Обчислення

Я б сказав, що функція є розривною при a, якщо вона є суцільною поблизу a (у відкритому інтервалі, що містить a), але не при a. Але є й інші визначення. Функція f є безперервною при числі a тоді і тільки тоді, коли: lim_ (xrarra) f (x) = f (a) Це вимагає, щоб: 1 "" f (a) повинен існувати. (a знаходиться в області f) 2 "" lim_ (xrarra) f (x) має існувати 3 Числа в 1 і 2 повинні бути однаковими. У самому загальному сенсі: Якщо f не є безперервним у точці a, то f є розривною на a. Дехто тоді скаже, що f є переривчастим при a, якщо f не є безперервним, а інші використовують "переривчастий", щоб оз Докладніше »

Pi / 4 Довжина дуги f (x), x в [ab] задається як: S_x = int_b ^ af (x) sqrt (1 + f '(x) ^ 2) dx f (x) = - xsinx + xcos (x-pi / 2) = - xsinx + xsinx = 0 f '(x) = 0 Оскільки ми просто маємо y = 0, можна просто взяти довжину s прямої між 0 до pi / 4, яка є pi / 4- 0 = pi / 4 Докладніше »

Це (7sqrt3) / 2 ^ 7 = (7sqrt3) / 128 Метод f (x) = sin ^ 7 (x) Дуже корисно переписати це як f (x) = (sin (x)) ^ 7 тому що це дає зрозуміти, що ми маємо функцію потужності 7 ^ Використовуйте правило потужності та правило ланцюга (ця комбінація часто називається узагальненим правилом потужності). ) ^ (n-1) * g '(x), в інших позначеннях d / (dx) (u ^ n) = nu ^ (n-1) (du) / (dx) У будь-якому випадку для вашого питання f '(x) = 7 (sin (x)) ^ 6 * cos (x) Ви можете написати f' (x) = 7sin ^ 6 (x) * cos (x) При x = - pi / 3, у нас є f '(- pi / 3) = 7sin ^ 6 (- pi / 3) * cos (- pi / 3) = 7 (1/2) ^ 6 (sqrt3 / 2) = (7 Докладніше »

F (x) = ln ((x + 3) / 5) +1 Ми знаємо, що int1 / xdx = lnx + C, так: int1 / (x + 3) dx = ln (x + 3) + C Тому f ( x) = ln (x + 3) + C. Наведено початкову умову f (2) = 1. Здійснюючи необхідні заміни, маємо: f (x) = ln (x + 3) + C -> 1 = ln ((2) +3) + C -> 1-ln5 = C Тепер можна переписати f (x) як f (x) = ln (x + 3) + 1-ln5, і це наша остаточна відповідь. Якщо ви хочете, ви можете використовувати наступне природне властивість журналу для спрощення: lna-lnb = ln (a / b) Застосовуючи це до ln (x + 3) -ln5, отримаємо ln ((x + 3) / 5) Таким чином, ми можемо далі висловити свою відповідь як f (x) = ln ((x + 3) / 5) +1. Докладніше »

Ln (x / 2) +1> Похідна lnx = 1 / x, отже, анти-похідна 1 / x "є" lnx rArrF (x) = int1 / x dx = lnx + c Щоб знайти c, використовуйте f ( 2) = 1 ln2 + c = 1 c = 1 - ln2 rArr F (x) = lnx + 1-ln2 за допомогою • lnx-lny = ln (x / y) "для спрощення" rArr int1 / x dx = ln ( x / 2) +1 Докладніше »

F (x) = 1 / 3x ^ 3 - 3 / 2x ^ 2 + 13/3 Інтеграція f (x): x ^ 3/3 - 3 / 2x ^ 2 + cf (2) = 1 забезпечує постійну інтеграцію ( c) знайти за допомогою оцінки x = 2, y = 1 rArr 2 ^ 3/3 -3 xx 2 ^ 2/2 + c = 1 rArr 8/3 - 6 + c = 1 rArr c = 1 + 6 - 8/3 = 13/3 rArr f (x) = 1/3 x ^ 3 - 3/2 x ^ 2 + 13/3 Докладніше »

Я знайшов: f (x) = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + 13/3 Ми вирішуємо невизначений інтеграл: int (x ^ 2 + x-3) dx = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + c, а потім використовуємо нашу умову, щоб знайти c: f (2) = 3 = (2 ^ 3) / 3 + (2 ^ 2) / 2- (3 * 2) + c так: 3 = 8/3 + 4 / 2-6 + cc = 3-8 / 3-2 + 6 c = 7-8 / 3 = (21-8) / 3 = 13/3 і остаточно: f (x) = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + 13/3 Докладніше »

F (x) = (x ^ 2) / 2-3x + 7 f (x) = intx-3 dx = (x ^ 2) / 2-3x + c Подрядок у 2, f (2) = ((2) ^ 2) / 2-3 (2) + c = 2-6 + c = -4 + c Оскільки f (2) = 3, -4 + c = 3 c = 7: .f (x) = (x ^ 2) / 2-3x + 7 Докладніше »

F (x) = xe ^ xe ^ x + 3-e ^ 2 f (x) = intxe ^ xdx, f (2) = 3 використовуємо інтеграцію за частинами f (x) = intu (dv) / (dx) dx = uv-intv (du) / (dx) dx у цьому випадку u = x => (du) / (dx) = 1 (dv) / (dx) = e ^ x => v = e ^ x: .f (x) = xe ^ x-inte ^ xdx f (x) = xe ^ xe ^ x + cf (2) = 3:. f (2) = 3 = 2e ^ 2-e ^ 2 + c c = 3-e ^ 2 f (x) = xe ^ x-e ^ x + 3-e ^ 2 Докладніше »

Sqrt (1 + x ^ 2) -1 / 2ln (abs (sqrt (1 + x ^ 2) +1)) + 1 / 2ln (abs (sqrt (1 + x ^ 2) -1)) + C Використовувати u ^ 2 = 1 + x ^ 2, x = sqrt (u ^ 2-1) 2u (du) / (dx) = 2x, dx = (udu) / x intsqrt (1 + x ^ 2) / xdx = int ( usqrt (1 + x ^ 2)) / x ^ 2du intu ^ 2 / (u ^ 2-1) du = int1 + 1 / (u ^ 2-1) du 1 / (u ^ 2-1) = 1 / ((u + 1) (u-1)) = A / (u + 1) + B / (u-1) 1 = A (u-1) + B (u + 1) u = 1 1 = 2B, B = 1/2 u = -1 1 = -2A, A = -1 / 2 int1-1 / (2 (u + 1)) + 1 / (2 (u-1)) du = u-1 / 2ln (abs (u + 1)) + 1 / 2ln (abs (u-1)) + C Покласти u = sqrt (1 + x ^ 2) назад у дані: sqrt (1 + x ^ 2) -1 / 2ln ( abs (sqrt (1 + x ^ 2) +1)) + 1 / Докладніше »

(sqrt (170), tan ^ -1 (1/13)) - = (13,0,0,0768 ^ c) Для заданого набору координат (x, y), (x, y) -> (rcostheta, rsintheta) r = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) theta = tan ^ -1 (y / x) r = sqrt (13 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (169 + 1) = sqrt (170) = 13,0 тета = tan ^ -1 (1/13) = 0.0768 ^ c (13,1) -> (sqrt (170), tan ^ -1 (1/13)) - = (13,0,0,0768 ^ c) Докладніше »

На це неможливо відповісти без контексту. Ось деякі з застосувань у математиці. Безліч має нескінченну потужність, якщо воно може бути відображене один на один на власне підмножину себе. Це не використання нескінченності в обчисленні. В обчисленні ми використовуємо "нескінченність" трьома способами. Позначення інтервалу: Символи oo (відповідно --oo) використовуються для вказівки, що інтервал не має правої (відповідно лівої) кінцевої точки. Інтервал (2, оо) є таким же, як набір x Нескінченні межі Якщо межа не існує, тому що коли х наближається до a, значення f (x) зростають без обмеження, то ми пишемо lim_ (xrarra Докладніше »

