25/2)). f (-4) = -12 і f (5) = 0 f '(x) = sqrt (25-x ^ 2) + x / (скасувати (2) sqrt (25-x ^ 2)) * - скасувати ( 2) x = (25-x ^ 2-x ^ 2) / sqrt (25-x ^ 2) = (25-2x ^ 2) / sqrt (25-x ^ 2). -sqrt (25/2) Обидва вони знаходяться в [-4,5] .. f (-sqrt (25/2)) = -sqrt (25/2) sqrt (25-25 / 2) = -sqrt ( 25/2) sqrt (25/2) = -25/2 За симетрією (f нечетно), f (sqrt (25/2)) = 25/2 Резюме: f (-4) = -12 f (-sqrt) (25/2)) = -25/2 f (sqrt (25/2)) = 25/2 f (5) = 0 Абсолютний мінімум - 25/2 (при x = -sqrt (25/2)) . Абсолютний максимум - 25/2 (при x Докладніше »

Немає абсолютних екстремумів в інтервалі (2, 5). Враховуючи: f (x) = x - sqrt (5x - 2) в (2, 5) Для знаходження абсолютних екстремумів необхідно знайти першу похідну і виконати першу похідну тест, щоб знайти будь-який мінімум або максимум, а потім знайти значення y кінцевих точок і порівняти їх. Знайдіть першу похідну: f (x) = x - (5x - 2) ^ (1/2) f '(x) = 1 - 1/2 (5x - 2) ^ (- 1/2) (5) f '(x) = 1 - 5 / (2sqrt (5x - 2)) Знайти критичне значення (s) f' (x) = 0: 1 - 5 / (2sqrt (5x - 2)) = 0 1 = 5 / ( 2sqrt (5x - 2)) 2sqrt (5x - 2) = 5 sqrt (5x - 2) = 5/2 Площа з обох сторін: 5x - 2 = + - 25/4 Оскільки домен функц Докладніше »

Абсолютний максимум: (5, 1/10) абсолютний мінімум: (0, 0) Враховуючи: f (x) = x / (x ^ 2 + 25) "на інтервалі" [0, 9] Абсолютні екстремуми можна знайти, оцінивши кінцевих точок і знаходження будь-яких відносних максимумів або мінімумів і порівняння їх y-значень. Оцініть кінцеві точки: f (0) = 0/25 = 0 => (0, 0) f (9) = 9 / (9 ^ 2 + 25) = 9 / (81 + 25) = 9/106 => ( 9, 9/106) ~~ (9, .085) Знайдіть будь-які відносні мінімуми або максимуми, встановивши f '(x) = 0. Використовуйте правило частки: (u / v)' = (vu '- uv') / v ^ 2 Нехай u = x; "" u '= 1; "" v = x ^ 2 + 25; " Докладніше »

Немає абсолютних екстремумів, оскільки f (x) необмежений Є місцеві екстремуми: LOCAL MAX: x = -1 LOCAL MIN: x = 1 INFLECTION POINT x = 0 Не існує абсолютних екстремумів, оскільки lim_ (x rarr + -oo) f ( x) rarr + -oo Ви можете знайти локальні екстремуми, якщо такі є. Щоб знайти f (x) екстремуми або критичні поти, ми повинні обчислити f '(x), коли f' (x) = 0 => f (x) має стаціонарну точку (MAX, min або точка перегину). Тоді ми повинні знайти, коли: f '(x)> 0 => f (x) зростає f' (x) <0 => f (x) зменшується Отже: f '(x) = d / dx (5x) ^ 7-7x ^ 5-5) = 35x ^ 6-35x ^ 4 + 0 = 35x ^ 4 (x ^ 2-1): . Докладніше »

Потрібно знайти критичні значення f (x) в інтервалі [1,4]. Отже, обчислюємо коріння першої похідної, тому маємо (df) / dx = 0 => 2x-2 / x ^ 2 = 0 => 2x ^ 2 (x-2) = 0 => x = 2 So f ( 2) = 5 Також знайдемо значення f в кінцевих точках, отже f (1) = 1 + 2 = 3 f (4) = 16 + 2/4 = 16.5 Найбільша величина функції при x = 4, отже f (4) ) = 16.5 - абсолютний максимум для f в [1,4] Найменше значення функції при x = 1, отже f (1) = 3 - абсолютний мінімум для f в [1,4] Графік f в [1] , 4] є Докладніше »

Абсолютні екстремуми можуть виникати на кордонах, на локальних екстремумах або невизначених точках. Знайдемо значення f (x) на кордонах x = 3 і x = 7. Це дає нам f (3) = 1 і f (7) = 7/43. Тоді знайдіть локальні екстремуми похідною. Похідну f (x) = x / (x ^ 2-6) можна знайти за допомогою факторного правила: d / dx (u / v) = ((du) / dxv-u (dv) / dx) / v ^ 2, де u = x і v = x ^ 2-6. Отже, f '(x) = - (x ^ 2 + 6) / (x ^ 2-6) ^ 2. Локальні екстремуми відбуваються, коли f '(x) = 0, але ніде в x в [3,7] не є f' (x) = 0. Потім знайдіть невизначені точки. Однак для всіх x в [3,7] визначається f (x). Отже, це означає, що Докладніше »

Абсолютний мінімум -1 при x = 1 і абсолютний максимум 19 при x = 3. Є два кандидати для абсолютних екстремумів інтервалу. Вони є кінцевими точками інтервалу (тут, 0 і 3) і критичними значеннями функції, розташованої в межах інтервалу. Критичні значення можна знайти шляхом знаходження похідної функції і знаходження для яких значення x дорівнюють 0. Ми можемо використовувати правило потужності, щоб знайти, що похідна від f (x) = x ^ 3-3x + 1 є f '( x) = 3x ^ 2-3. Критичними значеннями є 3x ^ 2-3 = 0, що спрощує x = + - 1. Однак, x = -1 не знаходиться в інтервалі, тому єдиним допустимим критичним значенням тут є одиниця п Докладніше »

Місцеві мінімуми. є -2187/128. Глобальний мінімум = -2187 / 128 ~ = -17.09. Глобальний максимум = 64. Для екстремумів f '(x) = 0. f '(x) = (x-2) * 3 (x-5) ^ 2 + (x-5) ^ 3 * 1 = (x-5) ^ 2 {3x-6 + x-5) = (4x -11) (x-5) ^ 2. f '(x) = 0 rArr x = 5! in [1,4], тому немає необхідності в подальшому косидировании & x = 11/4. f '(x) = (4x-11) (x-5) ^ 2, rArr f' '(x) = (4x-11) * 2 (x-5) + (x-5) ^ 2 * 4 = 2 (х-5) {4х-11 + 2х-10} = 2 (х-5) (6х-21). Тепер, f '' (11/4) = 2 (11 / 4-5) (33 / 2-21) = 2 (-9/4) (- 9/2)> 0, показуючи, що, f (11 / 4) = (11 / 4-2) (11 / 4-5) ^ 3 = (3/2) (- 9/4) ^ 3 = -2187 Докладніше »

(-4, -381) і (8,2211) Для того, щоб знайти екстремуми, потрібно взяти похідну функції і знайти корені похідної. тобто вирішують для d / dx [f (x)] = 0, використовують правило потужності: d / dx [6x ^ 3 - 9x ^ 2-36x + 3] = 18x ^ 2-18x-36 вирішують для коренів: 18x ^ 2-18x-36 = 0 x ^ 2-x-2 = 0, коефіцієнт квадратичний: (x-1) (x + 2) = 0 x = 1, x = -2 f (-1) = -6- 9 + 36 + 3 = 24 f (2) = 48-36-72 + 3 = -57 Перевірте межі: f (-4) = -381 f (8) = 2211 Таким чином, абсолютними екстремумами є (-4, - 381) і (8,2211) Докладніше »

Абсолютний мінімум дорівнює 0 (при x = 0), а абсолютний максимум - 1 (при x = 1). f '(x) = ((1) (x ^ 2-x + 1) - (x) (2x-1)) / (x ^ 2-x + 1) ^ 2 = (1-x ^ 2) / (x ^ 2-x + 1) ^ 2 f '(x) ніколи не визначено і дорівнює 0 при x = -1 (що не в [0,3]) і при x = 1. Тестуючи кінцеві точки інтеграла і критичного числа в інтервалі, знаходимо: f (0) = 0 f (1) = 1 f (3) = 3/7 Отже, абсолютний мінімум - 0 (при x = 0) і абсолютний максимум - 1 (при x = 1). Докладніше »

