Які локальні екстремуми, якщо такі є, f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x?

Відповідь:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x # має місцевий мінімум для # x = 1 # і локальний максимум для # x = 3 #

Пояснення:

Ми маємо:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x #

функція визначена у всіх # RR # як # x ^ 2 + 3> 0 AA x #

Ми можемо ідентифікувати критичні точки, знаходячи, де перша похідна дорівнює нулю:

#f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) -1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) #

# - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 #

# x ^ 2-4x + 3 = 0 #

# x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1

отже, критичні точки:

# x_1 = 1 # і # x_2 = 3 #

Оскільки знаменник завжди позитивний, ознака #f '(x) # є протилежним знаку чисельника # (x ^ 2-4x + 3) #

Тепер відомо, що поліном другого порядку з позитивним провідним коефіцієнтом позитивний за межами інтервалу між коренями і негативним в інтервалі між коренями, так що:

#f '(x) <0 # для #x in (-oo, 1) # і #x in (3, + oo) #

#f '(x)> 0 # для #x in (1,3) #

Ми маємо тоді це #f (x) # зменшується в # (- oo, 1) #, збільшення в Росії #(1,3)#і знову зменшується в # (3, + oo) #, так що # x_1 = 1 # має бути місцевим мінімумом і # x_2 = 3 # має бути локальним максимумом.

графік {2ln (x ^ 2 + 3) -x -1.42, 8.58, -0.08, 4.92}