Миттєва швидкість - це швидкість, з якою об'єкт рухається в точно вказаний момент. Якщо я подорожую на північ рівно 10 м / с протягом десяти секунд, а потім повертаюся на захід і подорожую рівно на 5 м / с протягом десяти секунд точно, моя середня швидкість становить приблизно 5,59 м / с у (приблизно) північно-західному напрямку. Проте, моя миттєва швидкість - це моя швидкість у будь-якій точці: рівно за п'ять секунд у моїй поїздці, моя миттєва швидкість становить 10м / с на північ; рівно п'ятнадцять секунд у, це 5m / s захід. Докладніше »

Розділимо інтервал [a, b] на n підінтервалів однакової довжини. [a, b] до {[x_0, x_1], [x_1, x_2], [x_2, x_3], ..., [x_ {n-1}, x_n]}, де a = x_0 <x_1 <x_2 < cdots <x_n = b. Ми можемо наблизити певний інтеграл int_a ^ bf (x) dx трапецієподібним правилом T_n = [f (x_0) + 2f (x_1) + 2f (x_2) + cdots2f (x_ {n-1}) + f (x_n)] { ba} / {2n} Докладніше »

Правило L'hopital використовується в основному для знаходження межі як x-> a функції виду f (x) / g (x), коли межі f і g при a такі, що f (a) / g (a) призводить до невизначеної форми, наприклад, 0/0 або oo / oo. У таких випадках можна взяти межу похідних цих функцій як x-> a. Таким чином, можна обчислити lim_ (x-> a) (f '(x)) / (g' (x)), який буде дорівнювати межі початкової функції. Як приклад функції, де це може бути корисним, розглянемо функцію sin (x) / x. У цьому випадку f (x) = sin (x), g (x) = x. Як x-> 0, sin (x) -> 0 і x -> 0. Таким чином, lim_ (x-> 0) sin (x) / x = 0/0 =? 0/0 є не Докладніше »

Правило l'Hopital Якщо {(lim_ {x до a} f (x) = 0 і lim_ {x до a} g (x) = 0), (або), (lim_ {x to a} f (x) = pm infty і lim_ {x to} g (x) = pm infty):} потім lim_ {x to a} {f (x)} / {g (x)} = lim_ {x to a} {f '( x)} / {g '(x)}. Приклад 1 (0/0) lim_ {x до 0} {sinx} / x = lim_ {x до 0} {cosx} / 1 = {cos (0)} / 1 = 1/1 = 1 Приклад 2 (infty / infty) lim_ {x to infty} {x} / {e ^ x} = lim_ {infty} {1} / {e ^ x} = 1 / {e ^ {infty}} = {1} / {infty} = 0 Я сподіваюся, що це було корисно. Докладніше »

X = -4 і -8/5 Отже, вертикальна асимптота - це лінія, яка проходить вертикально до нескінченності. Якщо помітити, то випливає, що координата y кривої набагато досягає нескінченності. Відомо, що нескінченність = 1/0 Отже, при порівнянні з f (x), випливає, що знаменник f (x) повинен бути нульовим. Отже, (5x + 8) (x + 4) = 0 Це квадратичне рівняння, корені якого становлять -4 і -8/5. Отже, при x = -4, -8/5 ми маємо вертикальні асимптоти Докладніше »

Sec (5x) tan (5x) * 5 Похідна sec (x) - sec (x) tan (x). Однак, оскільки кут 5x, а не тільки x, ми використовуємо правило ланцюга. Отже, ми знову множимося на похідну 5x, яка дорівнює 5. Це дає нам остаточну відповідь як sec (5x) tan (5x) * 5 Сподіваюся, що це допомогло! Докладніше »

Якщо ви вважаєте за краще позначення Лейбніца, другу похідну позначають (d ^ 2y) / (dx ^ 2). Приклад: y = x ^ 2 dy / dx = 2x (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 2 Якщо вам подобаються позначення простими числами, то другу похідну позначають двома прем'єрними знаками, на відміну від однієї позначки першою. похідні: y = x ^ 2 y '= 2x y' '= 2 Аналогічно, якщо функція знаходиться у функції нотації: f (x) = x ^ 2 f' (x) = 2x f '' (x) = 2 люди знайомі з обома нотаціями, тому, як правило, не важливо, який вибір ви обрали, доки люди можуть зрозуміти, що ви пишете. Сам я віддаю перевагу позначенню Лейбніца, тому що в Докладніше »

Раціональна функція полягає в тому, де x знаходиться під смугою дробів. Частина під рядком називається знаменником. Це ставить обмеження на домен x, оскільки знаменник може не працювати як 0 Простий приклад: y = 1 / x domain: x! = 0 Це також визначає вертикальну асимптоту x = 0, тому що ви можете зробити x як близький до 0, як хочете, але ніколи не досягайте. Це робить різницю, якщо ви рухаєтеся до 0 з позитивної сторони від негативного (див. Графік). Ми говоримо lim_ (x-> 0 ^ +) y = oo і lim_ (x-> 0 ^ -) y = -oo Так існує графік розриву {1 / x [-16.02, 16.01, -8.01, 8.01]} З іншого боку: якщо ми зробимо x більшим і Докладніше »

F '(x) = 72x-18 Взагалі, правило продукту говорить, що якщо f (x) = g (x) h (x) з g (x) і h (x) деякі функції x, то f' ( x) = g '(x) h (x) + g (x) h' (x). У цьому випадку g (x) = 6x-4 і h (x) = 6x + 1, тому g '(x) = 6, h' (x) = 6. Тому f (x) = 6 (6x + 1) +6 (6x-4) = 72x-18. Ми можемо перевірити це, розробивши продукт g та h спочатку, а потім диференціювати. f (x) = 36x ^ 2-18x-4, тому f '(x) = 72x-18. Докладніше »

Абсолютні екстремуми функції в замкнутому інтервалі [a, b] можуть бути або локальними екстремумами в цьому інтервалі, або точками, у яких асцис є a або b. Отже, знайдемо локальні екстремуми: y '= 2 * (1 * (x ^ 2 + 1) -x * 2x) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 2 * (- x ^ 2 + 1) / (x ^ 2 + 1) ^ 2. y '> = 0, якщо -x ^ 2 + 1> = 0rArrx ^ 2 <= 1rArr-1 <= x <= 1. Отже, наша функція зменшується в [-2, -1) і в (1,2] і зростає в (-1,1), і тому точка A (-1-1) є локальним мінімумом, а точка B (1,1) - локальний максимум, тепер знайдемо ординату точок на екстремумах інтервалу: y (-2) = - 4 / 5rArrC (-2, -4 / 5) y (2) = 4 / 5rAr Докладніше »

Мінімальна точка в (1 / e, -1 / e) задана f (x) = x * ln x отримує першу похідну f '(x), потім прирівнюється до нуля. f '(x) = x * (1 / x) + ln x * 1 = 0 1 + ln x = 0 ln x = -1 e ^ -1 = xx = 1 / e Вирішення для f (x) при x = 1 / ef (x) = (1 / e) * ln (1 / e) f (x) = (1 / e) * (- 1) f (x) = - 1 / e, так що точка (1 / e) , -1 / e) знаходиться в 4-му квадранті, що є мінімальною точкою. Докладніше »

(ln (x ^ 4) +4) / (2sqrt (xln (x ^ 4))) Давайте перепишемо його як: [(xln (x ^ 4)) ^ (1/2)] 'Тепер ми повинні виводити з зовні всередині, використовуючи правило ланцюга. 1/2 [xln (x ^ 4)] ^ (- 1/2) * [xln (x ^ 4)] 'Тут ми отримали похідну добутку 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [(x ') ln (x ^ 4) + x (ln (x ^ 4))'] 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [1 * ln (x ^ 4) + x (1 / x ^ 4 * 4x ^ 3)] Використовуючи базову алгебру, щоб отримати напівпріменену версію: 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [ ln (x ^ 4) +4] І ми отримуємо рішення: (ln (x ^ 4) +4) / (2sqrt (xln (x ^ 4))) До речі, ви навіть можете переписати початкову про Докладніше »

Функція відстані: D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) Давайте маніпулювати цим. = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2 (Deltax) ^ 2) = sqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2) Deltax Оскільки антидереватив є в основному невизначений інтеграл, це стає нескінченною сумою нескінченно малих dx: = sumsqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2) Deltax = int sqrt (1 + ((dy) / (dx)) ^ 2) dx яка є формулою довжини дуги будь-якої функції, яку можна керувати після маніпуляції. Докладніше »

Мені здається простіше спочатку подумати про це поглядом на похідну. Я маю на увазі: що, після диференціації, призведе до константи? Звичайно, змінна першого ступеня. Наприклад, якщо ваша диференціація призвела до f '(x) = 5, то очевидно, що антидереватив є F (x) = 5x Отже, антидериватив константи - це крапка змінної (чи то x, y, і т.д.) .) Ми могли б поставити це так, математично: intcdx <=> cx Зауважимо, що c мутілінгує 1 в інтегралі: intcolor (зелений) (1) * cdx <=> cx Це означає, що перша змінна ступеня диференційована: f (x ) = x ^ колір (зелений) (1), потім f '(x) = колір (зелений) 1 * x ^ (1-1) = Докладніше »

L = 3 / 4pisqrt (pi ^ 2 + 1) + 3 / 4ln (pi + sqrt (pi ^ 2 + 1)) одиниць. > r = 3 / 4тета r ^ 2 = 9 / 16тета ^ 2 r '= 3/4 (r') ^ 2 = 9/16 Тривалість арки задається: L = int_-pi ^ pisqrt (9 / 16тета ^ 2 + 9/16) d theta Спрощення: L = 3 / 4int_-pi ^ pisqrt (тета ^ 2 + 1) d тета З симетрії: L = 3 / 2int_0 ^ pisqrt (тета ^ 2 + 1) d theta Застосування заміни theta = tanphi: L = 3 / 2intsec ^ 3phidphi Це відомий інтеграл: L = 3/4 [secphitanphi + ln | secphi + tanphi |] Зворотне заміщення: L = 3/4 [thetasqrt (тета ^ 2 + 1) + ln | theta + sqrt (тета ^ 2 + 1) |] _0 ^ pi Вставте межі інтеграції: L = 3 / 4pisqrt (pi ^ 2 + 1 Докладніше »

Прибл. 27,879 Це метод методу. Робота деяких робіт виконана комп'ютером. Довжина дуги s = int точка s dt і точка s = sqrt (vec v * vec v) Тепер для vec r = 4 тета r vec v = точка r hat r + r точка theta капелюх theta = 4 точка theta капелюх r + 4 тета точка theta = 4 крапки тета (капелюх r + тета) Тонта s = 4 крапки тета sqrt (1 + тета ^ 2) довжина дуги s = 4 int_ (t_1) ^ (t_2) ) sqrt (1 + тета ^ 2) dot theta dt = 4 int _ (- pi / 4) ^ (pi) sqrt (1 + тета ^ 2) d тета = 2 [тета sqrt (тета ^ 2 + 1) + sinh ^ (- 1) тета] _ (- pi / 4) ^ (pi) комп'ютерне рішення. Див. Youtube пов'язаний тут для методу приблизно 27.879 Докладніше »

Довжина дуги ~~ 2.42533 (5dp) Довжина дуги є негативною, оскільки нижня межа 1 більша за верхню межу ln2 Ми маємо параметричну векторну функцію, задану: bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >> Для обчислення довжини дуги будемо вимагати векторну похідну, яку ми можемо обчислити, використовуючи правило продукту: bb ul r '(t) = << (t) (2te ^ (t ^ 2)) + (1) (e ^ (t ^ 2)), (t ^ 2) (e ^ t) + (2t) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >> >> << 2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t ^ 2 >> Далі обчислюємо величину похідного вектора: | bb ul r '(t) | = sqrt ((2t ^ Докладніше »

Sqrt (3) Ми шукаємо довжину дуги векторної функції: bb (ul r (t)) = << t, t, t >> для t in [1,2], яку ми можемо легко оцінити, використовуючи: L = int_alpha ^ бета || bb (ul (r ') (t)) || dt Отже, обчислимо похідну, bb (ul (r ') (t)): bb (ul r' (t)) = << 1,1,1 >> Таким чином ми отримуємо довжину дуги: L = int_1 ^ 2 || << 1,1,1 >> || dt = int_1 ^ 2 sqrt (1 ^ 1 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt = int_1 ^ 2 sqrt (3) dt = [sqrt (3) t] _1 ^ 2 = sqrt (3) (2-1) = sqrt (3) Цей тривіальний результат не повинен викликати подив, оскільки дане початкове рівняння є прямим. Докладніше »

V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = pi (85 + 1/3) Для того, щоб обчислити цей обсяг, ми в якомусь сенсі будемо розрізати його на (нескінченно тонкі) скибочки. Ми уявляємо регіон, щоб допомогти нам у цьому, я додав графік, де область є частиною під кривою. Зазначимо, що y = x ^ 2-1 перетинає лінію x = 5, де y = 24 і що вона перетинає пряму y = 0, де x = 1 графік {x ^ 2-1 [1, 5, -1, 24] } При різанні цієї області горизонтальними зрізами з висотою dy (дуже невелика висота). Довжина цих зрізів сильно залежить від координати y. для обчислення цієї довжини потрібно знати відстань від точки (y, x) на прямій y = x ^ 2-1 до т Докладніше »

Dy / dx = (7 * t ^ (4/3)) / 3 + 4 / (3 * t ^ (2/3) Помножте корінь куба t у дужках, отримаємо y = (t ^ (2 + 1) / 3)) + 4 * t ^ (1/3) Це дає нам y = t ^ (7/3) + 4t ^ (1/3) При диференціюванні отримуємо dy / dx = (7 * t ^ (4) / 3)) / 3 + (4 * t ^ (- 2/3)) / 3 Що дає, dy / dx = (7 * t ^ (4/3)) / 3 + 4 / (3 * t ^ ( 2/3) Докладніше »

Середнє значення f на [a, b] дорівнює 1 / (b-a) int_a ^ b f (x) dx. Для даної задачі це 1 / (10-0) int_0 ^ 10 (18x + 8) dx = 1/10 [9x ^ 2 + 8x] _0 ^ 10 = 1/10 [980] = 98. Докладніше »

Середнє значення 4948/5 = 989,6 Середнє значення f на інтервалі [a, b] дорівнює 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Таким чином ми отримуємо: 1 / (2-0) int_0 ^ 2 2x ^ 3 (x ^ 2 + 1) ^ 4 dx = 2/2 int_0 ^ 2 x ^ 3 (x ^ 8 + 4x ^ 6 + 10x ^ 4 + 4x ^ 2 + 1) dx = int_0 ^ 2 (x ^ 11 + 4x ^ 9 + 10x ^ 7 + 4x ^ 5 + x ^ 3) dx = x ^ 12/12 + (4x ^ 10) / 10 + (6x ^ 8) / 8 + (4x ^ 6) / 6 + x ^ 4/4] _0 ^ 2 = (2) ^ 12/12 + (2 (2) ^ 10) / 5 + (3 (2) ^ 8) / 4 + (2 (2) ^ 6) / 3 + ( 2) ^ 4/4 = 4948/5 = 9896/10 = 989,6 Докладніше »

1 / 2sin (2), приблизно 0.4546487 Середня величина c функції f на інтервалі [a, b] задається як: c = 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Тут, це перетворюється в середнє Значення: c = 1 / (0 - (- 4)) int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx Давайте використовуємо підстановку u = x / 2. Це означає, що du = 1 / 2dx. Потім ми можемо переписати інтеграл як такий: c = 1 / 4int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx c = 1 / 2int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) (1 / 2dx) Розщеплення 1 / 4 в 1/2 * 1/2 дозволяє 1 / 2dx бути присутнім в інтегралі, тому ми можемо легко зробити заміну 1 / 2dx = du. Необхідно також змінити межі в межі u, а не x. Щоб зробити це, візьміть поточн Докладніше »

Середнє значення 16/3 Середнє значення функції f на інтервалі [a, b] дорівнює 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Таким чином, ми шукаємо значення 1 / (5-1) int_1 ^ 5 (x-1) ^ 2 dx = 1/4 [(x-1) ^ 3/3] _1 ^ 5 = 1/12 [(4) ^ 3- (0) ^ 3] = 16/3 Докладніше »

Це (4 (sqrt2-1)) / pi Середня величина функції f на інтервалі [a, b] дорівнює 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Отже, ми шукаємо значення 1 / (pi) / 4-0) int_0 ^ (pi / 4) secxtanx dx = 4 / pi [secx] _0 ^ (pi / 4) = 4 / pi [sec (pi / 4) -sec (0)] = 4 / pi [ sqrt2-1] = (4 (sqrt2-1)) / pi Докладніше »

Середнє значення f на [a, b] дорівнює 1 / (b-a) int_a ^ b f (x) dx. Для цієї функції на цьому інтервалі, я отримую -1/3 Ave = 1 / (2-0) int_0 ^ 2 (xx ^ 2) dx = 1/2 [x ^ 2/2-x ^ 3/3] _0 ^ 2 = 1/2 [(4 / 2-8 / 3) - (0)] = 1/2 (-2/3) = -1/3 Докладніше »

Дивись нижче. Середнє значення: 1 / (sqrtpi-0) int_0 ^ sqrtpi 10xsin (x ^ 2) dx = 5 / sqrtpiint_0 ^ sqrtpi 2xsin (x ^ 2) dx = 5 / sqrtpi [-cos (x ^ 2)] _ 0 ^ sqrtpi = 12 / sqrtpi Педантична нота (12sqrtpi) / pi НЕ має раціонального знаменника. Докладніше »

Візьмемо інтеграл int_1 ^ ooxe ^ -xdx, який є кінцевим, і зауважимо, що він обмежує сума_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n). Тому вона сходяться, тому sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) також є. Формальне твердження інтегрального тесту говорить, що якщо fin [0, oo) rightarrowRR монотонна функція зменшення, яка є неотрицательной. Тоді сума sum_ (n = 0) ^ oof (n) є конвергентною тоді і тільки тоді, коли "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx скінченна. (Tau, Terence. Аналіз I, друге видання. Hindustan book agency. 2009). Це твердження може здатися трохи технічним, але ідея полягає в наступному. Беручи в цьому випадку функцію f (x) Докладніше »

D) f (x) = x ^ 3, c = 3 Визначення похідної функції f (x) в точці c можна записати: lim_ (h-> 0) (f (c + h) -f (c)) / h У нашому випадку ми можемо бачити, що маємо (3 + h) ^ 3, тому можна припустити, що функція x ^ 3, і що c = 3. Цю гіпотезу можна перевірити, якщо записати 27 як 3 ^ 3: lim_ (h-> 0) ((3 + h) ^ 3-27) / h = lim_ (h-> 0) ((3 + h) ^ 3 -3 ^ 3) / h Ми бачимо, що якщо c = 3, то отримаємо: lim_ (h-> 0) ((c + h) ^ 3-c ^ 3) / h І ми бачимо, що функція просто значення в кубі в обох випадках, так що функція повинна бути f (x) = x ^ 3: lim_ (h-> 0) ((текст (///)) ^ 3- (текст (//)) ^ 3) / год Докладніше »

B) f (x) = cos (x), c = pi / 6 Ми знаємо: cos (pi / 6) = sqrt3 / 2 Це означає, що ми можемо переписати ліміт так: lim_ (h-> 0) (cos ( pi / 6 + h) -cos (pi / 6)) / h Враховуючи визначення похідної функції f (x) в точці c: lim_ (h-> 0) (f (c + h) -f (c)) / h Розумним припущенням є те, що c = pi / 6, і використовуючи його, можна побачити, що входи до функції косинуса збігаються з входами до f (x) у визначенні: lim_ (h- > 0) (cos (колір (червоний) (c + h)) - cos (колір (червоний) (c))) / h Це означає, що якщо c = pi / 6, то f (x) = cos (x) ). Докладніше »

Int (1-sin ^ 2 (x)) / sin ^ 2 (x) dx = -cot (x) -x + C Ми можемо спочатку розділити фракцію на дві: int (1-sin ^ 2 (x) )) / sin ^ 2 (x) dx = int 1 / sin ^ 2 (x) -сін ^ 2 (x) / sin ^ 2 (x) dx = = int 1 / sin ^ 2 (x) -1 dx = int 1 / sin ^ 2 (x) dx-x Тепер ми можемо використовувати наступну ідентичність: 1 / sin (тета) = csc (тета) int csc ^ 2 (x) dx-x Ми знаємо, що похідна cot (x) є -csc ^ 2 (x), тому ми можемо додати знак мінуса як зовні, так і всередині інтегралу (отже, вони скасовують), щоб розробити: -int t x) dx-x = -cot (x) -x + C Докладніше »

Sinh (1/2) ~~ 0.52 Ми знаємо визначення для sinh (x): sinh (x) = (e ^ xe ^ -x) / 2 Оскільки ми знаємо ряд Маклорена для e ^ x, ми можемо використовувати його для побудувати один для sinh (x). e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) ... Ми можемо знайти серію для e ^ - x шляхом заміни x на -x: e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo (-x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n / (n !) x ^ n = 1-x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3!) ... Ми можемо відняти ці два один від одного, щоб знайти чисельник визначення sinh: колір (білий) (- e ^ -x.) e ^ x = колір (білий) (....) 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) + x ^ 4 / (4!) + x ^ Докладніше »

Dy / dx = 5 (5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 4-3 (4 + x) ^ 5 (5-x) ^ 2 y = (5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 5 dy / dx = d / dx [(5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 5] колір (білий) (dy / dx) = (5-x) ^ 3d / dx [(4 + x) ^ 5] + (4 + x) ^ 5d / dx [(5-x) ^ 3] колір (білий) (dy / dx) = (5-x) ^ 3 (5 * (4 + x) ^ (5- 1) * d / dx [4 + x]) + (4 + x) ^ 5 (3 * (5-x) ^ (3-1) * d / dx [5-x]) колір (білий) / dx) = (5-x) ^ 3 (5 (4 + x) ^ 4 (1)) + (4 + x) ^ 5 (3 (5-x) ^ 2 (-1)) колір (білий) (dy / dx) = 5 (5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 4-3 (4 + x) ^ 5 (5-x) ^ 2 Докладніше »

Dy / dx = 3 / (sqrt (16 - (9x ^ 2))) Необхідно використовувати правило ланцюга. Нагадаємо, що формула для цього є: f (g (x)) '= f' (g (x)) * g '(x) Ідея полягає в тому, що ви берете похідну від зовнішньої функції, а потім просто працюєте шлях всередині. Перш ніж почати, визначимо всі наші функції в цьому вираженні. Ми маємо: arcsin (x) (3x) / 4 arcsin (x) - зовнішня функція, тому ми почнемо, приймаючи похідну від цього. Отже: dy / dx = колір (синій) (d / dx [arcsin (3x / 4)] = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2))) Зверніть увагу, як ми все ще зберігаємо ((3x) / 4). Пам'ятайте, що при використанні ланцюгового пра Докладніше »

Int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C Почнемо з u-заміщення з u = ln (x). Потім ми ділимо на похідну від u, щоб інтегрувати по u: (du) / dx = 1 / x int _ x ln (x) dx = int x * x ^ u t x в термінах u: u = ln (x) x = e ^ u int x * x ^ u d = int e ^ u * (e ^ u) ^ u d = int t 2 + u) du Ви можете здогадатися, що це не має елементарної анти-похідної, і ви б мали рацію. Проте ми можемо використовувати форму для уявної функції помилки, erfi (x): erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx Щоб отримати наш інтеграл у цю форму, ми можемо мати тільки одну квадратну змінну. в експоненті e, тому нам необхідно зап Докладніше »

Дивись нижче. Розглядаючи abs x <1 sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (- x) ^ n, але sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 та d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3, потім sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1) ) ^ 3 Докладніше »

Int sinh (x) / (1 + cosh (x)) dx = ln (1 + cosh (x)) + C Почнемо з введення u-заміни з u = 1 + cosh (x). Похідна від u є sinh (x), тому ми ділимо через sinh (x) на інтеграцію по u: int sinh (x) / (1 + cosh (x)) dx = int t (x)) / (анулювати (sinh (x)) * u) du = int 1 / u Ду Цей інтеграл є загальним інтегралом: int 1 / t dt = ln | t | + C Це робить наш Інтеграл: ln | u | + C Ми можемо повторно замінити, щоб отримати: ln (1 + cosh (x)) + C, що є остаточним відповіддю. Ми видалимо абсолютне значення з логарифму, оскільки відзначимо, що cosh є позитивним у своєму домені, тому це не потрібно. Докладніше »

