Які абсолютні екстремуми f (x) = x ^ (1/3) * (20-x) в [0,20]?

Відповідь:

Абсолютний мінімум є #0#, що відбувається на #x = 0 # і # x = 20 #.

Абсолютний максимум є # 15root (3) 5 #, що відбувається на #x = 5 #.

Пояснення:

Можливі точки, які можуть бути абсолютними екстремумами:

Точки повороту; точок, де # dy / dx = 0 #

Кінцеві точки інтервалу

Ми вже маємо наші кінцеві точки (#0# і #20#), так що давайте знайдемо наші переломні моменти:

#f '(x) = 0 #

# d / dx (x ^ (1/3) (20-x)) = 0 #

# 1 / 3x ^ (- 2/3) (20-x) - x ^ (1/3) = 0 #

# (20-x) / (3x ^ (2/3)) = x ^ (1/3) #

# (20-x) / (3x) = 1 #

# 20-x = 3x #

# 20 = 4x #

# 5 = x #

Отже, є поворотний момент #x = 5 #. Це означає, що 3 можливі точки, які можуть бути екстремумами, такі:

#x = 0 "" "" x = 5 "" "" x = 20 #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Давайте включимо ці значення в #f (x) #:

#f (0) = (0) ^ (1/3) (20 - 0) = 0 * 20 = колір (червоний) 0 #

#f (5) = (5) ^ (1/3) (20 - 5) = корінь (3) (5) * 15 = колір (червоний) (15root (3) 5 #

#f (20) = (20) ^ (1/3) (20-20) = корінь (3) (20) * 0 = колір (червоний) 0 #

Тому на інтервалі #x у 0, 20 #:

Абсолютний мінімум є #color (червоний) 0 #, що відбувається на #x = 0 # і # x = 20 #.

Абсолютний максимум є #color (червоний) (15root (3) 5) #, що відбувається на #x = 5 #.

Остаточний відповідь