Відповідь:
Будь ласка, дивіться пояснення нижче
Пояснення:
Функція є
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
Є часткові похідні
# (delf) / (delx) = 2x + y + 3 #
# (delf) / (dely) = 2y + x-3 #
Дозволяє # (delf) / (delx) = 0 # і # (delf) / (dely) = 0 #
Потім, # {(2x + y + 3 = 0), (2y + x-3 = 0):} #
#=>#, # {(x = -3), (y = 3):} #
# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2
# (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 #
# (del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
Матриця Гессе
#Hf (x, y) = (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) #
Визначальним є
#D (x, y) = det (H (x, y)) = | (2,1), (1,2) | #
#=4-1=3 >0#
Тому, Немає сідлових точок.
#D (1,1)> 0 # і # (del ^ 2f) / (delx ^ 2)> 0 #, є місцевий мінімум у #(-3,3)#
Відповідь:
Місцевий мінімум: #(-3,3)#
Пояснення:
Група точок, які включають в себе як екстремуми, так і сідлові точки знаходяться, коли обидва # (delf) / (delx) (x, y) # і # (delf) / (dely) (x, y) # дорівнюють нулю.
Припускаючи # x # і # y # незалежні змінні:
# (delf) / (delx) (x, y) = 2x + y + 3 #
# (delf) / (dely) (x, y) = x + 2y-3 #
Отже, ми маємо два одночасних рівняння, які, на щастя, є лінійними:
# 2x + y + 3 = 0 #
# x + 2y-3 = 0 #
З першого:
# y = -2x-3 #
Замініть на другий:
# x + 2 (-2x-3) -3 = 0 #
# x-4x-6-3 = 0 #
# -3x-9 = 0 #
# x = -3 #
Замініть на перший:
# 2 (-3) + y + 3 = 0 #
# -6 + y + 3 = 0 #
# -3 + y = 0 #
# y = 3 #
Отже, є одна точка, де перші похідні рівномірно стають нулем, або екстремумом, або сідлом, при # (x, y) = (- 3,3) #.
Щоб вивести, ми повинні обчислити матрицю другого похідного, матриці Гессе (http://en.wikipedia.org/wiki/Hessian_matrix):
# (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) #
# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2
# (del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
# (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 #
Таким чином
# (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) = ((2,1), (1,2)) #
Всі похідні другого порядку є рівномірно постійними незалежно від значень # x # і # y #, тому нам не потрібно спеціально обчислювати значення, що представляють інтерес.
NB Порядок диференціації не має значення для функцій з безперервними вторинними похідними (Теорема Клерро, застосування тут: http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_derivatives), тому ми очікуємо, що # (del ^ 2f) / (delxdely) = (del ^ 2f) / (delydelx) #, як ми бачимо в нашому конкретному результаті вище.
У цьому випадку з двома змінними можна вивести тип точки з детермінанта Гессена, # (del ^ 2f) / (delx ^ 2) (del ^ 2f) / (dely ^ 2) - (del ^ 2f) / (delxdely) (del ^ 2f) / (delydelx) = 4-1 = 3 #.
Форма тесту для адміністрування наведена тут:
Ми бачимо, що визначальною є #>0#, і так є # (del ^ 2f) / (delx ^ 2) #. Отже, ми робимо висновок #(-3,3)#, єдина точка нульової першої похідної, є локальним мінімумом функції.
Як перевірка розумності для питання одномірної функції, я зазвичай розміщую її графік, але у Сократа не є поверхнева або контурна схема, придатна для двовимірних функцій, наскільки я бачу. Тому я переповню дві функції #f (-3, y) # і #f (x, 3) #, які не характеризують всю функціональну область для нас, але покажуть нам мінімум між ними, який з'являється як очікується в # y = 3 # і # x = -3 #, приймаючи ідентичне значення функції # f = -5 # у кожному випадку.
Як #f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
#f (-3, y) = y ^ 2-6y + 4 #
#f (x, 3) = x ^ 2 + 6x + 4 #
графік {(x- (y ^ 2-6y + 4)) (y- (x ^ 2 + 6x + 4)) = 0 -10, 5, -6, 7}