4 = lim_ {n-> oo} (3 / n ^ 3) [sum_ {i = 1} ^ {i = n} i ^ 2] + (3 / n) [sum_ {i = 1} ^ {i = n} 1] "(формула Фолхабера)" = lim_ {n-> oo} (3 / n ^ 3) [(n (n + 1) (2n + 1)) / 6] + (3 / n) [n ] = lim_ {n-> oo} (3 / n ^ 3) [n ^ 3/3 + n ^ 2/2 + n / 6] + (3 / n) [n] = lim_ {n-> oo} [1 + ((3/2)) / n + ((1/2)) / n ^ 2 + 3] = lim_ {n-> oo} [1 + 0 + 0 + 3] = 4 Докладніше »

Дивись нижче. На жаль, функція всередині інтеграла не буде інтегруватися в те, що не може бути виражено через елементарні функції. Для цього потрібно використовувати чисельні методи. Я можу показати вам, як використовувати розширення серії, щоб отримати приблизне значення. Почніть з геометричного ряду: 1 / (1-r) = 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 ... = sum_ (n = 0) ^ або ^ n для rlt1 Тепер інтегруйте по відношенню до r і використовуючи межі 0 і x, щоб отримати це: int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + ... д.р. Інтеграція лівої сторони: int_0 ^ x1 / (1-r) dr = [- ln (1-r)] _ 0 ^ x = -ln (1-x) Тепер інтегрує Докладніше »

Ланцюг ланцюга: f '(g (x)) * g' (x) У диференціальному численні ми використовуємо правило ланцюга, коли ми маємо складену функцію. Вона говорить: Похідна буде дорівнювати похідній зовнішньої функції по відношенню до внутрішньої, разів похідної внутрішньої функції. Давайте подивимося, як це виглядає математично: Правило ланцюга: f '(g (x)) * g' (x) Припустимо, що ми маємо композитну функцію sin (5x). Ми знаємо: f (x) = sinx => f '(x) = cosx g (x) = 5x => g' (x) = 5 Отже, похідна буде дорівнює cos (5x) * 5 = 5cos (5x) ) Ми просто повинні знайти наші дві функції, знайти їх похідні і ввести в експ Докладніше »

Ми знаємо, що функцію можна апроксимувати цією формулою f (x) = sum_ {k = 0} ^ {n} frac {f ^ ((k)) (x_0)} {k!} (X-x_0) ^ k + R_n (x), де R_n (x) - залишок. І це працює, якщо f (x) виводиться n разів у x_0. Тепер припустимо, що n = 4, інакше для розрахунку похідних занадто складно. Розрахуємо для кожного k = 0 - 4 без урахування залишку. При k = 0 формула стає: frac {e ^ (2/0)} {0!} (X-0) ^ 0 І ми бачимо, що e ^ (2/0) undifiend, так що функція не може апроксимувати в x_0 = 0 Докладніше »

Ось підхід ... Давайте подивимося ... А лінійний у формі f (x) = mx + b, де m - нахил, x - змінна, а b - перехiд y. (Ви знали, що!) Ми можемо знайти увігнутість функції, знайшовши її подвійну похідну (f '' (x)) і де вона дорівнює нулю. Давайте зробимо це тоді! f (x) = mx + b => f '(x) = m * 1 * x ^ (1-1) +0 => f' (x) = m * 1 => f '(x) = m = > f '' (x) = 0 Отже, це говорить про те, що лінійні функції мають криву в кожній заданій точці. Знаючи, що графік лінійних функцій є прямою, це не має сенсу, так? Тому на графах лінійних функцій відсутня точка увігнутості. Докладніше »

Тому мені також потрібно використовувати ланцюгове правило на (x + 1) ^ 2 dy / dx = u'v + v'u u '= 2 (x + 1) * 1 v' = 2 u = (x + 1) ^ 2 v = (2x-1) підпорядкування в правило продукту. dy / dx = 2 (2x + 1) * (2x-1) + 2 (x + 1) ^ 2 dy / dx = 2 (4x ^ 2-1) + 2 (x ^ 2 + 2x + 1) dy / dx = 8x ^ 2-2 + 2x ^ 2 + 4x + 2 dy / dx = 10x ^ 2 + 4x Докладніше »

.Я вважаю, що це не стандартизовано. Будучи студентом університету в США в 1975 році, ми використовуємо Calculus від Earl Swokowski (перше видання). Його визначення: Точка P (c, f (c)) на графіку функції f є точкою перегину, якщо існує відкритий інтервал (a, b), що містить c, так що виконуються наступні відносини: (i) колір (білий) (') "" f' '(x)> 0, якщо a <x <c і f' '(x) <0, якщо c <x <b; або (ii) "f" (x) <0, якщо a <x <c і f '(x)> 0, якщо c <x <b. У підручнику, який я використовую для навчання, я думаю, що Стюарт доцільно включити умову, що Докладніше »

Dy / dx = e ^ x (cosx + sinx) dy / dx = cosx xx e ^ x + e ^ x x x sinx dy / dx = e ^ x (cosx + sinx) Докладніше »

Похідна 10x відносно x дорівнює 10. Нехай y = 10x диференціює y відносно x. (dy) / (dx) = d / (dx) (10x) (dy) / (dx) = xd / (dx) (10) + 10d / (dx) (x) [sinced / (dx) (uv) = ud / (dx) v + vd / (dx) u] (dy) / (dx) = x (0) +10 (1) [d / (dx) (const) = 0; d / (dx) ( x) = 1] (dy) / (dx) = 10 Похідна 10x відносно x дорівнює 10. Докладніше »

Існує правило для диференціювання цих функцій (d) / (dx) [a ^ u] = (ln a) * (a ^ u) * (du) / (dx) Зверніть увагу, що для нашої задачі a = 10 і u = x так що давайте підключаємо те, що ми знаємо. (d) / (dx) [10 ^ x] = (ln 10) * (10 ^ x) * (du) / (dx), якщо u = x, то (du) / (dx) = 1 через потужність правило: (d) / (dx) [x ^ n] = n * x ^ (n-1) так, повернемося до нашої задачі, (d) / (dx) [10 ^ x] = (ln 10) * ( 10 ^ x) * (1), що спрощує до (d) / (dx) [10 ^ x] = (ln 10) * (10 ^ x) Це буде працювати так само, якщо u було щось більш складне, ніж x. Багато обчислень стосується здатності відносити дану проблему до одного з правил ди Докладніше »

D / dx2 ^ (sin (pix)) = 2 ^ (sin (pix)) * ln2 * cospix * (pi) Використовуючи наступні стандартні правила диференціації: d / dxa ^ (u (x)) = a ^ u * lna * (du) / dx d / dx sinu (x) = cosu (x) * (du) / dx d / dxax ^ n = nax ^ (n-1) Отримуємо наступний результат: d / dx2 ^ (гріх) (pix)) = 2 ^ (sin (pix)) * ln2 * cospix * (пі) Докладніше »

(d (2pir)) / (dr) колір (білий) ("XXX") = 2pi (dr) / (dr) за правилом постійного для кольору похідних (білий) ("XXX") = 2pi ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ x) = c * g (x) для деякої постійної c, тоді f '(x) = c * g' (x) У цьому випадку f (r) = 2pir; c = 2pi, g (r) = r Докладніше »

D / (dx) (- 4 / x ^ 2) = 8x ^ (- 3) Дано, -4 / x ^ 2 Перепишіть вираз, використовуючи позначення (dy) / (dx). d / (dx) (- 4 / x ^ 2) Розбийте дробу. = d / (dx) (- 4 * 1 / x ^ 2) Використовуючи множення на постійне правило, (c * f) '= c * f', виведіть -4. = -4 * d / (dx) (1 / x ^ 2) Перепишіть 1 / x ^ 2 за допомогою показників. = -4 * d / (dx) (x ^ -2) Використовуючи правило потужності, d / (dx) (x ^ n) = n * x ^ (n-1), вираз стає, = -4 * - 2x ^ (- 2-1) Спрощення. = колір (зелений) (| bar (ul (колір (білий) (a / a) колір (чорний) (8x ^ -3) колір (білий) (a / a) |))) Докладніше »

D / (dx) (5 + 6 / x + 3 / x ^ 2) = - 6 / x ^ 2-6 / x ^ 3 Найлегше мислити в термінах форми експонента і використовувати правило влади: d / (dx) x ^ n = nx ^ (n-1) наступним чином: d / (dx) (5 + 6 / x + 3 / x ^ 2) = d / (dx) (5 + 6x ^ (- 1 ) + 3x ^ (- 2)) = 0 + 6 ((- 1) x ^ (- 2)) + 3 ((- 2) x ^ (- 3)) = -6x ^ (- 2) -6x ^ (-3) = -6 / x ^ 2-6 / x ^ 3 Докладніше »

Тепер правило потужності для диференціювання: d / (dx) (ax ^ n) = anx ^ (n-1): .d / (dx) (- 5x) = d / (dx) (- 5x ^ 1 ) = -5xx1xx x ^ (1-1), використовуючи правило потужності = -5x ^ 0 = -5, якщо використовувати визначення (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (f (x + h) -f (x)) / h маємо (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5 (x + h) - -5x) / h (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5x-5h + 5x) / h (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5h) / h (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5) = - 5 як і раніше Докладніше »

D / dx | u | = u / | u | * (du) / dx функція абсолютної величини, як y = | може бути записано так: y = sqrt ((x-2) ^ 2) застосовується диференціювання: y '= (2 (x-2)) / (2sqrt ((x-2) ^ 2)) rarrpower правило спрощує, y '= (x-2) / | де x! = 2, так що взагалі d / dxu = u / | u | * (du) / dx я поставлю це на подвійну перевірку тільки щоб бути впевненим. Докладніше »

Я припускаю, що ви звертаєтеся до рівносторонньої гіперболи, оскільки це єдина гіпербола, яка може бути виражена як реальна функція однієї реальної змінної. Функція визначається f (x) = 1 / x. За визначенням, для всієї x в (-інфти, 0) чашці (0, + infty) похідна: f '(x) = lim_ {h до 0} {f (x + h) -f (x)} / { h} = lim_ {h до 0} {1 / {x + h} -1 / x} / {h} = lim_ {h до 0} {{x- (x + h)} / {(x + h) x}} / {h} = lim_ {h до 0} {- h} / {xh (x + h)} = lim_ {h до 0} {- 1} / {x ^ 2 + hx} = - 1 / x ^ 2 Це також може бути отримано за допомогою наступного правила виведення для всієї альфа ne 1: (x ^ alpha) '= alpha x ^ {alpha-1}. Докладніше »

5 Не зовсім впевнений у вашій нотації. Я інтерпретую це як: f (x) = 5x Похідне: d / dx 5x = 5 Це виходить за допомогою правила потужності: d / dx x ^ n = n * x ^ (n-1) З прикладу: d / dx 5x ^ 1 = (1) * 5x ^ (1-1) = 5 * x ^ 0 = 5 * 1 = 5 Докладніше »

Сторонній коментар починається з: позначення cos ^ -1 для зворотної косинусної функції (більш явно, обернена функція обмеження косинуса на [0, pi]) широко поширена, але вводить в оману. Дійсно, стандартна умова для показників при використанні тригерних функцій (наприклад, cos ^ 2 x: = (cos x) ^ 2 говорить про те, що cos ^ (- 1) x є (cos x) ^ (- 1) = 1 / (cos Звичайно, це не так, але позначення дуже вводить в оману. Альтернативна (і зазвичай використовується) позначення arccos x набагато краще.Тепер для похідної.Це композит, тому ми будемо використовувати правило ланцюга. буде потрібно (x ^ 3) '= 3x ^ 2 і (arccos x)' Докладніше »

F '(x) = - 1 / (xsqrt (1-x ^ 2)) - (cos ^ -1x) / x ^ 2 Використовуючи коефіцієнт коефіцієнта, який є y = f (x) / g (x), потім y '= (f' (x) g (x) f (x) g '(x)) / (g (x)) ^ 2 Застосовуючи це для заданої задачі, яка є f (x) = (cos ^ -1x) ) / x f '(x) = ((cos ^ -1x)' (x) - (cos ^ -1x) (x) ') / x ^ 2 f' (x) = (- 1 / sqrt (1- x ^ 2) * x-cos ^ -1x) / x ^ 2 f '(x) = - 1 / (xsqrt (1-x ^ 2)) - (cos ^ -1x) / x ^ 2, де -1 Докладніше »

За неявним диференціацією, f '(x) = - 1 / {1 + x ^ 2} Розглянемо деякі деталі. Замінюючи f (x) на y, y = cot ^ {- 1} x, переписуючи в термінах котангенс, Rightarrow coty = x неявно диференціюючи відносно x, Rightarrow -csc ^ 2ycdot {dy} / {dx} = 1 шляхом ділення на -csc ^ 2y, Rightarrow {dy} / {dx} = - 1 / {csc ^ 2y} на ідентифікацію тригера csc ^ 2y = 1 + cot ^ 2y = 1 + x ^ 2, Rightarrow {dy} / {dx} = - 1 / {1 + x ^ 2} Отже, f '(x) = - 1 / {1 + x ^ 2} Докладніше »

Dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) Процес: 1.) y = "arccsc" (x) Спочатку ми перепишемо рівняння у формі, з якою легше працювати. Візьміть косекант обох сторін: 2.) csc y = x Перепишіть в термінах синуса: 3.) 1 / siny = x Вирішіть для y: 4.) 1 = xsin y 5.) 1 / x = sin y 6. ) y = arcsin (1 / x) Тепер прийняття похідної має бути простішим. Тепер це лише питання правила ланцюга. Ми знаємо, що d / dx [arcsin alpha] = 1 / sqrt (1 - alpha ^ 2) (тут існує доказ цієї ідентичності) Отже, візьмемо похідну зовнішньої функції, потім помножимо на похідну 1 / x: 7.) dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx [1 / x] Похідн Докладніше »

F '(x) = e ^ (4x) / ln10 (4ln (1-x) -1 / (1-x)) Пояснення: f (x) = e ^ (4x) (log (1 x) Перетворення з базу 10 до ef (x) = e ^ (4x) nln (1-x) / ln10 Використовуючи правило продукту, яке є y = f (x) * g (x) y '= f (x) * g' ( x) + f '(x) * g (x) Аналогічно для даної задачі, f' (x) = e ^ (4x) / ln10 * 1 / (1-x) (- 1) + ln (1 ) x) / ln10 * e ^ (4x) * (4) f '(x) = e ^ (4x) / ln10 (4ln (1-x) -1 / (1-x)) Докладніше »

-tan (x) / ln (2) f (x) = log_2 (cos (x)) = ln (cos (x)) / ln (2) 1 / ln (2) є просто константою і може бути проігноровано. (ln (u)) '= (u') / uu = cos (x), u '= - sin (x) f' (x) = 1 / ln (2) * (- sin (x)) / cos (x) = - tan (x) / ln (2) Докладніше »

У f (x) = ln (cos (x)) ми маємо функцію функції (це не множення, просто кажучи), тому для похідних потрібно використовувати правило ланцюга: d / dx (f (g ( x)) = f '(g (x)) * g' (x) Для цієї задачі, з f (x) = ln (x) і g (x) = cos (x), маємо f '(x) = 1 / x і g '(x) = - sin (x), потім підключаємо g (x) у формулу для f' (*). D / dx (ln (cos (x))) = 1 / ( cos (x)) * d / dx (cos (x)) = (1) / (cos (x)) * (- sin (x)) = (- sin (x)) / cos (x) = - tan (x) Це варто пам'ятати для пізніше, коли ви дізнаєтеся про інтеграли! t Докладніше »

По-перше, перепишемо функцію в термінах натуральних логарифмів, використовуючи правило зміни бази: f (x) = ln (e ^ x + 3) / ln4 Диференціювання вимагатиме використання ланцюгового правила: d / dx f (x) = 1 / ln 4 * d / (d (e ^ x + 3)) [ln (e ^ x + 3)] * d / dx [e ^ x + 3] Ми знаємо, що з похідної ln x по x дорівнює 1 / x, тоді похідна ln (e ^ x + 3) відносно e ^ x + 3 буде 1 / (e ^ x + 3). Також відомо, що похідна e ^ x + 3 відносно x буде просто e ^ x: d / dx f (x) = 1 / ln 4 * 1 / (e ^ x + 3) * (e ^ x) ) Спрощення виходу: d / dx f (x) = (e ^ x) / (ln 4 (e ^ x + 3)) Докладніше »

F '(x) = e ^ x / (e ^ x + 3) рішення Давайте y = ln (f (x)) Диференціюючи відносно x, використовуючи правило Chain, отримуємо, y' = 1 / f (x) * f '(x) Аналогічно, для даної задачі випливає, що f' (x) = 1 / (e ^ x + 3) * e ^ x f '(x) = e ^ x / (e ^ x + 3) Докладніше »

Сторонній коментар для початку: позначення sin ^ -1 для зворотної синусоїди (більш явно, зворотна функція обмеження синуса на [-pi / 2, pi / 2]) широко поширена, але вводить в оману. Дійсно, стандартна умова для показників при використанні тригерних функцій (наприклад, sin ^ 2 x: = (sin x) ^ 2 припускає, що sin ^ (- 1) x є (sin x) ^ (- 1) = 1 / (гріх) Звичайно, це не так, але позначення дуже вводить в оману. Альтернативна (і зазвичай використовується) позначення arcsin x набагато краще.Тепер для похідної.Це композит, тому ми будемо використовувати правило ланцюга. буде потрібно (ln x) '= 1 / x (див. числення логарифмів Докладніше »

F '(x) = 2 (cosec2x) Рішення f (x) = ln (tan (x)) Почнемо з загального прикладу, припустимо, що y = f (g (x)), то, використовуючи правило Chain, y' = f '(g (x)) * g' (x) Аналогічно наступній задачі, f '(x) = 1 / tanx * sec ^ 2x f' (x) = cosx / sinx * 1 / (cos ^ 2x) f '(x) = 1 / (sinxcosx) для подальшого спрощення, ми множимо і ділимо на 2, f' (x) = 2 / (2sinxcosx) f '(x) = 2 / (sin2x) f' (x) = 2 (cosec2x) Докладніше »

Метод 1: Почнемо з використання правила зміни бази для переписування f (x) еквівалентно тому, що: f (x) = (lnx / ln6) ^ 2 Ми знаємо, що d / dx [ln x] = 1 / x . (якщо ця ідентичність виглядає незнайомою, перевірте деякі відео на цій сторінці для подальшого пояснення) Отже, ми застосуємо ланцюгове правило: f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * d / dx [ln x / ln 6] Похідна ln x / 6 буде 1 / (xln6): f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * 1 / (xln 6) Спрощення дає нам: f' (x) = (2lnx) / (x (ln6) ^ 2) Метод 2: Перше, що слід зазначити, полягає в тому, що тільки d / dx ln (x) = 1 / x, де ln = log_e. Іншими словами, тільки якщо основ Докладніше »

Я припускаю, що за допомогою журналу ви мали на увазі логарифм з базою 10. Не повинно бути питання в будь-якому випадку, оскільки логіка відноситься до інших баз, а також. Спочатку буде застосовано правило зміни бази: f (x) = y = ln (x ^ 2 + x) / ln (10) Ми можемо розглядати 1 / ln10 просто як константа, так що візьмемо похідну чисельник і застосовувати правило ланцюга: dy / dx = 1 / ln (10) * 1 / (x ^ 2 + x) * (2x + 1) Спростити біт: dy / dx = (2x + 1) / (ln ( 10) * (x ^ 2 + x)) Є наша похідна. Майте на увазі, беручи похідні логарифмів без бази e, це лише питання використання правила зміни бази для перетворення їх у натур Докладніше »

Похідна f '(x) = (1-logx) / x ^ 2. Це приклад Правила Коефіцієнта: Правило коефіцієнта. Факторне правило стверджує, що похідна функції f (x) = (u (x)) / (v (x)): f '(x) = (v (x) u' (x) -u (x) ) v '(x)) / (v (x)) ^ 2. Коротше кажучи, f '(x) = (vu'-uv') / v ^ 2, де u та v є функціями (зокрема, чисельник і знаменник вихідної функції f (x)). Для цього конкретного прикладу, ми хочемо, щоб u = logx і v = x. Тому u '= 1 / x та v' = 1. Підставляючи ці результати у факторне правило, знаходимо: f '(x) = (x xx 1 / x-logx xx 1) / x ^ 2 f' (x) = (1-logx) / x ^ 2. Докладніше »

За коефіцієнтом правила y '= {1 / x cdot x-lnx cdot 1} / {x ^ 2} = {1-lnx} / {x ^ 2} Цю проблему також можна вирішити за правилом продукту y' = f '(x) g (x) + f (x) g (x) Початкову функцію можна переписати за допомогою негативних показників. f (x) = ln (x) / x = ln (x) * x ^ -1 f '(x) = 1 / x * x ^ -1 + ln (x) * - 1x ^ -2 f' (x ) = 1 / x * 1 / x + ln (x) * - 1 / x ^ 2 f '(x) = 1 / x ^ 2-ln (x) / x ^ 2 f' (x) = (1- ln (x)) / x ^ 2 Докладніше »

D / dx [sec ^ -1x] = 1 / (sqrt (x ^ 4 - x ^ 2)) Процес: По-перше, ми зробимо рівняння трохи простішим. Візьміть секунду з обох сторін: y = sec ^ -1 x sec y = x Далі, перепишіть у термінах cos: 1 / cos y = x І вирішите для y: 1 = xcosy 1 / x = cosy y = arccos (1 / x) Тепер це виглядає набагато простіше диференціювати. Ми знаємо, що d / dx [arccos (alpha)] = -1 / (sqrt (1-alpha ^ 2)), щоб ми могли використовувати цю ідентичність, а також правило ланцюга: dy / dx = -1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx [1 / x] Дещо спрощення: dy / dx = -1 / sqrt (1 - 1 / x ^ 2) * (-1 / x ^ 2) більше спрощення: dy / dx = 1 / (x ^ 2sqrt (1 - 1 / Докладніше »

Більшість людей пам'ятають цю f '(x) = 1 / {sqrt {1-x ^ 2}} як одну з похідних формул; однак, ви можете вивести це через неявну диференціацію. Виведемо похідну. Нехай y = sin ^ {- 1} x. Переписуючи в термінах синус, siny = x Через неявну диференціацію відносно x, cozy cdot {dy} / {dx} = 1 Розбиваючи на cozy, {dy} / {dx} = 1 / cozy За cozy = sqrt { 1-sin ^ 2y}, {dy} / {dx} = 1 / sqrt {1-sin ^ 2y} За сини = x, {dy} / {dx} = 1 / sqrt {1-x ^ 2} Докладніше »

Похідна для цього прикладу включає правило ланцюга і правило потужності. Перетворити квадратний корінь на експоненту. Потім застосуйте Правило потужності та Правило ланцюга. Потім спрощують і видаляють негативні показники. f (x) = sqrt (1 + ln (x)) f (x) = (1 + ln (x)) ^ (1/2) f '(x) = (1/2) (1 + ln (x )) ^ ((1/2) -1) * (0 + 1 / x) f '(x) = (1/2) (1 + ln (x)) ^ ((- 1/2)) * ( 1 / x) f '(x) = (1 / (2x)) (1 + ln (x)) ^ ((- 1/2)) f' (x) = 1 / (2xsqrt (1 + ln (x ))) Докладніше »

Здається, я пригадую, що мій професор забув, як це зробити. Це я показав йому: y = arctanx tany = x sec ^ 2y (dy) / (dx) = 1 (dy) / (dx) = 1 / (sec ^ 2y) Оскільки tany = x / 1 і sqrt (1) ^ 2 + x ^ 2) = sqrt (1 + x ^ 2), sec ^ 2y = (sqrt (1 + x ^ 2) / 1) ^ 2 = 1 + x ^ 2 => колір (синій) ((dy ) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2)) Я думаю, що спочатку він мав намір це зробити: (dy) / (dx) = 1 / (sec ^ 2y) sec ^ 2y = 1 + tan ^ 2y tan ^ 2y = x -> sec ^ 2y = 1 + x ^ 2 => (dy) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2) Докладніше »

F '(x) = 3x ^ 2-6x Потрібно правило суми (u + v + w)' = u '+ v' + w 'і що (x ^ n)' = nx ^ (n-1) отримуємо f '(x) = 3x ^ 2-6x Докладніше »

Коли ви диференціюєте експоненцію з базою, відмінною від e, використовуйте правило зміни бази для перетворення його в натуральні логарифми: f (x) = x * lnx / ln5 Тепер диференціюйте і застосовуйте правило продукту: d / dxf (x) = d / dx [x] * lnx / ln5 + x * d / dx [lnx / ln5] Ми знаємо, що похідна ln x дорівнює 1 / x. Якщо 1 / ln5 розглядати як константу, то можна звести вищенаведене рівняння до: d / dxf (x) = lnx / ln5 + x / (xln5) Спрощення виходу: d / dxf (x) = (lnx + 1) / ln5 Докладніше »