Перевірте нижче для відповіді Для x = 0 ми маємо f (0) -e ^ (- f (0)) = - 1 Розглянемо нову функцію g (x) = xe ^ (- x) +1, xinRR g (0) ) = 0, g '(x) = 1 + e ^ (- x)> 0, xinRR У результаті g зростає в RR. Таким чином, тому що це строго збільшується g, це "1-1" (один до одного) Так, f (0) -e ^ (- f (0)) + 1 = 0 <=> g (f (0)) = g ( 0) <=> f (0) = 0 Потрібно показати, що х / 2 ^ (x> 0) 1/2 1/2 <(f (x) -f (0)) / (x-0)Докладніше »

Див нижче, я не впевнений у цьому, але це буде моя відповідь. Визначення парної функції f (-x) = f (x) Отже, f (-a) = f (a). Оскільки f (a) є безперервним, а f (-a) = f (a), то f (-a) також є безперервним. Докладніше »

Dy / dx = tanh (lnx) / x - tanx Мені подобається задавати задачу рівною y, якщо її ще не було. Також допоможе наш випадок переписати проблему за допомогою властивостей логарифмів; y = ln (cosh (lnx)) + ln (cosx) Тепер ми робимо дві заміни, щоб полегшити прочитання проблеми; Скажімо, w = cosh (lnx) і u = cosx зараз; y = ln (w) + ln (u) ahh, ми можемо працювати з цим :) Візьмемо похідну по x з обох сторін. (Оскільки жодна з наших змінних не є x, це буде неявним диференціацією) d / dx * y = d / dx * ln (w) + d / dx * ln (u) Ну, ми знаємо, що похідна lnx має бути 1 / x і використовуючи ланцюгове правило, яке ми отримуємо; dy / Докладніше »

E ^ sqrt (x) / (2sqrt (x)) Підстановка тут дуже допоможе! Припустимо, що x ^ (1/2) = u зараз, y = e ^ u Ми знаємо, що похідна від e ^ x є e ^ x так; dy / dx = e ^ u * (du) / dx, використовуючи правило ланцюга d / dx x ^ (1/2) = (du) / dx = 1/2 * x ^ (- 1/2) = 1 / ( 2sqrt (x)) Тепер підключіть (du) / dx і u назад у рівняння: D dy / dx = e ^ sqrt (x) / (2sqrt (x)) Докладніше »

(1,1) і (1, -1) - точки повороту. y ^ 3 + 3xy ^ 2-x ^ 3 = 3 Використовуючи неявну диференціацію, 3y ^ 2times (dy) / (dx) + 3ximes2y (dy) / (dx) + 3y ^ 2-3x ^ 2 = 0 (dy) / (dx) (3y ^ 2 + 6xy) = 3x ^ 2-3y ^ 2 (dy) / (dx) = (3 (x ^ 2-y ^ 2)) / (3y (y + 2x)) (dy) / (dx) = (x ^ 2-y ^ 2) / (y (y + 2x) Для точок повороту, (dy) / (dx) = 0 (x ^ 2-y ^ 2) / (y (y +) 2x) = 0 x ^ 2-y ^ 2 = 0 (xy) (x + y) = 0 y = x або y = -x Sub y = x назад у вихідне рівняння x ^ 3 + 3x * x ^ 2- x ^ 3 = 3 3x ^ 3 = 3 x ^ 3 = 1 x = 1 Тому (1,1) є однією з 2 поворотних точок Sub y = -x назад у вихідне рівняння x ^ 3 + 3x * (- x ) ^ 2-x ^ 3 = 3 3x ^ 3 = 3 Докладніше »

(0, -2) є сідловою точкою (-5,3) є локальним мінімумом Нами дано g (x, y) = 3x ^ 2 + 6xy + 2y ^ 3 + 12x-24y По-перше, нам потрібно знайти точки, де (delg) / (delx) і (delg) / (dely) обидва дорівнюють 0. (delg) / (delx) = 6x + 6y + 12 (delg) / (dely) = 6x + 6y ^ 2-24 (x + y + 2) = 0 6 (x + y ^ 2-4) = 0 x + y + 2 = 0 x = -y-2 -y-2 + y ^ 2-4 = 0 y ^ 2- y-6 = 0 (y-3) (y + 2) = 0 y = 3 або -2 x = -3-2 = -5 x = 2-2 = 0 Критичні точки виникають при (0, -2) і (-5,3) Тепер для класифікації: Визначник f (x, y) задається D (x, y) = (del ^ 2g) / (delx ^ 2) (del ^ 2g) / (dely ^ 2) ) - ((del ^ 2g) / (delxy)) ^ 2 (del ^ 2g) / (delx ^ 2) Докладніше »

Почнемо з викладу деяких визначень. Якщо ми називаємо h висоту короба і x менші сторони (так що більші сторони є 2x, можна сказати, що обсяг V = 2x * x * h = 2x ^ 2 * h = 9000, з якого витягуємо hh = 9000 / (2x ^ 2) = 4500 / x ^ 2 Тепер для поверхонь (= матеріал) Верх і дно: 2x * x рази 2-> Площа = 4x ^ 2 Короткі сторони: x * h рази 2-> Площа = 2xh Довгі сторони: 2x * h рази 2-> Area = 4xh Загальна площа: A = 4x ^ 2 + 6xh Підстановка для h A = 4x ^ 2 + 6x * 4500 / x ^ 2 = 4x ^ 2 + 27000 / x = 4x ^ 2 + 27000x ^ -1 Щоб знайти мінімум, ми диференціюємо і встановлюємо A 'до 0 A' = 8x-27000x ^ -2 = 8x-27000 / x Докладніше »

Область визначення: f (x) = 2x ^ 2lnx - інтервал x в (0, + oo). Оцініть першу та другу похідні функції: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx Критичними точками є розв'язки: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0, а при x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) У цій точці: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0, так що критична точка є локальним мінімумом. Сідловинні точки є розв'язками: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 і, оскільки f '' (x) є монотонним, можна зробити висновок, що f (x) ) уві Докладніше »

Ця функція не має стаціонарних точок (ви впевнені, що f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2-y / x - це те, що ви хотіли вивчити ?!). Згідно з найбільш дифузним визначенням сідлових точок (стаціонарні точки, які не є екстремумами), ви шукаєте стаціонарні точки функції в її області D = (x, y) в RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0) , y) у RR ^ 2}. Тепер ми можемо переписати вираз, заданий для f, наступним чином: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x Спосіб їх ідентифікації полягає в пошуку точок, які анулюють градієнт f, що є вектором часткових похідних: nabla f = ((del f) / (del x), (del f) / (del y)) Оскільки домен є відкритим набо Докладніше »

{: ("Критична точка", "Висновок"), ((0,0), "min"), ((-1, -2), "сідло"), ((-1,2), "сідло" ), ((-5 / 3,0), "max"): Теорія ідентифікації екстремумів z = f (x, y): Розв'яжіть одночасно критичні рівняння (часткові f) / (часткові x) = (часткова f) / (часткова y) = 0 (тобто z_x = z_y = 0) Оцініть f_ (xx), f_ (yy) і f_ (xy) (= f_ (yx)) у кожній з цих критичних точок . Отже, оцінюйте дельта = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 у кожній з цих точок. Визначте природу екстремумів; {: (Delta> 0, "Є мінімум, якщо" f_ (xx) <0), (, "і максимум, якщо" f_ ( Докладніше »

Ми маємо: f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y): -6sinxsin ^ 2y Крок 1 - Знайдіть часткові похідні Обчислимо часткову похідну від функція двох або більше змінних шляхом диференціювання однієї змінної, тоді як інші змінні розглядаються як константи. Таким чином: Перші похідні: f_x = -6cosxsin ^ 2y f_y = -6sinx (2sinycosy) = -sinxsin2y Другі похідні (цитовані): f_ (xx) = 6sinxsin ^ 2y f_ (yy) = -6sinx ( 2cos2y) Другі часткові поперечні похідні: f_ (xy) = -6cosxsin2y f_ (yx) = -6cosx (2sinycosy) = -6cosxsin2y Зверніть увагу, що другий частковий поперечний похід тотожні за рахунок безперервності f (x, y). Крок 2 - Визначення критич Докладніше »

