Які глобальні та локальні екстремуми f (x) = x ^ 2 (2 - x)?

Відповідь:

#(0,0)# є місцевим мінімумом і #(4/3,32/27)# локальний максимум.

Глобальних екстремумів немає.

Пояснення:

Спочатку помножте дужки, щоб полегшити диференціацію і отримати функцію у формі

# y = f (x) = 2x ^ 2-x ^ 3 #.

Тепер локальні або відносні екстремуми або точки повороту відбуваються при похідній #f '(x) = 0 #, тобто коли # 4x-3x ^ 2 = 0 #, # => x (4-3x) = 0 #

# => x = 0 або x = 4/3 #.

#t тому f (0) = 0 (2-0) = 0 і f (4/3) = 16/9 (2-4 / 3) = 32/27 #.

З другої похідної #f '' (x) = 4-6x # має значення

#f '' (0) = 4> 0 і f '' (4/3) = - 4 <0 #, це означає, що #(0,0)# є місцевим мінімумом і #(4/3,32/27)# локальний максимум.

Глобальний або абсолютний мінімум # -оо # і глобальний максимум # oo #, оскільки функція не обмежена.

Графік функції перевіряє всі ці розрахунки:

графік {x ^ 2 (2-x) -7.9, 7.9, -3.95, 3.95}