Відповідь:
Точка # (x, y) = ((27/2) ^ (1/11), 3 * (2/27) ^ {4/11}) приблизно (1.26694,1.16437) # є локальною мінімальною точкою.
Пояснення:
Похідні першого порядку є частковими # (часткова f) / (часткова x) = y-3x ^ {- 4} # і # (часткова f) / (часткова y) = x-2y ^ {- 3} #. Встановлення цих значень дорівнює нулю в системі # y = 3 / x ^ (4) # і # x = 2 / y ^ {3} #. Підставляючи перше рівняння у друге, дає # x = 2 / ((3 / x ^ {4}) ^ 3) = (2x ^ {12}) / 27 #. З #x! = 0 # в області # f #, це призводить до # x ^ {11} = 27/2 # і # x = (27/2) ^ {1/11} # так що # y = 3 / ((27/2) ^ {4/11}) = 3 * (2/27) ^ {4/11} #
Похідними є часткові похідні другого порядку # (частковий ^ {2} f) / (частковий x ^ {2}) = 12x ^ {- 5} #, # (частковий ^ {2} f) / (частковий y ^ {2}) = 6y ^ {- 4} #, і # (часткова ^ {2} f) / (часткова x часткова y) = (часткова ^ {2} f) / (часткова y часткова x) = 1 #.
Отже, дискримінант # D = (часткова ^ {2} f) / (часткова x ^ {2}) * (часткова ^ {2} f) / (часткова y ^ {2}) - ((часткова ^ {2} f) / (часткова x часткова y)) ^ {2} = 72x ^ {- 5} y ^ {- 4} -1 #. Це є позитивним у критичній точці.
Оскільки чисті (не змішані) часткові похідні другого порядку також є позитивними, то критична точка є локальним мінімумом.