X = pi / 2 і y = pi x = pi / 2 і y = -pi x = -pi / 2 і y = pi x = -pi / 2 і y = -pi x = pi і y = pi / 2 x = pi та y = -pi / 2 x = -pi та y = pi / 2 x = -pi та y = -pi / 2 Щоб знайти критичні точки функції 2-змінної, потрібно обчислити градієнт, є вектором, що зв'язує похідні по кожній змінної: (d / dx f (x, y), d / dy f (x, y)) Отже, ми маємо d / dx f (x, y) = 6cos (x) ) sin (y), а також d / dy f (x, y) = 6sin (x) cos (y). Для знаходження критичних точок градієнт повинен бути нульовим вектором (0,0), що означає розв'язання системи {(6cos (x) sin (y) = 0), (6sin (x) cos (y) = 0):} що, звичайно, можна спростити позба Докладніше »

{0,0} седлову точку {0, -2} локальний максимум f (x, y) = e ^ y (y ^ 2-x ^ 2), так що точки sationary визначаються шляхом вирішення град f (x, y) = vec 0 або {(-2 e ^ yx = 0), (2 e ^ yy + e ^ y (-x ^ 2 + y ^ 2) = 0):} дає два рішення ((x = 0, y = 0) ), (x = 0, y = -2)) Ці точки кваліфікуються за допомогою H = grad (grad f (x, y)) або H = ((- 2 e ^ y, -2 e ^ yx), (- 2 e ^ yx, 2 e ^ y + 4 e ^ yy + e ^ y (-x ^ 2 + y ^ 2))) так що H (0,0) = ((-2, 0), (0, 2) )) має власні значення {-2,2}. Цей результат визначає точку {0,0} як сідлову точку. H (0, -2) = ((- 2 / e ^ 2, 0), (0, -2 / e ^ 2)) має власні значення {-2 / e ^ 2, -2 / e Докладніше »

Точки (0,0), (1,0), (0,1) є сідловими точками. Точка (1 / 3,1 / 3) є локальною максимальною точкою. Ми можемо розширити f до f (x, y) = xy-x ^ 2y-xy ^ 2. Далі знаходимо часткові похідні і задаємо їх рівними нулю. frac {часткова f} {часткова x} = y-2xy-y ^ 2 = y (1-2x-y) = 0 frac {часткова f} {часткова y} = xx ^ 2-2xy = x (1-x-2y) = 0 Очевидно, що (x, y) = (0,0), (1,0), (0,1) є розв'язками цієї системи, і тому є критичними точками f. Інше рішення можна знайти з системи 1-2х-у = 0, 1-x-2y = 0. Вирішення першого рівняння для y в термінах x дає y = 1-2x, яке можна підключити до другого рівняння для отримання 1-x-2 (1-2x) = Докладніше »

Седлову точку розташовується на {x = -63/725, y = -237/725} Стаціонарні точки визначаються, розв'язуючи для {x, y} grad f (x, y) = ((9 + 2 x + 27 y) ), (3 + 27 x + 2 y)) = vec 0 отримання результату {x = -63/725, y = -237/725} Кваліфікація цієї стаціонарної точки виконується після спостереження коренів з характеристичного полінома, пов'язаного з до її гессенської матриці. Отримано матрицю Гесса, роблячи H = grad (grad f (x, y)) = ((2,27), (27,2)) з характеристичним поліномом p (лямбда) = лямбда ^ 2- "трас" (H) лямбда + дет (H) = лямбда ^ 2-4 лямбда-725 Вирішуючи для лямбда, отримуємо лямбда = {-25,29}, як Докладніше »

Я не знайшов сідлових точок, але був мінімальний: f (1/3, -2 / 3) = -1/3 Щоб знайти екстремуми, візьмемо часткову похідну по x і y, щоб побачити, чи можуть обидві часткові похідні одночасно дорівнює 0. ((delf) / (delx)) _ y = 2x + y ((delf) / (dely)) _ x = x + 2y + 1 Якщо вони одночасно повинні дорівнювати 0, вони утворюють систему рівнянь: 2 ( 2x + y + 0 = 0) x + 2y + 1 = 0 Ця лінійна система рівнянь, коли вичитається для скасування y, дає: 3x - 1 = 0 => колір (зелений) (x = 1/3) => 2 (1/3) + y = 0 => колір (зелений) (y = -2/3) Оскільки рівняння були лінійними, існувала лише одна критична точка, а значить, тільки Докладніше »

Див. Відповідь нижче: 1. Завдяки вільному програмному забезпеченню, що підтримує нас з графікою. http://www.geogebra.org/ 2. Завдяки веб-сайту WolframAlpha, який надав нам чисельне підхідне рішення системи з неявними функціями. http://www.wolframalpha.com/ Докладніше »

V = pi-1 / 4pi ^ 2 Формула для знаходження об'єму твердого тіла, що виникає при обертанні функції f навколо осі x, є V = int_a ^ bpi [f (x)] ^ 2dx Так для f (x) = cotx, обсяг його твердого обертання між pi "/" 4 і pi "/" 2 є V = int_ (pi "/" 4) ^ (pi "/" 2) pi (cotx) ^ 2dx = piint_ (pi "/" 4) ^ (pi "/" 2) cot ^ 2xdx = piint_ (pi "/" 4) ^ (pi "/" 2) csc ^ 2x-1dx = -pi [cotx + x] _ (pi " / "4) ^ (pi" / "2) = - pi ((0-1) + (pi / 2-pi / 4)) = pi-1 / 4pi ^ 2 Докладніше »

Сідловий пункт на початку. Ми маємо: f (x, y) = x ^ 2y -y ^ 2x А отже виводимо часткові похідні. Пам'ятайте, коли частково диференціюємо, що ми диференціюємо цю змінну, розглядаючи інші змінні як константи. І так: (часткова f) / (часткова x) = 2xy-y ^ 2 (часткова f) / (часткова y) = x ^ 2-2yx На екстремумах або сідлових точках ми маємо: ( часткова f) / (часткова x) = 0 (часткова f) / (часткова y) = 0 одночасно: тобто одночасне рішення: 2xy-y ^ 2 = 0 => y ( 2x-y) = 0 => y = 0, x = 1 / 2y x ^ 2-2yx = 0 => x (x-2y) = 0 => x = 0, x = 1 / 2y Отже, є тільки один критична точка на походження (0,0). Для встановленн Докладніше »

Точка (x, y) = ((27/2) ^ (1/11), 3 * (2/27) ^ {4/11}) приблизно (1.26694,1.16437) є локальною мінімальною точкою. Часткові похідні першого порядку (часткові f) / (часткові x) = y-3x ^ {- 4} і (часткові f) / (часткові y) = x-2y ^ {- 3}. Встановлення цих значень дорівнює нулю в системі y = 3 / x ^ (4) і x = 2 / y ^ {3}. Підставляючи перше рівняння у друге, даємо x = 2 / ((3 / x ^ {4}) ^ 3) = (2x ^ {12}) / 27. Оскільки x! = 0 в області f, це призводить до x ^ {11} = 27/2 і x = (27/2) ^ {1/11}, так що y = 3 / ((27/2) ^ {4/11}) = 3 * (2/27) ^ {4/11} Часткові похідні другого порядку (часткові ^ {2} f) / (часткові x ^ {2}) = 12x Докладніше »

Є один екстремум при (3,3,27) Ми маємо: f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y Таким чином виводимо часткові похідні: (часткові f) / (часткові x) = y - 27 / x ^ 2 і (часткова f) / (часткова y) = x - 27 / y ^ 2 На екстремумах або сідлових точках ми маємо: (часткове f) / (часткове x) = 0 (частковий f) / (частковий y) = 0 одночасно: тобто одночасне рішення: y - 27 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2y = 27 x - 27 / y t ^ 2 = 0 => xy ^ 2 = 27 Віднімання цих рівнянь дає: x ^ 2y-xy ^ 2 = 0:. xy (x-y) = 0:. x = 0; y = 0; x = y Ми можемо виключити x = 0; y = 0, і тому x = y є єдиним правильним рішенням, яке призводить до: x ^ 3 = 27 => x = y = Докладніше »

