Які екстремуми і сідлові точки f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2))?

Які екстремуми і сідлові точки f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2))?
Anonim

Відповідь:

# {: ("Критична точка", "Висновок"), ((0,0,0), "сідло"):} #

Пояснення:

Теорія для визначення екстремумів Росії # z = f (x, y) # є:

  1. Вирішуємо одночасно критичні рівняння

    # (часткова f) / (часткова x) = (часткова f) / (часткова y) = 0 t (тобто # f_x = f_y = 0 #)

  2. Оцінити #f_ (x x), f_ (yy) і f_ (xy) (= f_ (yx)) # на кожній з цих критичних точок. Звідси оцінюють # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # на кожній з цих точок
  3. Визначити природу екстремумів;

    # {: (Delta> 0, "Є мінімум, якщо" f_ (xx) <0), (, "і максимум, якщо" f_ (yy)> 0), (Дельта <0, "є сідловий пункт")), (Delta = 0, "Необхідний подальший аналіз"):} #

Тому ми маємо:

# f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) #

# "" = xye ^ (y ^ 2) - xye ^ (x ^ 2) #

Знайдемо перші часткові похідні:

# (часткова f) / (часткова x) = ye ^ (y ^ 2) + {(-xy) (2xe ^ (x ^ 2)) + (-y) (e ^ (x ^ 2))} #

= ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) #

# (часткова f) / (часткова y) = {(xy) (2ye ^ (y ^ 2)) + (x) (e ^ (y ^ 2))} - xe ^ (x ^ 2) #

= 2x ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) #

Отже, наші критичні рівняння:

# ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) = 0 => y (e ^ (y ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #

# 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) = 0 => x (2y ^ 2e ^ (y ^ 2) + e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #

З цих рівнянь ми маємо:

# y = 0 # або # e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) = 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) #

# x = 0 # або # e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2) = -2y ^ 2e ^ (y ^ 2) #

І єдиним є одночасне рішення # x = y = 0 #

І так у нас є один критична точка на походження

Отже, тепер давайте розглянемо другі часткові похідні, щоб визначити природу критичної точки (я просто цитую ці результати):

(частковий ^ 2f) / (частковий x ^ 2) = -4x ^ 3ye ^ (x ^ 2) -6xye ^ (x ^ 2) #

(частковий ^ 2f) / (частковий y ^ 2) = 4xy ^ 3e ^ (y ^ 2) + 6xye ^ (y ^ 2) #

# (частковий ^ 2f) / (частковий x частковий y) = e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) + 2y ^ 2e ^ (y ^ 2) (= (частковий ^ 2f) / (частковий y частковий x)) #

І ми повинні розрахувати:

# Delta = (частковий ^ 2f) / (частковий x ^ 2) (частковий ^ 2f) / (частковий y ^ 2) - ((частковий ^ 2f) / (частковий x частковий y)) ^ 2 #

в кожній критичній точці. Другі часткові похідні значення, # Delta #і висновок такі:

# {: ("Критична точка", (часткова ^ 2f) / (часткова x ^ 2), (часткова ^ 2f) / (часткова y ^ 2), (часткова ^ 2f) / (часткова x часткова y), Delta, "Висновок"), ((0,0,0), 0,0,0, = 0, "incluclusive"):} #

Отже, після того, як ця робота виявилася досить невтішною, отримайте інклюзивний результат, але якщо ми розглянемо поведінку навколо критичної точки, ми можемо легко встановити, що вона є сідловою точкою.

Ми бачимо ці критичні точки, якщо подивитися на 3D-сюжет: