Якими є розміри коробки, в якій буде використовуватися мінімальна кількість матеріалів, якщо фірмі потрібен закритий ящик, в якому дно має форму прямокутника, де довжина вдвічі довша, ніж ширина, а коробка повинна проходити 9000 кубічних дюймів матеріалу?

Почнемо з викладу деяких визначень.

Якщо ми називаємо # h # висота коробки і # x # менші сторони (тому більші сторони # 2x #Це можна сказати обсяг

# V = 2x * x * h = 2x ^ 2 * h = 9000 # з яких ми витягуємо # h #

# h = 9000 / (2x ^ 2) = 4500 / x ^ 2 #

Тепер для поверхонь (= матеріал)

Зверху й знизу: # 2x * x # разів #2-># Площа =# 4x ^ 2 #

Короткі сторони: # x * h # разів #2-># Площа =# 2xh #

Довгі сторони: # 2x * h # разів #2-># Площа =# 4xh #

Загальна площа:

# A = 4x ^ 2 + 6xh #

Підставляючи для # h #

# A = 4x ^ 2 + 6x * 4500 / x ^ 2 = 4x ^ 2 + 27000 / x = 4x ^ 2 + 27000x ^ -1

Щоб знайти мінімум, ми диференціюємо і встановлюємо # A '# до #0#

# A '= 8x-27000x ^ -2 = 8x-27000 / x ^ 2 = 0 #

Що призводить до # 8x ^ 3 = 27000-> x ^ 3 = 3375-> x = 15 #

Відповідь:

Коротка сторона #15# дюймів

Довга сторона #2*15=30# дюймів

Висота #4500/15^2=20# дюймів

Перевірте свою відповідь! #15*30*20=9000#