Які екстремуми і сідлові точки f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) на інтервалі x, y в [-pi, pi]?

Відповідь:

Пояснення:

Ми маємо:

# f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) #

= -6sinxsin ^ 2y # t

Крок 2 - Визначте критичні точки

Критична точка виникає при одночасному рішенні

# f_x = f_y = 0 iff (часткова f) / (часткова x) = (часткова f) / (часткова y) = 0 #

тобто, коли:

# {: (f_x = -6cosxsin ^ 2y, = 0, … A), (f_y = -6sinxsin2y, = 0, … B):}} # одночасно

Розглянемо рівняння A

# -6cosxsin ^ 2y = 0 #

Тоді у нас є два рішення:

# cosx = 0 => x = + - pi / 2 #

# sin y = 0 => y = 0, + - pi #

Тепер давайте скористаємося B для пошуку відповідної координати:

# x = + -pi / 2 => sin2y = 0 #

=> 2y = + -pi, + - 2pi => y = + - pi / 2, + -pi #

# y = 0, + - pi => x у RR # (жолоби)

Що дає нам наступні критичні моменти:

# (+ -pi / 2, + -pi / 2) t (4 критичні точки)

# (+ -pi / 2, + -pi) t (4 критичні точки)

# (alpha, 0) t (лінія жолоба)

# (alpha, + -pi) А-альфа в RR t (2 лінії жолобів)

Розглянемо рівняння B

# -6sinxsin2y = 0 #

Тоді у нас є два рішення:

# sinx = 0 => x = 0, + - pi #

# sin2y = 0 => 2y = 0 + - pi, + -2pi #

=> y = 0, + -pi / 2, + - pi # t

Тепер давайте скористаємося A для пошуку відповідної координати @

# x = 0, + - pi => siny = 0 => y = 0, + - pi # (повторюється вище)

# y = 0 => x у RR # (повторіть вище)

# y = + -pi / 2 => cosx = 0 #

=> x = + - pi / 2 # t (повторюється вище)

Що не дає нам додаткових критичних моментів:

Крок 3 - Класифікуйте критичні точки

Для класифікації критичних точок ми виконуємо тест, подібний до тестової однієї змінної з використанням другого часткового похідного і матриці Гессе.

# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((часткова ^ 2 f) / (часткова x ^ 2), (часткова ^ 2 f) / (часткова x часткова y)), ((часткова ^ 2 f) / (часткова y часткова x), (часткова ^ 2 f) / (часткова y ^ 2)) | = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Тоді залежно від значення # Delta #:

# {: (Delta> 0, "Максимум якщо" f_ (xx) <0), (, "і мінімум, якщо" f_ (xx)> 0), (Дельта <0, "є сідловий пункт")), (Delta = 0, "Необхідний подальший аналіз"):} #

Використовуючи власні макроси excel, значення функції поряд з частковими значеннями похідних обчислюються таким чином:

Ось сюжет функції

І плотит з критичними точками (і жолобами)

Які екстремуми та сідлові точки f (x) = 2x ^ 2 lnx?

Область визначення: f (x) = 2x ^ 2lnx - інтервал x в (0, + oo). Оцініть першу та другу похідні функції: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx Критичними точками є розв'язки: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0, а при x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) У цій точці: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0, так що критична точка є локальним мінімумом. Сідловинні точки є розв'язками: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 і, оскільки f '' (x) є монотонним, можна зробити висновок, що f (x) ) уві

Які екстремуми та сідлові точки f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?

Ця функція не має стаціонарних точок (ви впевнені, що f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2-y / x - це те, що ви хотіли вивчити ?!). Згідно з найбільш дифузним визначенням сідлових точок (стаціонарні точки, які не є екстремумами), ви шукаєте стаціонарні точки функції в її області D = (x, y) в RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0) , y) у RR ^ 2}. Тепер ми можемо переписати вираз, заданий для f, наступним чином: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x Спосіб їх ідентифікації полягає в пошуку точок, які анулюють градієнт f, що є вектором часткових похідних: nabla f = ((del f) / (del x), (del f) / (del y)) Оскільки домен є відкритим набо

Які екстремуми і сідлові точки f (x, y) = 6 sin x sin y на інтервалі x, y в [-pi, pi]?

X = pi / 2 і y = pi x = pi / 2 і y = -pi x = -pi / 2 і y = pi x = -pi / 2 і y = -pi x = pi і y = pi / 2 x = pi та y = -pi / 2 x = -pi та y = pi / 2 x = -pi та y = -pi / 2 Щоб знайти критичні точки функції 2-змінної, потрібно обчислити градієнт, є вектором, що зв'язує похідні по кожній змінної: (d / dx f (x, y), d / dy f (x, y)) Отже, ми маємо d / dx f (x, y) = 6cos (x) ) sin (y), а також d / dy f (x, y) = 6sin (x) cos (y). Для знаходження критичних точок градієнт повинен бути нульовим вектором (0,0), що означає розв'язання системи {(6cos (x) sin (y) = 0), (6sin (x) cos (y) = 0):} що, звичайно, можна спростити позба