Відповідь:
# {: ("Критична точка", "Висновок"), ((0,0,0), "сідло"):} #
Пояснення:
Теорія для визначення екстремумів Росії
- Вирішуємо одночасно критичні рівняння
# (часткова f) / (часткова x) = (часткова f) / (часткова y) = 0 t (тобто# f_x = f_y = 0 # ) - Оцінити
#f_ (x x), f_ (yy) і f_ (xy) (= f_ (yx)) # на кожній з цих критичних точок. Звідси оцінюють# Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # на кожній з цих точок - Визначити природу екстремумів;
# {: (Delta> 0, "Є мінімум, якщо" f_ (xx) <0), (, "і максимум, якщо" f_ (yy)> 0), (Дельта <0, "є сідловий пункт")), (Delta = 0, "Необхідний подальший аналіз"):} #
Тому ми маємо:
# f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) #
# "" = xye ^ (y ^ 2) - xye ^ (x ^ 2) #
Знайдемо перші часткові похідні:
# (часткова f) / (часткова x) = ye ^ (y ^ 2) + {(-xy) (2xe ^ (x ^ 2)) + (-y) (e ^ (x ^ 2))} #
= ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) #
# (часткова f) / (часткова y) = {(xy) (2ye ^ (y ^ 2)) + (x) (e ^ (y ^ 2))} - xe ^ (x ^ 2) #
= 2x ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) #
Отже, наші критичні рівняння:
# ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) = 0 => y (e ^ (y ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #
# 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) = 0 => x (2y ^ 2e ^ (y ^ 2) + e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #
З цих рівнянь ми маємо:
# y = 0 # або# e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) = 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) #
# x = 0 # або# e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2) = -2y ^ 2e ^ (y ^ 2) #
І єдиним є одночасне рішення
І так у нас є один критична точка на походження
Отже, тепер давайте розглянемо другі часткові похідні, щоб визначити природу критичної точки (я просто цитую ці результати):
(частковий ^ 2f) / (частковий x ^ 2) = -4x ^ 3ye ^ (x ^ 2) -6xye ^ (x ^ 2) #
(частковий ^ 2f) / (частковий y ^ 2) = 4xy ^ 3e ^ (y ^ 2) + 6xye ^ (y ^ 2) #
# (частковий ^ 2f) / (частковий x частковий y) = e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) + 2y ^ 2e ^ (y ^ 2) (= (частковий ^ 2f) / (частковий y частковий x)) #
І ми повинні розрахувати:
# Delta = (частковий ^ 2f) / (частковий x ^ 2) (частковий ^ 2f) / (частковий y ^ 2) - ((частковий ^ 2f) / (частковий x частковий y)) ^ 2 #
в кожній критичній точці. Другі часткові похідні значення,
# {: ("Критична точка", (часткова ^ 2f) / (часткова x ^ 2), (часткова ^ 2f) / (часткова y ^ 2), (часткова ^ 2f) / (часткова x часткова y), Delta, "Висновок"), ((0,0,0), 0,0,0, = 0, "incluclusive"):} #
Отже, після того, як ця робота виявилася досить невтішною, отримайте інклюзивний результат, але якщо ми розглянемо поведінку навколо критичної точки, ми можемо легко встановити, що вона є сідловою точкою.
Ми бачимо ці критичні точки, якщо подивитися на 3D-сюжет:
Які екстремуми та сідлові точки f (x) = 2x ^ 2 lnx?
Область визначення: f (x) = 2x ^ 2lnx - інтервал x в (0, + oo). Оцініть першу та другу похідні функції: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx Критичними точками є розв'язки: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0, а при x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) У цій точці: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0, так що критична точка є локальним мінімумом. Сідловинні точки є розв'язками: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 і, оскільки f '' (x) є монотонним, можна зробити висновок, що f (x) ) уві
Які екстремуми та сідлові точки f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?
Ця функція не має стаціонарних точок (ви впевнені, що f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2-y / x - це те, що ви хотіли вивчити ?!). Згідно з найбільш дифузним визначенням сідлових точок (стаціонарні точки, які не є екстремумами), ви шукаєте стаціонарні точки функції в її області D = (x, y) в RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0) , y) у RR ^ 2}. Тепер ми можемо переписати вираз, заданий для f, наступним чином: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x Спосіб їх ідентифікації полягає в пошуку точок, які анулюють градієнт f, що є вектором часткових похідних: nabla f = ((del f) / (del x), (del f) / (del y)) Оскільки домен є відкритим набо
Які екстремуми та сідлові точки f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?
{: ("Критична точка", "Висновок"), ((0,0), "min"), ((-1, -2), "сідло"), ((-1,2), "сідло" ), ((-5 / 3,0), "max"): Теорія ідентифікації екстремумів z = f (x, y): Розв'яжіть одночасно критичні рівняння (часткові f) / (часткові x) = (часткова f) / (часткова y) = 0 (тобто z_x = z_y = 0) Оцініть f_ (xx), f_ (yy) і f_ (xy) (= f_ (yx)) у кожній з цих критичних точок . Отже, оцінюйте дельта = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 у кожній з цих точок. Визначте природу екстремумів; {: (Delta> 0, "Є мінімум, якщо" f_ (xx) <0), (, "і максимум, якщо" f_ (