(0,0) є сідловою точкою (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) і (-1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) є локальними максимумами (1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) і (-1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) є локальними мінімумами (0, pm 1 / sqrt 2) і (pm 1 / sqrt 2,0) є точками перегину. Для загальної функції F (x, y) зі стаціонарною точкою в (x_0, y_0) маємо розширення ряду Тейлора F (x_0 + xi, y_0 + eta) = F (x_0, y_0) + 1 / (2!) (F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} eta ^ 2 + 2F_ {xy} xi eta) + ldots Для функції f (x) = xy e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} (del f) / (del x) = ye ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + xy (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} qquad = y (1-2x ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} (del f) / (del y) = xe ^ {- Докладніше »

Ми маємо: f (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) Крок 1 - Знайдіть часткові похідні Розраховуємо часткову похідну функції двох або більше змінних, диференціюючи одну змінну, в той час як інші змінні розглядаються як постійні. Отже: Перші похідні: f_x = y + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) (-2x) = y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) f_y = x + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) (-2y) = x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) Другі похідні (цитовані): f_ (xx) = -2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4x ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) f_ (yy) = -2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4y ^ 2e ^ ( -x ^ 2-y ^ 2) Другі часткові перехресні похідні: f_ (xy) = 1 + 4xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2) f_ (yx) = 1 + 4xye ^ (- x ^ 2) -y ^ 2) З Докладніше »

{: ("Критична точка", "Висновок"), ((0,0,0), "сідло"):} Теорія для ідентифікації екстремумів від z = f (x, y): Вирішити одночасно критичні рівняння (часткова f) / (часткова x) = (часткова f) / (часткова y) = 0 (тобто f_x = f_y = 0) Оцініть f_ (xx), f_ (yy) і f_ (xy) (= f_) (yx)) на кожній з цих критичних точок. Отже, оцінюйте Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 у кожній з цих точок. Визначте природу екстремумів; {: (Delta> 0, "Є мінімум, якщо" f_ (xx) <0), (, "і максимум, якщо" f_ (yy)> 0), (Дельта <0, "є сідловий пункт") , (Дельта = 0, "Необхід Докладніше »

Завжди починайте з ескізу функції протягом інтервалу. На інтервалі [1,6] графік виглядає так: Як видно з графіка, функція зростає від 1 до 6. Отже, місцевого мінімуму або максимуму немає. Однак абсолютні екстремуми будуть існувати в кінцевих точках інтервалу: абсолютний мінімум: f (1) = 11 абсолютний максимум: f (6) = 1/216 + 60 ~~ 60.005 надія, яка допомогла Докладніше »

Макс. F = 1. Немає мінімуму. y = f (x) = 1-sqrtx. Додано графік. Це являє собою напівпараболу, в квадрантах Q_1 і Q_4, де x> = 0. Макс y знаходиться в кінці (0, 1). Звичайно, мінімуму немає. Зверніть увагу, що, якщо x до оо, y до -оо. Батьківське рівняння (y-1) ^ 2 = x, яке можна розділити на y = 1 + -sqrtx. графік {y + sqrtx-1 = 0 [-2,5, 2,5, -1,25, 1,25]} Докладніше »

Існує глобальний мінімум 2 при x = -1 і глобальний максимум 27 при x = 4 на інтервалі [-2,4]. Глобальні екстремуми можуть відбуватися на інтервалі в одному з двох місць: в кінцевій точці або в критичній точці в межах інтервалу. Кінцеві точки, які нам доведеться перевірити, це x = -2 і x = 4. Щоб знайти будь-які критичні точки, знайдіть похідну і встановіть її дорівнює 0. f (x) = 2 + (x ^ 2 + 2x + 1) = x ^ 2 + 2x + 3 Через правило потужності, f '(x) = 2x + 2 Установка дорівнює 0, 2x + 2 = 0 "" => "" x = -1 У х = -1 є критична точка, що означає, що вона також може бути глобальним екстремумом. Перев Докладніше »

F (x) має абсолютний максимум -1 при x = 1 f (x) = -2x ^ 2 + 4x-3 f (x) безперервний на [-оо, + оо] Оскільки f (x) є параболою з терміном у x ^ 2, що має коефіцієнт -ve, f (x) буде мати один абсолютний максимум, де f '(x) = 0 f' (x) = -4x + 4 = 0 -> x = 1 f ( 1) = -2 + 4-3 = -1 Таким чином: f_max = (1, -1) Цей результат можна побачити на графіку f (x) нижче: графік {-2x ^ 2 + 4x-3 [-2,205] , 5.59, -3.343, 0.554]} Докладніше »

X_1 = -2 - максимум x_2 = 1/3 є мінімальним. Спочатку визначимо критичні точки, прирівнявши першу похідну до нуля: f '(x) = 6x ^ 2 + 10x -4 = 0, даючи нам: x = frac (-5 + - sqrt (25 + 24)) 6 = ( -5 + - 7) / 6 x_1 = -2 і x_2 = 1/3 Тепер вивчимо знак другої похідної навколо критичних точок: f '' (x) = 12x + 10 так, що: f '' (- 2) <0, тобто x_1 = -2 - максимум f '' (1/3)> 0, тобто x_2 = 1/3 є мінімальним. графік {2x ^ 3 + 5x ^ 2-4x-3 [-10, 10, -10, 10]} Докладніше »

Абсолютний мінімум на домені відбувається при прибл. (pi / 2, 3.7124), і абсолютний максимум на домені відбувається при прибл. (3pi / 4, 5.6544). Місцевих екстремумів немає. Перш, ніж ми почнемо, нам доводиться аналізувати і бачити, чи sin x приймає значення 0 у будь-якій точці інтервалу. sin x дорівнює нулю для всіх x таким, що x = npi. pi / 2 і 3pi / 4 обидва менше, ніж pi і більше 0pi = 0; таким чином, sin x не приймає тут значення нуля. Для того, щоб визначити це, нагадаємо, що екстремум відбувається або де f '(x) = 0 (критичні точки) або в одній з кінцевих точок. Маючи це на увазі, ми беремо похідну від вищенаведе Докладніше »

F (x) має мінімум при x = 2 Перш ніж приступити, зверніть увагу, що це парабола, що стоїть вгору, тобто ми можемо знати без подальшого розрахунку, що вона не матиме максимумів, а єдиний мінімум у його вершині. Завершення квадрата покаже нам, що f (x) = 3 (x-2) ^ 2 + 1, даючи вершину і, таким чином, єдиний мінімум, при x = 2. Давайте подивимося, як це буде зроблено з обчисленням. Будь-які екстремуми відбуватимуться або в критичній точці, або в кінцевій точці заданого інтервалу. Оскільки наш заданий інтервал (-оо, оо) відкритий, ми можемо ігнорувати можливість кінцевих точок, і спочатку визначимо критичні точки функції, тобт Докладніше »

Подивимося. Нехай дана функція є y такою, що rarr y = f (x) = - x ^ 2 + 2x + 3 Тепер диференціюючи wrt x: dy / dx = -2x + 2 Тепер похідна другого порядку: (d ^ 2y) / dx ^ 2 = -2 Тепер похідна другого порядку є негативною. Отже, функція має лише екстремуми та мінімуми. Тому точка максимумів -2. Максимальне значення функції - f (-2). Сподіваюся, що це допоможе :) Докладніше »

Подивимося. Нехай задана функція є такою, що rarr для будь-якого значення x в даному діапазоні. y = f (x) = - 3x ^ 2 + 30x-74: .dy / dx = -6x + 30:. негативним, значення f (x) буде максимальним. Отже, точку максимумів або екстремумів можна отримати тільки. Тепер, для максимумів або мінімумів, dy / dx = 0: .- 6x + 30 = 0: .6x = 30: .x = 5 Отже, точка максимуму дорівнює 5. Отже, максимальне значення або граничне значення f (x) дорівнює f (5). : .f (5) = - 3. (5) ^ 2 + 30.5-74: .f (5) = - 75 + 150-74: .f (5) = 150-149: .f (5) = 1 . Сподіваюся, що це допоможе :) Докладніше »

Функція не містить екстремумів. Знайти f '(x) через факторне правило. f '(x) = ((x ^ 2-1) d / dx (3x) -3xd / dx (x ^ 2-1)) / (x ^ 2-1) ^ 2 => (3 (x ^ 2) -1) -3x (2x)) / (x ^ 2-1) ^ 2 => (- 3 (x ^ 2 + 1)) / (x ^ 2-1) ^ 2 Знайти точки повороту функції. Вони виникають, коли похідна функції дорівнює 0. f '(x) = 0, коли чисельник дорівнює 0. -3 (x ^ 2 + 1) = 0 x ^ 2 + 1 = 0 x ^ 2 = -1 f' (x) ніколи не дорівнює 0. Таким чином, функція не має екстремумів. графік {(3x) / (x ^ 2-1) [-25,66, 25,66, -12,83, 12,83]} Докладніше »

Функція має мінімум при x = 3, де f (3) = - 35 f (x) = 4x ^ 2-24x + 1. Перша похідна дає нам градієнт лінії в певній точці. Якщо це стаціонарна точка, це буде нуль. f '(x) = 8x-24 = 0: .8x = 24 x = 3 Щоб побачити, який тип стаціонарної точки ми маємо, ми можемо перевірити, чи перша похідна збільшується або зменшується. Це задається знаком 2-ої похідної: f '' (x) = 8 Оскільки це + ve, перша похідна повинна збільшуватися, показуючи мінімум для f (x). граф {(4x ^ 2-24x + 1) [-20, 20, -40, 40]} Тут f (3) = 4xx3 ^ 2- (24xx3) + 1 = -35 Докладніше »

Макс при x = 1 і Min x = 0 Візьмемо похідну початкової функції: f '(x) = 18x-18x ^ 2 Встановіть її рівною 0, щоб знайти, де функція похідної зміниться від позитивної до негативної Це покаже нам, коли початкова функція буде змінювати свій нахил від позитивного до негативного. 0 = 18x-18x ^ 2 Фактор 18x з рівняння 0 = 18x (1-x) x = 0,1 Створюємо рядок і будуємо значення 0 і 1 Вводимо значення до 0, після 0, до 1, а після 1 Потім вкажіть, які частини ділянки лінії є позитивними і які є негативними. Якщо ділянка йде від негативного до позитивного (низька точка до високої точки), це мін, якщо він переходить від позитивного Докладніше »

Знайдіть критичні значення на інтервалі (коли f '(c) = 0 або не існує). f (x) = 64-x ^ 2 f '(x) = - 2x Набір f' (x) = 0. -2x = 0 x = 0 І f '(x) завжди визначається. Щоб знайти екстремуми, підключіть кінцеві точки і критичні значення. Зверніть увагу, що 0 відповідає обом критеріям. f (-8) = 0larr "абсолютний мінімум" f (0) = 64larr "абсолютний максимум" граф {64-x ^ 2 [-8, 0, -2, 66]} Докладніше »

F (x)> 0. Максимум f (x) - f (0) = 1. Вісь x асимптотична до f (x), в обох напрямках. f (x)> 0. Використовуючи функцію правила функції, y '= - 2xe ^ (- x ^ 2) = 0, при x = 0. y' '= - 2e ^ (- x ^ 2) -2x (- 2x) e ^ (- x ^ 2) = - 2, при x = 0. При x = 0, y '= 0 і y' '<0. Отже, f (0) = 1 - максимум для f (x) ), По мірі необхідності, . 1 в [-.5, a], a> 1. x = 0 є асимптотичним до f (x), в обох напрямках. Як, xto + -oo, f (x) to0 Цікаво, що графік y = f (x) = e ^ (- x ^ 2) є масштабованою (1 одиниця = 1 / sqrt (2 pi)) нормальної кривої ймовірності, для нормального розподілу ймовірностей, з сер Докладніше »

Абсолютний мінімум -512 при x = 8 і абсолютний максимум 1/32 при x = 1/16 При знаходженні екстремумів на інтервалі є два місця, де вони можуть бути: при критичному значенні або в одній з кінцевих точок інтервалу. Щоб знайти критичні значення, знайдіть похідну функції і встановіть її рівною 0. Оскільки f (x) = - 8x ^ 2 + x, через правило потужності відомо, що f '(x) = - 16x + 1. Встановлюючи це рівним 0, ми маємо одне критичне значення при x = 1/16. Таким чином, наші місця для потенційних максимумів і мінімумів при x = -4, x = 1/16, x = 8. Знайдіть кожне з їх значень: f (-4) = - 8 (-4) ^ 2-4 = ul (-132) f (1/16) = - 8 ( Докладніше »

X = -3 або x = -1 f = e ^ x, g = x ^ 2 + 2x + 1 f '= e ^ x, g' = 2x + 2 f '(x) = fg' + gf '= e ^ x (2x + 2) + e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) = 0 e ^ x (2x + 2 + x ^ 2 + 2x + 1) = 0 e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) = 0 e ^ x (x + 3) (x + 1) = 0 e ^ x = 0 або x + 3 = 0 або x + 1 = 0 неможливо, x = -3 або x = -1 f ( -3) = e ^ -3 (9-6 + 1) = 0.199-> max f (-1) = e ^ -1 (1-2 + 1) = 0-> min Докладніше »

Екстремуми при x = 2; отримано шляхом вирішення f '(x) = 0 f' (x) = 2x -4 = 0; Погляньте на графік це допоможе. Графік {x ^ 2-4x + 3 [-5, 5, -5, 5]} вирішується для x. Як правило, ви знайдете першу похідну і другу похідну, щоб знайти екстремуми, але в цьому випадку це просто бачити першу похідну. ЧОМУ? Ви повинні мати можливість відповісти на це. f '(x) = 2x -4; f '' = 2 константа Тепер встановимо f '(x) = 0 і вирішимо для ==> x = 2 Докладніше »

Факторизація негативного: f (x) = - [sin ^ 2 (ln (x ^ 2)) + cos ^ 2 (ln (x ^ 2))] Нагадаємо, що гріх ^ 2тета + cos ^ 2тета = 1: f ( x) = - 1 f є постійною функцією. Вона не має відносних екстремумів і дорівнює -1 для всіх значень x від 0 до 2pi. Докладніше »

Оскільки f (x) всюди дифференцируемо, просто знайдіть, де f '(x) = 0 f' (x) = sin (x) -cos (x) = 0 Вирішіть: sin (x) = cos (x) Тепер або використовуйте одиницю кола або ескіз графіка обох функцій, щоб визначити, де вони рівні: На інтервалі [0,2pi], два рішення: x = pi / 4 (мінімум) або (5pi) / 4 (максимум) надії це допомагає Докладніше »

Мінімум f (9), а максимум f (-4). f '(x) = 2x-192, тому немає критичних чисел для f в обраному інтервалі. Отже, Мінімальна і максимальна відбуваються на кінцевих точках. f (-4) = 16 + 192 (4) +8 явно позитивне число, а f (9) = 81-192 (9) +4 явно негативне. Отже, мінімум f (9), а максимум f (-4). Докладніше »

(3,2) є мінімальним. (1,6) і (6,11) є максимумами. Відносні екстремуми відбуваються, коли f '(x) = 0. Тобто при 2x-6 = 0. тобто при x = 3. Щоб перевірити, чи є x = 3 відносним мінімумом або максимумом, спостерігаємо, що f '' (3)> 0 і так => x = 3 є відносним мінімумом, тобто, (3, f (3)) = (3) , 2) є відносним мінімумом, а також абсолютним мінімумом, оскільки це квадратична функція. Оскільки f (1) = 6 і f (6) = 11, то випливає, що (1,6) і (6,11) є абсолютними максимумами на інтервалі [1,6]. графік {x ^ 2-6x + 11 [-3,58, 21,73, -0,37, 12,29]} Докладніше »

Відносний макс при (5/2, 21/4) = (2.5, 5.25) Знайти першу похідну: f (x) '= -2x + 5 Знайти критичне число (и): f' (x) = 0; x = 5/2 Використовуйте тест 2-ої похідної, щоб побачити, чи є критична кількість відносною макс. або відносна хв .: f '' (x) = -2; f '' (5/2) <0; відносний макс. при x = 5/2 Знайти y-значення максимуму: f (5/2) = - (5/2) ^ 2 + 5 (5/2) - 1 = -25/4 + 25/2 -1 = -25/4 + 50/4 - 4/4 = 21/4 відносний максимум на (5/2, 21/4) = (2.5, 5.25) Докладніше »