Функція f (x) = x * ln (x) має вигляд f (x) = g (x) * h (x), що робить його придатним для застосування правила продукту. Правило продукту говорить, що знайти похідну функції, яка є продуктом двох або більше функцій, використовує наступну формулу: f '(x) = g' (x) h (x) + g (x) h '(x) У нашому випадку ми можемо використовувати наступні значення для кожної функції: g (x) = xh (x) = ln (x) g '(x) = 1 h' (x) = 1 / x t Правило продукту, ми отримуємо остаточну відповідь: f '(x) = 1 * ln (x) + x * 1 / x = ln (x) + 1 Дізнайтеся більше про правило продукту тут. Докладніше »

(df) / dx = sqrt (1-x ^ 2) - x ^ 2 / (sqrt (1-x ^ 2)). Ми будемо вимагати використання двох правил: правила продукту і правила ланцюга. Правило продукту говорить, що: (d (fg)) / dx = (df) / dx * g (x) + f (x) * (dg) / dx. Правило ланцюга говорить, що: (dy) / dx = (dy) / (du) (du) / dx, де u - функція від x, а y - функція u. Отже, (df) / dx = (x) '* (sqrt (1-x ^ 2)) + x * (sqrt (1-x ^ 2))' Щоб знайти похідну від sqrt (1-x ^ 2) , використовуйте правило ланцюга, з u = 1-x ^ 2: (sqrtu) '= 1 / (2sqrtu) * u' = - (2x) / (2 (sqrt (1-x ^ 2)) = -x / (sqrt (1-x ^ 2)) Підставляючи цей результат у вихідне рівняння: (df) Докладніше »

G '(x) = 1-4 / (x ^ 2) Щоб знайти похідну від g (x), необхідно диференціювати кожний член у суму g' (x) = d / dx (x) + d / dx ( 4 / x) Легше бачити правило Power на другому члені, переписуючи його як g '(x) = d / dx (x) + d / dx (4x ^ -1) g' (x) = 1 + 4d / dx (x ^ -1) g '(x) = 1 + 4 (-1x ^ (- 1-1)) g' (x) = 1 + 4 (-x ^ (- 2)) g '( x) = 1 - 4x ^ -2 Нарешті, ви можете переписати цей новий другий член у вигляді дробу: g '(x) = 1-4 / (x ^ 2) Докладніше »

Ви можете розглядати i як будь-яку константу, подібну до Ст. Таким чином, похідна від i буде дорівнює 0. Однак, коли йдеться про комплексні числа, ми повинні бути обережні з тим, що можна сказати про функції, похідні та інтеграли. Візьмемо функцію f (z), де z - комплексне число (тобто, f має комплексну область). Тоді похідна від f визначається аналогічно реальному випадку: f ^ prime (z) = lim_ (h до 0) (f (z + h) -f (z)) / (h) де h зараз комплексне число. Бачачи, як про комплексні числа можна думати про те, що лежить в площині, називається комплексною площиною, ми маємо, що результат цього обмеження залежить від того, як м Докладніше »

(ln (2x)) '= 1 / (2x) * 2 = 1 / x. Ви використовуєте правило ланцюга: (f @ g) '(x) = (f (g (x)))' = f '(g (x)) * g' (x). У вашому випадку: (f @ g) (x) = ln (2x), f (x) = ln (x) і g (x) = 2x. Оскільки f '(x) = 1 / x і g' (x) = 2, то маємо: (f @ g) '(x) = (ln (2x))' = 1 / (2x) * 2 = 1 / x. Докладніше »

Розглядаючи функцію (лінійну): y = mx + b, де m і b є дійсними числами, похідна y 'цієї функції (щодо x): y' = m Ця функція, y = mx + b, представляє, графічно, пряму лінію і число m являє собою нахил лінії (або якщо потрібно нахил лінії). Як ви можете бачити, виведення лінійної функції y = mx + b дає m, нахил лінії якого є цілком заднім результатом, широко використовуваним у Calculus! В якості прикладу можна розглянути функцію: y = 4x + 5 можна вивести кожного фактора: похідна 4x 4 похідна від 5 дорівнює 0, а потім додати їх разом, щоб отримати: y '= 4 + 0 = 4 (Пам'ятайте, що похідна константи, k, дорівнює Докладніше »

Похідна pi * r ^ 2 (припускаючи, що це стосується r) - колір (білий) ("XXX") (d pir ^ 2) / (dr) = колір (червоний) (2pir) Загалом потужність правило диференціювання функції загального виду f (x) = c * x ^ a, де c - константа (df (x)) / (dx) = a * c * x ^ (a-1) У цьому випадку колір (білий) ("XXX") константа (c) має колір pi (білий) ("XXX"), показник (a) 2 кольору (білий) ("XXX"), і ми використовуємо r як нашу змінну, замість x Так колір (білий) ("XXX") (d (pir ^ 2)) / (dr) = 2 * pi * r ^ (2-1) колір (білий) ("XXXXXXX") = 2pir Докладніше »

Pi / 3 Будемо використовувати правило: d / dx (cx) = cd / dx (x) = c Іншими словами, похідна 5x дорівнює 5, похідна від -99x - -99, а похідна 5 / 7x - 5/7. Дана функція (pix) / 3 однакова: це константа pi / 3, помножена на змінну x. Таким чином, d / dx ((pix) / 3) = pi / 3d / dx (x) = pi / 3. Докладніше »

2 * cos (2x) Я б скористався ланцюговим правилом: спочатку виведіть гріх, а потім аргумент 2х, щоб отримати: cos (2x) * 2 Докладніше »

Попередня відповідь містить помилки. Ось правильне виведення. Перш за все, знак мінуса перед функцією f (x) = - sin (x), приймаючи похідну, міняє знак похідної функції f (x) = sin (x) до протилежного . Це легка теорема в теорії меж: межа постійної, помножена на змінну, дорівнює цій константі, помноженій на межу змінної. Отже, знайдемо похідну f (x) = sin (x), а потім помножимо її на -1. Потрібно починати з наступного твердження про межу тригонометричної функції f (x) = sin (x), оскільки її аргумент прагне до нуля: lim_ (h-> 0) sin (h) / h = 1 Доказ цього є чисто геометричний і заснований на визначенні функції sin (x).Іс Докладніше »

Відповідь 1 Якщо ви хочете, щоб часткові похідні f (x, y) = sin (x ^ 2y ^ 2), то вони: f_x (x, y) = 2xy ^ 2cos (x ^ 2y ^ 2) і f_y (x, y) = 2x ^ 2ycos (x ^ 2y ^ 2). Відповідь 2 Якщо ми розглядаємо y як функцію x і шукаємо d / (dx) (sin (x ^ 2y ^ 2)), то відповідь: d / (dx) (sin (x ^ 2y ^ 2) )) = [2xy ^ 2 + 2x ^ 2y (dy) / (dx)] cos (x ^ 2y ^ 2) Знайдіть це, використовуючи неявну диференціацію (правило ланцюга) і правило продукту. d / (dx) (sin (x ^ 2y ^ 2)) = [cos (x ^ 2y ^ 2)] * d / (dx) (x ^ 2y ^ 2) == [cos (x ^ 2y ^ 2) ] * [2xy ^ 2 + x ^ 2 2y (dy) / (dx)] = [2xy ^ 2 + 2x ^ 2y (dy) / (dx)] cos (x ^ 2y ^ 2) Докладніше »

Правило потужності: (dy) / (dx) [x ^ n] = n * x ^ (n-1) Правило влади + правило ланцюга: (dy) / (dx) [u ^ n] = n * u ^ (n -1) * (du) / (dx) Нехай u = 2x так (du) / (dx) = 2 Залишилося y = sqrt (u), яке можна переписати як y = u ^ (1/2) Тепер (dy) / (dx) можна знайти за допомогою правила потужності та правила ланцюга. Повернутися до нашої проблеми: (dy) / (dx) = 1/2 * u ^ (- 1/2) * (du) / (dx) підключення (du) / (dx) отримуємо: (dy) / ( dx) = 1/2 * u ^ (- 1/2) * (2) відомо, що: 2/2 = 1, отже, (dy) / (dx) = u ^ (- 1/2) Підключення значення для u ми знаходимо, що: (dy) / (dx) = 2x ^ (- 1/2) Докладніше »