Як інтегрувати int x ^ lnx?

Відповідь:

# ^ x ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #

Пояснення:

Почнемо з u-заміщення # u = ln (x) #. Потім ми ділимо на похідну від # u # інтегруватися до # u #:

# (du) / dx = 1 / x #

xint ln (x) dx = int x * x ^ u t

Тепер потрібно вирішити для # x # з точки зору # u #:

# u = ln (x) #

# x = e ^ u #

d = int e ^ u * (e ^ u) ^ u du = int e ^ (u ^ 2 + u) du # int t

Ви можете здогадатися, що це не має елементарної анти-похідної, і ви б мали рацію. Проте ми можемо використовувати форму для уявної функції помилки, #erfi (x) #:

#erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2)

Щоб отримати наш інтеграл у цю форму, ми можемо мати лише одну квадратичну змінну в експоненті # e #, тому нам потрібно завершити квадрат:

# u ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2 + k #

# u ^ 2 + u = u ^ 2 + u + 1/4 + k #

# k = -1 / 4 #

# u ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2-1 / 4 #

#int e ^ (u ^ 2 + u) du = int e ^ ((u + 1/2) ^ 2-1 / 4) du = e ^ (- 1/4) int e ^ ((u + 1/2) ^ 2)

Тепер можна ввести заміну u # t = u + 1/2 #. Похідна просто #1#, так що нам не потрібно робити нічого особливого для інтеграції # t #:

#e ^ (- 1/4) int e ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) * sqrtpi / 2int 2 / sqrtpie ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2 * erfi (t) + C #

Тепер ми можемо скасувати всі заміни, щоб отримати:

#e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (u + 1/2) + C = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #