Які екстремуми f (x) = 3x-1 / sinx на [pi / 2, (3pi) / 4]?

Відповідь:

Абсолютний мінімум на домені відбувається при прибл. # (пі / 2, 3,7124) #, а абсолютний максимум на домені відбувається при прибл. # (3pi / 4, 5.6544) #. Місцевих екстремумів немає.

Пояснення:

Перш ніж ми почнемо, нам доводиться аналізувати і бачити, якщо #sin x # приймає значення #0# в будь-якій точці інтервалу. #sin x # дорівнює нулю для всіх x таким, що #x = npi #. # pi / 2 # і # 3pi / 4 # обидва менше ніж # pi # і більше # 0pi = 0 #; таким чином, #sin x # тут не приймає значення нуль.

Для того, щоб визначити це, нагадаємо, що край відбувається або де #f '(x) = 0 # (критичні точки) або в одній з кінцевих точок. Маючи на увазі, ми беремо похідну від вищенаведеного f (x) і знаходимо точки, де ця похідна дорівнює 0

# (df) / dx = d / dx (3x) - d / dx (1 / sin x) = 3 - d / dx (1 / sinx) #

Як ми повинні вирішити цей останній термін?

Розглянемо коротко взаємне правило, яка була розроблена для обробки ситуацій, таких як наш останній термін, # d / (dx) (1 / sin x) #. Взаємне правило дозволяє нам обходити безпосередньо за допомогою ланцюжка або факторного правила, зазначивши, що дана диференційована функція #g (x) #:

# d / dx 1 / g (x) = (-g '(x)) / ((g (x)) ^ 2 #

коли #g (x)! = 0 #

Повернувшись до нашого основного рівняння, ми зупинилися;

# 3 - d / dx (1 / sin x) #.

З #sin (x) # є диференційованим, ми можемо застосувати взаємне правило тут:

# 3 - d / dx (1 / sin x) = 3 - (-cos x) / sin ^ 2x #

Встановивши це рівним 0, ми отримуємо:

# 3 + cos x / sin ^ 2x = 0. #

Це може відбутися лише тоді, коли #cos x / sin ^ 2 x = -3.. Звідси може бути використано одне з тригонометричних визначень, зокрема # sin ^ 2x = 1 - cos ^ 2 x #

# cosx / sin ^ 2x = -3 => cosx / (1-cos ^ 2x) = -3 => cos x = -3 + 3cos ^ 2x => 3cos ^ 2x - cos x - 3 = 0 #

Це нагадує поліном, з #cos x # замінивши наші традиційні x. Таким чином, ми заявляємо #cos x = u # і …

# 3u ^ 2 - u - 3 = 0 = au ^ 2 + bu + c #. Використовуючи тут квадратичну формулу …

# (1 + - sqrt (1 - 4 (-9))) / 6 = (1 + - sqrt 37) / 6 #

Наші коріння відбуваються о #u = (1 + -sqrt37) / 6 # відповідно до цього. Однак одне з цих коренів (# (1 + sqrt37) / 6 #) не може бути коренем для #cos x # оскільки корінь більше, ніж 1, і # -1 <= cosx <= 1 # для всіх x. Наш другий корінь, з іншого боку, обчислює як приблизно #-.847127#. Однак це менше мінімального значення #cos x # Функція може на інтервалі (з #cos (3pi / 4) = -1 / sqrt 2) = -707 <-847127 #. Таким чином, немає критичної точки в області.

Маючи це на увазі, ми повинні повернутися до наших кінцевих точок і покласти їх у вихідну функцію. Роблячи це, ми отримуємо #f (pi / 2) приблизно 3.7124, f (3pi / 4) приблизно 5.6544 #

Таким чином, наш абсолютний мінімум на домені приблизно # (pi / 2, 3.7124), # і наш максимум приблизно # (3pi / 4, 5.6544) #