Які екстремуми f (x) = (x ^ 2 -9) ^ 3 + 10 на інтервалі [-1,3]?

Відповідь:

Ми маємо мінімуми на # x = 0 # і точка перегину в # x = 3 #

Пояснення:

Максимум - це висока точка, до якої функція підвищується, а потім знову падає. Як такий, нахил дотичної або величина похідної в цій точці буде дорівнювати нулю.

Далі, оскільки дотичні ліворуч від максимумів будуть нахилятися вгору, то сплющення, а потім нахил вниз, нахил дотичної буде постійно зменшуватися, тобто значення другої похідної буде негативним.

З іншого боку, мінімуми - це низька точка, до якої функція падає, а потім знову піднімається. У такому випадку дотична або величина похідної в мінімумах теж буде нульовою.

Але, оскільки дотичні ліворуч від мінімумів будуть нахиленими вниз, то сплощення, а потім нахил вгору, нахил дотичної буде постійно збільшуватися або значення другої похідної буде позитивним.

Якщо друга похідна дорівнює нулю, то ми маємо точку

Однак, ці максимуми і мінімуми можуть бути універсальними, тобто максимумами або мінімумами для всього діапазону або можуть бути локалізовані, тобто максимуми або мінімуми в обмеженому діапазоні.

Подивимося це з посиланням на функцію, описану в питанні, і для цього давайте спочатку диференціюємо #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #.

Його перша похідна задається #f '(x) = 3 (x ^ 2-9) ^ 2 * 2x #

= # 6x (x ^ 4-18x ^ 2 + 81) = 6x ^ 5-108x ^ 3 + 486x #.

Це буде нульовим для # x ^ 2-9 = 0 # або #x = + - 3 # або #0#. З них тільки #{0,3}# знаходяться в межах діапазону #-1,3}#.

Отже, максимуми або мінімуми виникають у точках # x = 0 # і # x = 3 #.

Щоб знайти, чи це максимум або мінімуми, давайте подивимося на другий диференціал, який є #f '' (x) = 30x ^ 4-324x ^ 2 + 486 # і відтоді

в # x = 0 #, #f '' (x) = 486 # і є позитивним

в # x = 3 #, #f '' (x) = 2430-2916 + 486 = 0 # і є точкою перегину.

Отже, ми маємо локальний мінімум на # x = 0 # і точка перегину в # x = 3 #

. графік {(x ^ 2-9) ^ 3 + 10 -5, 5, -892, 891}

Відповідь:

Абсолютний мінімум є #(-9)^3+10# (що відбувається на #0#), абсолютний максимум на інтервалі #10#, (що відбувається на #3#)

Пояснення:

Питання не вказує, чи знаходимо ми відносний або абсолютний екстремуми, тому знайдемо обидва.

Відносні екстремуми можуть відбуватися тільки в критичних числах. Критичні числа - це значення # x # що знаходяться в домені # f # і на яких теж #f '(x) = 0 # або #f '(x) не існує. (Теорема Ферма)

Абсолютні екстремуми на закритому інтервалі можуть відбуватися на критичних числах в інтервалі або в точках інтервалу.

Оскільки функція, про яку про це йдеться, є постійною #-1,3#Теорема екстремальної вартості запевняє нас # f # повинні мати як абсолютний мінімум, так і абсолютний максимум на інтервалі.

Критичні числа і відносні екстремуми.

Для #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #, ми знайшли #f '(x) = 6x (x ^ 2-9) ^ 2 #.

Ясно, # f '# ніколи не існує, так що немає таких критичних чисел.

Рішення # 6x (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 # дає розчини #-3#, #0#, і #3#.

#-3# не в цій проблемі, #-1,3# тому нам потрібно лише перевірити #f (0) # і #f (3) #

Для #x <0 #, ми маємо #f '(x) <0 # і

для #x> 0 #, ми маємо #f '(x)> 0 #.

Отже, за допомогою першого похідного тесту, #f (0) # є відносним мінімумом. #f (0) = -9 ^ 3 + 10 #.

Іншим критичним числом в інтервалі є #3#. Якщо ми ігноруємо обмеження домену, ми виявимо, що #f '(x)> 0 # за всіх # x # близько #3#. Отже, функція збільшується на малих відкритих інтервалах, що містять #3#. Тому, якщо ми зупинимося в #3# ми досягли найвищої точки у домені.

існує ні Універсальна угода чи сказати про це #f (3) = 10 # є відносним максимумом для цієї функції #-1,3#.

Деякі вимагають значення з обох сторін щоб бути меншим, інші вимагають, щоб значення домену з обох сторін були меншими.

Абсолютні екстремуми

Ситуація для абсолютних екстремумів на закритому інтервалі # a, b # набагато простіше.

Знайти критичні числа в закритому інтервалі. Телефонуйте # c_1, c_2 # і так далі.

Розрахуйте значення #f (a), f (b), f (c_1), f (c_2) # і так далі. Найбільше значення має абсолютний maixmum на інтервалі, а найменше значення - абсолютний мінімум на інтервалі.

У цьому питанні ми розрахуємо #f (-1) = (-8) ^ 3 + 10 #, #f (-3) = 10 # і #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 #.

Мінімум є #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 # і

максимум #f (-3) = 10 #.