Функція має мінімум при x = 4 графіку {x ^ 2-8x + 12 [-10, 10, -5, 5]} Дано - y = x ^ 2-8x + 12 dy / dx = 2x-8 dy / dx = 0 => 2x-8 = 0 x = 8/2 = 4 (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 2> 0 При x = 4; dy / dx = 0; (d ^ 2y) / (dx ^ 2)> 0 Отже, функція має мінімум при x = 4 Докладніше »

Дана функція завжди зменшується і тому не має ні максимуму, ні мінімуму Похідна функції є y '= (2x (x ^ 2-3x) -x ^ 2 (2x-3)) / (x ^ 2-3x) ^ 2 = = (відмінити (2x ^ 3) -6x ^ 2порушити (-2x ^ 3) + 3x ^ 2) / (x ^ 2-3x) ^ 2 = (- 3x ^ 2) / (x ^ 2-3x) ^ 2 і y '<0 AA x в [4; 9] Дана функція функція завжди зменшується і тому не має ні максимального, ні мінімального графа {x ^ 2 / (x ^ 2-3x) +8 [-0.78, 17] , 4.795, 13.685]} Докладніше »

Ми маємо мінімуми при x = 0 і точку перегину при x = 3 A максимуми - це висока точка, до якої функція підвищується, а потім знову падає. Як такий, нахил дотичної або величина похідної в цій точці буде дорівнювати нулю. Далі, оскільки дотичні ліворуч від максимумів будуть нахилятися вгору, то сплющення, а потім нахил вниз, нахил дотичної буде постійно зменшуватися, тобто значення другої похідної буде негативним. З іншого боку, мінімуми - це низька точка, до якої функція падає, а потім знову піднімається. У такому випадку дотична або величина похідної в мінімумах теж буде нульовою. Але, оскільки дотичні ліворуч від мінімумів Докладніше »

Мінімум: f (-2) = 1 Максимум: f (+2) = 9 Кроків: Оцініть кінцеві точки даного Домену f (-2) = (- 2) ^ 3-2 (-2) +5 = -8 + 4 + 5 = колір (червоний) (1) f (+2) = 2 ^ 3-2 (2) +5 = 8-4 + 5 = колір (червоний) (9) Оцініть функцію в будь-яких критичних точках в межах Домен. Для цього знайдіть точку (и) в межах домену, де f '(x) = 0 f' (x) = 3x ^ 2-2 = 0 rarrx ^ 2 = 2/3 rarr x = sqrt (2/3) " або "x = -sqrt (2/3) f (sqrt (2/3)) ~~ колір (червоний) (3.9) (і, ні, я не зрозумів це вручну) f (-sqrt (2 /3)) ~color(red)(~6.1) Мінімум {колір (червоний) (1, 9, 3.9, 6.1)} = 1 при x = -2 Максимум {колір (червоний) (1,9,3,9) Докладніше »

Екстремумом функції є (4.5, -0.25) f (x) = (x-4) (x-5) можна переписати на f (x) = x ^ 2 - 5x - 4x + 20 = x ^ 2- 9x + 20. Якщо ви виведете функцію, ви закінчите з цим: f '(x) = 2x - 9. Якщо ви не розумієте, як виконувати такі функції, перевірте опис нижче. Ви хочете знати, де f '(x) = 0, тому що там, де градієнт = 0. Покладіть f' (x) = 0; 2x - 9 = 0 2x = 9 x = 4.5 Потім покласти це значення x на початкову функцію. f (4.5) = (4.5 - 4) (4.5-5) f (4.5) = 0.5 * (-0.5) f (4.5) = -0.25 Курс Crach про те, як вивести такі типи функцій: Помножити експоненту на базу число, і зменшення експоненти на 1. Наприклад: f (x) = Докладніше »

Знайдіть критичні значення f (x) на інтервалі [0,5]. f '(x) = ((x ^ 2 + 9) d / dx [x] -xd / dx [x ^ 2 + 9]) / (x ^ 2 + 9) ^ 2 f' (x) = (x ^ 2 + 9-2x ^ 2) / (x ^ 2 + 9) ^ 2 f '(x) = - (x ^ 2-9) / (x ^ 2 + 9) ^ 2 f' (x) = 0 при x = + - 3. f '(x) ніколи не визначено. Щоб знайти екстремуми, вставте кінцеві точки інтервалу і будь-які критичні числа всередині інтервалу в f (x), що в даному випадку є тільки 3. f (0) = 0larr "абсолютний мінімум" f (3) = 1 / 6larr "абсолютний максимум" f (5) = 5/36 Перевірити графік: графік {x / (x ^ 2 + 9) [-0.02, 5, -0.02, 0.2]} Докладніше »

Немає абсолютних екстремумів, а існування відносних екстремумів залежить від вашого визначення відносних екстремумів. f (x) = x / (x-2) зростає без обмеження як xrarr2 праворуч. Тобто: lim_ (xrarr2 ^ +) f (x) = oo Таким чином, функція не має абсолютного максимуму на [-5,5] f зменшується без обмеження як xrarr2 зліва, так що абсолютного мінімуму на [-5] немає. , 5]. Тепер, f '(x) = (-2) / (x-2) ^ 2 завжди негативно, тому, якщо домен буде [-5,2) uu (2,5], функція зменшується на [- 5,2) і на (2,5), що говорить про те, що f (-5) є найбільшим значенням f поблизу, враховуючи тільки значення x в області, що є одностороннім ві Докладніше »

X = + - pi / 4 для x в [-pi / 2, pi / 2] g (x) = 2sin (2x-pi) +4 g (x) = -2sin (2x) +4 Для екстремумів g ( x), g '(x) = 0 g' (x) = -4cos (2x) g '(x) = 0 -4cos (2x) = 0 cos (2x) = 0 2x = + - pi / 2 x = + -pi / 4 для x in [-pi / 2, pi / 2] Докладніше »

Екстремуми при x = + - 1 і x = + - sqrt (1/35) h (x) = 7x ^ 5 -12x ^ 3 + x h '(x) = 35x ^ 4 -36x ^ 2 +1 Факторизація h '(x) і прирівнюючи його до нуля, було б (35x ^ 2 -1) (x ^ 2-1) = 0 Отже, критичні точки + -1, + -sqrt (1/35) h' '( x) = 140x ^ 3-72x Для x = -1, h '' (x) = -68, отже, при x = -1 для x = 1, h '' (x) = 68, тобто 'x' = x, було б мінімуми при x = 1 для x = sqrt (1/35), h '' (x) = 0.6761- 12.1702 = - 11.4941, отже, у цій точці для максимуму x = # -sqrt (1) / 35), h '' (x) = -0,6761 + 12,1702 = 11,4941, отже, у цій точці буде мінімум. Докладніше »

Мінімуми (1/4, -27 / 256) і максимуми (1,0) y = x ^ 4-3x ^ 3 + 3x ^ 2-x dy / dx = 4x ^ 3-9x ^ 2 + 6x -1 Для стаціонарних точок dy / dx = 0 4x ^ 3-9x ^ 2 + 6x-1 = 0 (x-1) (4x ^ 2-5x + 1) = 0 (x-1) ^ 2 (4x- 1) = 0 x = 1 або x = 1/4 d ^ 2y / dx ^ 2 = 12x ^ 2-18x + 6 Тестування x = 1 d ^ 2y / dx ^ 2 = 0, отже, можлива горизонтальна точка згину (у Це питання, вам не потрібно, щоб знайти, чи є це горизонтальна точка згинання) Тестування x = 1/4 d ^ 2y / dx ^ 2 = 9/4> 0 Отже, мінімальна і увігнута при x = 1/4 Тепер, знаходячи х-перехоплення, давайте y = 0 (x ^ 3-x) (x-3) = 0 x (x ^ 2-1) (x-3) = 0 x = 0, + - 1,3 знаходячи y-пер Докладніше »

Відповідь: y '' = (- x ^ 3cosx + 3x ^ 4sinx + 6xcosx-6sinx) / x ^ 4. Ось чому: y '= (((cosx + x * (- sinx) -cosx) x ^ 2- (xcosx-sinx) * 2x)) / x ^ 4 = = (- x ^ 3sinx-2x ^ 2cosx + 2xsinx) / x ^ 4 = = (- x ^ 2sinx-2xcosx + 2sinx) / x ^ 3 y '' = ((- 2xsinx-x ^ 2cosx-2cosx-2x (-sinx) + 2cosx) x ^ 3- ( -x ^ 2sinx-2xcosx + 2sinx) * 3x ^ 2) / x ^ 6 = = ((- x ^ 2cosx) x ^ 3 + 3x ^ 4sinx + 6x ^ 3cosx-6x ^ 2sinx) / x ^ 6 = = ( -x ^ 3cosx + 3x ^ 4sinx + 6xcosx-6sinx) / x ^ 4. Докладніше »

Ми перепишемо f як f (x) = 2x ^ 7 * (1-1 / x ^ 2), але lim_ (x-> oo) f (x) = oo, отже, глобальних екстремумів немає. Для локальних екстремумів знаходимо точки, де (df) / dx = 0 f '(x) = 0 => 14x ^ 6-10x ^ 4 = 0 => 2 * x ^ 4 * (7 * x ^ 2-5) ) = 0 => x_1 = sqrt (5/7) і x_2 = -sqrt (5/7) Отже, ми маємо, що локальний максимум при x = -sqrt (5/7) є f (-sqrt (5/7)) = 100/343 * sqrt (5/7) і місцевий мінімум при x = sqrt (5/7) - f (sqrt (5/7)) = - 100/343 * sqrt (5/7) Докладніше »

Локальними екстремумами є (0,6) і (1 / 3,158 / 27), а глобальними екстремумами є + -оо Використовуємо (x ^ n) '= nx ^ (n-1) Знайдемо першу похідну f' ( x) = 24x ^ 2-8x Для локальних екстремумів f '(x) = 0 Так 24x ^ 2-8x = 8x (3x-1) = 0 x = 0 і x = 1/3 Так давайте зробимо діаграму ознак xcolor (білий) (aaaaa) -околор (білий) (aaaaa) 0колір (білий) (aaaaa) 1 / 3колір (білий) (aaaaa) + oo f '(x) колір (білий) (aaaaa) + колір (білий) ( aaaaa) -колір (білий) (aaaaa) + f (x) колір (білий) (aaaaaa) uarrcolor (білий) (aaaaa) darrcolor (білий) (aaaaa) uarr Так у точці (0,6) ми маємо локальний максимум і при (1 / 3,1 Докладніше »

F (x) має абсолютний мінімум при (-1. 0) f (x) має локальний максимум при (-3, 4e ^ -3) f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) f '(x) = e ^ x (2x + 2) + e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) [Правило продукту] = e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) Для абсолютних або локальних екстремумів: f '(x) = 0 Тобто де: e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) = 0 Так як e ^ x> 0 длявсе x у RR x ^ 2 + 4x + 3 = 0 (x + 3) ( x-1) = 0 -> x = -3 або -1 f '' (x) = e ^ x (2x + 4) + e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) [правило продукту] = e ^ x (x ^ 2 + 6x + 7) Знову ж таки, оскільки e ^ x> 0, ми повинні тільки перевірити знак (x ^ 2 + 6x + 7) в наших точках екстремумів, щоб визначи Докладніше »

(0,0) - локальний мінімум, а (4 / 3,32 / 27) - локальний максимум. Глобальних екстремумів немає. Спочатку помножте дужки, щоб полегшити диференціювання і отримати функцію у вигляді y = f (x) = 2x ^ 2-x ^ 3. Тепер локальні або відносні екстремуми або точки повороту відбуваються, коли похідна f '(x) = 0, тобто, коли 4x-3x ^ 2 = 0, => x (4-3x) = 0 => x = 0 або x = 4/3. тому f (0) = 0 (2-0) = 0 і f (4/3) = 16/9 (2-4 / 3) = 32/27. Оскільки друга похідна f '' (x) = 4-6x має значення f '' (0) = 4> 0 і f '' (4/3) = - 4 <0, то випливає, що (0,0 ) є локальним мінімумом і (4 / 3,32 / 27) є лока Докладніше »

Локальний: x = -2, 0, 2 Глобальний: (-2, -32), (2, 32) Щоб знайти екстремуми, ви просто знайдете точки, де f '(x) = 0 або не визначені. Отже: d / dx (x ^ 3 + 48 / x) = 0 Щоб зробити цю проблему для правила влади, ми перепишемо 48 / x як 48x ^ -1. Тепер: d / dx (x ^ 3 + 48x ^ -1) = 0 Тепер ми просто беремо цю похідну. Ми закінчуємо: 3x ^ 2 - 48x ^ -2 = 0 Перехід від негативних показників до дробів знову: 3x ^ 2 - 48 / x ^ 2 = 0 Ми вже можемо бачити, де буде відбуватися один з наших екстремумів: f '(x ) є невизначеним при x = 0, через 48 / x ^ 2. Отже, це один з наших екстремумів. Далі ми вирішуємо для інших. Для поч Докладніше »

Функція не має глобальних екстремумів. Вона має локальний максимум f ((- 4-sqrt31) / 3) = (308 + 62sqrt31) / 27 і локальний мінімум f ((- 4 + sqrt31) / 3) = (308-62sqrt31) / 27 f (x) = x ^ 3 + 4x ^ 2 - 5x, lim_ (xrarr-oo) f (x) = - oo, так що f не має глобального мінімуму. lim_ (xrarroo) f (x) = oo, так що f не має глобального максимуму. f '(x) = 3x ^ 2 + 8x-5 ніколи не визначено і дорівнює 0 при x = (- 4 + -sqrt31) / 3 Для чисел, далеких від 0 (як позитивних, так і негативних), f' (x) позитивний . Для чисел у ((-4-sqrt31) / 3, (- 4 + sqrt31) / 3), 3f '(x) є негативним. Знак f '(x) змінюється від + до - кол Докладніше »

Локальні екстремуми: x = -1/3 та x = 1 Глобальні екстремуми: x = + - infty Місцеві екстремуми, також звані максимуми та мінімуми, або іноді критичні точки, є лише тим, що вони звучать: коли функція досягла короткого максимуму або короткий мінімум. Вони називаються локальними, тому що, коли ви шукаєте критичні точки, ви зазвичай тільки дбаєте про те, що максимальні кошти в безпосередній близькості від точки. Пошук місцевих критичних точок досить простий. Знайти, коли функція незмінна, а функція незмінна, коли - як ви здогадалися - похідна дорівнює нулю. Просте застосування правила потужності дає нам f '(x), f' (x) = Докладніше »

Щоб отримати горизонтальні асимптоти, необхідно двічі обчислити два межі. Ваша асимптота представлена як лінія f (x) = ax + b, де a = lim_ (x-> infty) f (x) / xb = lim_ (x-> infty) f (x) -ax І ті ж межі повинні бути прийнятим в негативній нескінченності, щоб отримати відповідний результат. Якщо потрібно більше пояснення - пишіть у коментарях. Я б додав приклад пізніше. Докладніше »

На (2, -9) є мінімуми. З урахуванням - y = x ^ 2-4x-5 Знайдіть перші два похідні dy / dx = 2x-4 Maxima і мінімуми повинні бути визначені другою похідною. (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 2> 0 dy / dx = 0 => 2x-4 = 0 2x = 4 x = 4/2 = 2 При x = 2; y = 2 ^ 2-4 (2) -5 y = 4-8-5 y = 4-13 = -9 Оскільки друга похідна більше одиниці. На (2, -9) є мінімуми. Докладніше »

F (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x має локальний мінімум для x = 1 і локальний максимум для x = 3 Ми маємо: f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x Функція визначена у всьому RR як x ^ 2 + 3> 0 AA x Ми можемо ідентифікувати критичні точки, знаходячи, де перша похідна дорівнює нулю: f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) - 1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 x ^ 2-4x + 3 = 0 x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1, так що критичні точки: x_1 = 1 і x_2 = 3 Оскільки знаменник завжди позитивний, знак f '(x) є протилежним знаку Чисельник (x ^ 2-4x + 3) Тепер відомо, що поліном другого порядку з позитивним провідним коефіцієнт Докладніше »

