Які екстремуми та сідлові точки f (x, y) = xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)?

Відповідь:

#(0,0)# являє собою сідлову точку

# (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # і # (- 1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # є локальними максимумами

# (1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # і # (- 1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # є місцевими мінімумами

# (0, pm 1 / sqrt 2) # і # (pm 1 / sqrt 2,0) # є точками перегину.

Пояснення:

Для загальної функції #F (x, y) # з нерухомою точкою в # (x_0, y_0) # ми маємо розширення серії Тейлора

#F (x_0 + xi, y_0 + eta) = F (x_0, y_0) + 1 / (2!) (F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} eta ^ 2 + 2F_ {xy} xi eta) + ldots #

Для функції

#f (x) = x y e ^ {- x ^ 2 -y ^ 2} #

ми маємо

# (del f) / (del x) = ye ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = y (1-2x ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

# (del f) / (del y) = xe ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2y) e ^ {- x ^ 2 -y ^ 2} #

#qquad = x (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2 -y ^ 2} #

Легко бачити, що обидві перші похідні зникають у наступних понрах

• #(0,0)#
• # (0, pm 1 / sqrt2) #
• # (pm 1 / sqrt2, 0) #
• # (pm 1 / sqrt2, pm 1 / sqrt2) #

Щоб вивчити природу цих стаціонарних точок, треба дивитися на поведінку цих похідних.

Тепер

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = y (-4x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + y (1-2x ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x y (4x ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

і аналогічним чином

# (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = xy (4y ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2 -y ^ 2} #

і

# (del ^ 2 f) / (del xdel y) = (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x (1-2y ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2-2y ^ 2 + 4x ^ 2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2 -y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2) (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2 -y ^ 2} #

Так для #(0,0)# ми маємо # (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 0 # і # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 1 # - отже

#f (0 + xi, 0 + eta) = f (0,0) + xi eta = xi eta #

Якщо підійдеш #(0,0)# вздовж лінії # x = y #, це стає

#f (0 + xi, 0 + xi) = xi ^ 2 #

і так #(0,0)# очевидно мінімальний, якщо підійти з цього напрямку. З іншого боку, якщо підійти по лінії # x = -y # ми маємо

#f (0 + xi, 0-xi) = -xi ^ 2 #

і так #(0,0)# є максимальним уздовж цього напрямку, Таким чином #(0,0)# є сідловий пункт.

Для # (1 / sqrt2,1 / sqrt2) # це легко бачити

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = -2e ^ {- 1/2} <0 # і # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

що означає

#f (1 / sqrt 2 + xi, 1 / sqrt 2 + eta) = f (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) -e ^ {- 1/2 (xi ^ 2 + eta ^ 2)} #

Отже, функція зменшується в залежності від того, звідки ви відходите # (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # і це a локальний максимум. Легко бачити, що те ж саме стосується # (- 1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # (це повинно було бути очевидним, оскільки функція залишається незмінною # (x, y) до (-x, -y) #!

Знову ж таки, для обох # (1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # і # (- 1 / sqrt2,1 / sqrt2) # ми маємо

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 2e ^ {- 1/2}> 0 # і # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

Отже, обидві ці точки є локальними мінімумами.

Чотири пункти # (0, pm 1 / sqrt2) # і # (pm 1 / sqrt2, 0) # є більш проблематичними - оскільки всі похідні другого порядку в цих точках зникають. Тепер ми повинні дивитися на похідні вищого порядку. На щастя, нам не потрібно дуже наполегливо працювати над цим - наступні прибутковість

# (del ^ 3 f) / (del x ^ 3) = -2y (3-12x ^ 2 + 4x ^ 4) e ^ {- x ^ 2 -y ^ 2} #

що не є нулем для обох # (0, pm 1 / sqrt2) # і # (pm 1 / sqrt2, 0) #. Тепер це означає, наприклад, що

#f (0 + xi, 1 / sqrt 2) = f (0,1 / sqrt 2) +1/3 ((del ^ 3 f) / (del x ^ 3)) _ {(0,1 / sqrt2) } xi ^ 3 + … #

що показує, що це збільшиться з # f (0,1 / sqrt 2) # в одному напрямку і зменшується від нього в іншому. Таким чином # (0,1 / sqrt2) # є точкою перегину. Той же аргумент працює і для інших трьох пунктів.