Відповідь:
Поставте відповідь нижче
Пояснення:
Для # x = 0 # ми маємо
#f (0) -e ^ (- f (0)) = - 1 #
Ми розглядаємо нову функцію #g (x) = x-e ^ (- x) + 1 #, # x ## у ## RR #
#g (0) = 0 #, #g '(x) = 1 + e ^ (- x)> 0 #, # x ## у ## RR #
Як результат # g # збільшується в # RR #. Таким чином, тому що це строго зростає # g # є "#1-1#" (один до одного)
Тому, #f (0) -e ^ (- f (0)) + 1 = 0 # #<=># #g (f (0)) = g (0) # #<=># #f (0) = 0 #
Ми повинні це показати # x / 2 <##f (x) <##xf '(x) # # <=> ^ (x> 0) #
#1/2<##f (x) / x <##f '(x) # #<=>#
#1/2<## (f (x) -f (0)) / (x-0) <##f '(x) #
- # f # є безперервним на # 0, x #
- # f # є диференційованим в Росії # (0, x) #
Відповідно до теореми середнього значення є # x_0 ## у ## (0, x) #
для котрого #f '(x_0) = (f (x) -f (0)) / (x-0) #
#f (x) -e ^ (- f (x)) = x-1 #, # x ## у ## RR # тому
шляхом диференціації обох частин
#f '(x) -e ^ (- f (x)) (- f (x))' = 1 # #<=># #f '(x) + f' (x) e ^ (- f (x)) = 1 # #<=>#
#f '(x) (1 + e ^ (- f (x))) = 1 # # <=> ^ (1 + e ^ (- f (x))> 0) #
#f '(x) = 1 / (1 + e ^ (- f (x))) #
Функція # 1 / (1 + e ^ (- f (x))) # є диференційованим. Як результат # f '# є диференційованим і # f # в 2 рази диференційовані з
#f '' (x) = - ((1 + e ^ (- f (x))) ') / (1 + e ^ (- f (x))) ^ 2 # #=#
# (f '(x) e ^ (- f (x))) / ((1 + e ^ (- f (x))) ^ 2 # #>0#, # x ## у ## RR #
-> # f '# строго зростає в Росії. t # RR # що означає
# x_0 ## у ## (0, x) # #<=># #0<## x_0 <## x # #<=>#
#f '(0) <##f '(x_0) <##f '(x) # #<=>#
# 1 / (1 + e ^ (- f (0))) ##<##f (x) / x <##f '(x) # #<=>#
#1/2<##f (x) / x <##f '(x) # # <=> ^ (x> 0) #
# x / 2 <##f (x) <##xf '(x) #