Будь ласка, дивіться пояснення нижче Функція f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 Часткові похідні (delf) / (delx) = 2x + y + 3 (delf) / (dely) = 2y + x-3 Нехай (delf) / (delx) = 0 і (delf) / (dely) = 0 Тоді, {(2x + y + 3 = 0), (2y + x-3 = 0):} =>, {(x = -3), (y = 3):} (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 (del ^ 2f) / (delxdely) = 1 (del ^ 2f) / (delydelx) = 1 Матриця Гесса Hf (x, y) = (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) Визначальним є D (x, y) = det (H (x, y)) = | (2,1), (1,2) | = 4-1 = 3> 0 Тому немає сідлових точок. D (1,1 Докладніше »

Локальний максимум 80 (при x = -1) і локальний мінімум -80 (при x = 1. f (x) = 120x ^ 5 - 200x ^ 3 f '(x) = 600x ^ 4 - 600x ^ 2 = 600x ^ 2 (x ^ 2 - 1) Критичні числа: -1, 0 і 1 Знак f 'змінюється від + до - при передачі x = -1, так f (-1) = 80 - локальний максимум (Оскільки f непарний, можна негайно зробити висновок, що f (1) = - 80 є відносним мінімумом, а f (0) не є локальним екстремумом). так що f (0) не є локальним екстремумом, а знак f 'змінюється від - до +, коли ми проходимо х = 1, тому f (1) = -80 є локальним мінімумом. Докладніше »

Локальний максимум 13 на 1 і локальний мінімум 0 на 0. Домен f є RR f '(x) = 2 + 2x ^ (- 13/15) = (2x ^ (13/15) +2) / x ^ (13/15) f '(x) = 0 при x = -1 і f' (x) не існує при x = 0. Обидва -1 і 9 знаходяться в області f, тому вони обидва критичні числа. Перший похідний тест: On (-oo, -1), f '(x)> 0 (наприклад, при x = -2 ^ 15) On (-1,0), f' (x) <0 (наприклад, у x = -1 / 2 ^ 15) Тому f (-1) = 13 - локальний максимум. На (0, oo), f '(x)> 0 (використовуйте будь-який великий позитивний х) Так f (0) = 0 - локальний мінімум. Докладніше »

Немає локальних екстремалів у RR ^ n для f (x) Спочатку треба взяти похідну f (x). dy / dx = 2d / dx [x ^ 3] -3d / dx [x ^ 2] + 7d / dx [x] -0 = 6x ^ 2-6x + 7 Так, f '(x) = 6x ^ 2- 6x + 7 Щоб вирішити для локальних екстремалів, треба встановити похідну до 0 6x ^ 2-6x + 7 = 0 x = (6 + -sqrt (6 ^ 2-168)) / 12 Тепер ми потрапили проблема. Це те, що x inCC, так що локальні екстремали є складними. Це те, що відбувається, коли ми починаємо в кубічних виразах, це те, що складні нулі можуть статися в першому тесті похідних. У цьому випадку не існує локальних екстремумів у RR ^ n для f (x). Докладніше »

Максимальний f - f (5/2) = 69,25. Мінімальний f - f (-3/2) = 11,25. d / dx (f (x)) = - 6x ^ 2 + 12x + 18 = 0, при x = 5/2 і -3/2 Друга похідна -12x + 12 = 12 (1-x) <0 x = 5/2 і> 0 при x = 3/2. Отже, f (5/2) є локальним (для кінцевого x) максимумом, а f (-3/2) - локальним (для кінцевого x) мінімумом. Як xto oo, fto -оо і як xto-oo, fto + oo .. Докладніше »

Локальний макс при x = -2 місцевих хв при x = 4 f (x) = 2x ^ 3 - 6x ^ 2 - 48x + 24 f '(x) = 6x ^ 2 - 12x - 48 = 6 (x ^ 2 - 2x - 8) = 6 (x-4) (x + 2) має на увазі f '= 0 при x = -2, 4 f' '= 12 (x - 1) f' '(- 2) = -36 <0, тобто max f '' (4) = 36> 0 тобто min глобальна макс min приводиться в дію домінуючим x ^ 3 терміном так lim_ {x to pm oo} f (x) = pm oo має виглядати так. Докладніше »

X = {- 3,0,3} Місцеві екстремуми відбуваються всякий раз, коли нахил дорівнює 0, тому ми повинні спочатку знайти похідну функції, встановити його рівним 0, а потім вирішити для x, щоб знайти всі x, для яких є локальні екстремуми. Використовуючи правило зниження потужності, можна знайти, що f '(x) = 8x ^ 3-72x. Тепер встановіть його рівним 0. 8x ^ 3-72x = 0. Щоб вирішити, фактор з 8x, щоб отримати 8x (x ^ 2-9) = 0, то за допомогою правила різниці двох квадратів розділити х ^ 2-9 на його два фактори, щоб отримати 8x (x + 3) (x- 3) = 0. Тепер встановіть кожне з них окремо рівним 0, оскільки весь вираз буде 0, коли будь-як Докладніше »

Єдиним екстремумом є x = 0.90322 ..., функція мінімум Але ви повинні вирішити кубічне рівняння, щоб дістатися туди, і відповідь зовсім не "красива" - ви впевнені, що питання правильно набрано? Я також включив пропозиції про те, як підійти до відповіді, не вдаючись до обсягу аналізу, показаного повністю нижче. 1. Стандартний підхід вказує нам у трудомісткому напрямку Спочатку обчислимо похідну: f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x так (за ланцюгом і факторними правилами) f '(x) = 4 * 2 (4x-3) - (x- (x-4)) / x ^ 2 = 32x-24-4 / x ^ 2 Потім встановіть це рівним 0 і вирішіть для x: 32x-24-4 / x ^ 2 = 0 32x ^ 3-24x ^ 2-4 Докладніше »

F (x) = a (x-2) (x-3) (xb) Локальні екстремуми (df) / dx = a (6 + 5 b - 2 (5 + b) x + 3 x ^ 2) = 0 Тепер, якщо a n 0 маємо x = 1/3 (5 + b pm sqrt [7 - 5 b + b ^ 2]), але 7 - 5 b + b ^ 2 gt 0 (має складні корені), так f ( x) має завжди локальний мінімум і локальний максимум. Припустимо, що ne 0 Докладніше »

Існує локальний мінімум 0 на 1. (який також є глобальним.) І локальний максимум 4 / e ^ 2 при e ^ 2. Для f (x) = (lnx) ^ 2 / x, перш за все, зауважте, що область f - позитивні дійсні числа, (0, oo). Тоді знайдіть f '(x) = ([2 (lnx) (1 / x)] * x - (lnx) ^ 2 [1] / x ^ 2 = (lnx (2-lnx)) / x ^ 2. f 'є невизначеною при x = 0, яка не знаходиться в області f, тому вона не є критичним числом для f. f '(x) = 0, де lnx = 0 або 2-lnx = 0 x = 1 або x = e ^ 2 Випробування інтервалів (0,1), (1, e ^ 2) і (e ^ 2, оо) ). (Для тестових чисел, я пропоную e ^ -1, e ^ 1, e ^ 3 - нагадати 1 = e ^ 0 і e ^ x зростає.) Ми знаходимо, що Докладніше »

Екстремуми f (x): Max 2 при x = 0 Min 0 при x = 2, -2 Щоб знайти екстремуми будь-якої функції, ви виконуєте наступне: 1) Диференціюють функцію 2) Встановлюємо похідну дорівнює 0 3) Вирішіть для невідомої змінної 4) Замініть розв'язки на f (x) (НЕ похідну) У вашому прикладі f (x) = sqrt (4-x ^ 2): f (x) = (4) -x ^ 2) ^ (1/2) 1) Диференціювати функцію: За правилом ланцюжка **: f '(x) = 1/2 (4-x ^ 2) ^ (- 1/2) * (- 2x ) Спрощення: f '(x) = -x (4-x ^ 2) ^ (- 1/2) 2) Встановіть похідну, рівну 0: 0 = -x (4-x ^ 2) ^ (- 1 / 2) Тепер, оскільки це продукт, можна встановити кожну частину рівною 0 і вирішити: 3) Вирішити д Докладніше »