Як диференціювати amd спростити: ln (cosh (ln x) cos (x))?

Відповідь:

# dy / dx = tanh (lnx) / x - tanx #

Пояснення:

Мені подобається задавати проблему рівною y, якщо її ще немає. Також допоможе наш випадок переписати проблему за допомогою властивостей логарифмів;

#y = ln (cosh (lnx)) + ln (cosx) #

Тепер ми робимо дві заміни, щоб полегшити прочитання проблеми;

Скажімо #w = cosh (lnx) #

і #u = cosx #

зараз;

#y = ln (w) + ln (u) #

ahh, ми можемо працювати з цим:)

Візьмемо похідну по x обох сторін. (Оскільки жодна з наших змінних не є x, це буде неявним диференціацією)

# d / dx * y = d / dx * ln (w) + d / dx * ln (u) #

Ну, ми знаємо похідну від # lnx # бути # 1 / x # і використовуючи ланцюгове правило, яке ми отримуємо;

# dy / dx = 1 / w * (dw) / dx + 1 / u * (du) / dx #

Отже, давайте повернемося #u і w # і знайти їх похідні

# (du) / dx = d / dxcosx = -sinx #

і

# (dw) / dx = d / dxcosh (lnx) = sinh (lnx) * 1 / x # (за допомогою ланцюгового правила)

Підключення наших знову знайдених похідних, і u, і w назад # dy / dx # ми отримуємо;

# dy / dx = 1 / cosh (lnx) * sinh (lnx) / x + 1 / cosx * -sinx #

# dy / dx = sinh (lnx) / (xcosh (lnx)) - sinx / cosx #

# dy / dx = tanh (lnx) / x - tanx #

Якщо це ще можна спростити, я не дізнався, як це зробити. Я сподіваюся, що це допомогло:)