Які локальні екстремуми, якщо такі є, f (x) = 120x ^ 5 - 200x ^ 3?

Відповідь:

Локальний максимум #80# (у # x = -1 #) і місцевий мінімум #-80# (у # x = 1 #.

Пояснення:

#f (x) = 120x ^ 5 - 200x ^ 3 #

#f '(x) = 600x ^ 4 - 600x ^ 2 = 600x ^ 2 (x ^ 2 - 1) #

Критичні числа: #-1#, #0#, і #1#

Знак # f '# змінюється від + до - як ми проходимо # x = -1 #, тому #f (-1) = 80 # локальний максимум.

(З # f # це дивно, ми можемо негайно зробити висновок #f (1) = - 80 # є відносним мінімумом і #f (0) # не є локальним екстремумом.)

Знак # f '# не змінюється, як ми проходимо # x = 0 #, тому #f (0) # не є локальним екстремумом.

Знак # f '# змінюється від - до +, як ми проходимо # x = 1 #, тому #f (1) = -80 # є місцевим мінімумом.

Які локальні екстремуми, якщо такі є, f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x?

F (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x має локальний мінімум для x = 1 і локальний максимум для x = 3 Ми маємо: f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x Функція визначена у всьому RR як x ^ 2 + 3> 0 AA x Ми можемо ідентифікувати критичні точки, знаходячи, де перша похідна дорівнює нулю: f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) - 1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 x ^ 2-4x + 3 = 0 x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1, так що критичні точки: x_1 = 1 і x_2 = 3 Оскільки знаменник завжди позитивний, знак f '(x) є протилежним знаку Чисельник (x ^ 2-4x + 3) Тепер відомо, що поліном другого порядку з позитивним провідним коефіцієнт

Які локальні екстремуми, якщо такі є, f (x) = 2x + 15x ^ (2/15)?

Локальний максимум 13 на 1 і локальний мінімум 0 на 0. Домен f є RR f '(x) = 2 + 2x ^ (- 13/15) = (2x ^ (13/15) +2) / x ^ (13/15) f '(x) = 0 при x = -1 і f' (x) не існує при x = 0. Обидва -1 і 9 знаходяться в області f, тому вони обидва критичні числа. Перший похідний тест: On (-oo, -1), f '(x)> 0 (наприклад, при x = -2 ^ 15) On (-1,0), f' (x) <0 (наприклад, у x = -1 / 2 ^ 15) Тому f (-1) = 13 - локальний максимум. На (0, oo), f '(x)> 0 (використовуйте будь-який великий позитивний х) Так f (0) = 0 - локальний мінімум.

Які локальні екстремуми, якщо такі є, f (x) = 2x ^ 3 -3x ^ 2 + 7x-2?

Немає локальних екстремалів у RR ^ n для f (x) Спочатку треба взяти похідну f (x). dy / dx = 2d / dx [x ^ 3] -3d / dx [x ^ 2] + 7d / dx [x] -0 = 6x ^ 2-6x + 7 Так, f '(x) = 6x ^ 2- 6x + 7 Щоб вирішити для локальних екстремалів, треба встановити похідну до 0 6x ^ 2-6x + 7 = 0 x = (6 + -sqrt (6 ^ 2-168)) / 12 Тепер ми потрапили проблема. Це те, що x inCC, так що локальні екстремали є складними. Це те, що відбувається, коли ми починаємо в кубічних виразах, це те, що складні нулі можуть статися в першому тесті похідних. У цьому випадку не існує локальних екстремумів у RR ^ n для f (x).