Як інтегрувати int e ^ x sinx cosx dx?

Відповідь:

dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Пояснення:

Спочатку ми можемо використовувати ідентифікацію:

# 2sinthetacostheta = sin2x #

який дає:

ex xinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx #

Тепер ми можемо використовувати інтеграцію по частинах. Формула:

f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

Дозволю #f (x) = sin (2x) # і #g '(x) = e ^ x / 2 #. Застосовуючи формулу, отримуємо:

ex x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx #

Тепер ми можемо застосувати інтеграцію по частинах ще раз, на цей раз #f (x) = cos (2x) # і #g '(x) = e ^ x #:

ex x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2- (cos (2x) e ^ x-int -sin (2x) e ^ x dx) #

Exxin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x-2int sin (2x) e ^ x dx #

Тепер ми маємо інтеграл з обох сторін рівності, тому ми можемо вирішити його як рівняння. По-перше, ми додаємо 2 рази інтеграл до обох сторін:

Dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x + C #

Оскільки ми хотіли половину як коефіцієнт на початковому інтегралі, ми розділимо обидві сторони на #5#:

Dx = 1/5 (sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x) + C = #

# = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Відповідь:

# int e ^ x sinxcosx dx = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #

Пояснення:

Ми прагнемо:

# I = int e ^ x sinxcosx t

Який з використанням ідентичності:

# sin 2x - = 2sinxcosx #

Ми можемо написати як:

# I = 1/2 int e ^ x sin2x t

# I = 1/2

Де для зручності ми позначаємо:

# I_S = int e ^ x sin2x, і # I_C = int e ^ x cos2x dx #

Тепер ми ще раз виконуємо інтеграцію по частинах.

Дозволяє # {(u, = e ^ x, => (du) / dx, = e ^ x), ((dv) / dx, = cos2x, => v, = 1/2 sin2x):} #

Потім підключаємо формулу IBP:

# int (e ^ x) (cos2x) dx = (e ^ x) (1 / 2cos2x) - int (1 / 2sin2x) (e ^ x) dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 int e ^ x sin2x

#:. E ^ x sin2x - 1/2 I_S # ….. B

Тепер ми маємо два одночасних рівняння в двох невідомих # I_S #. і # I_C #, таким чином, замінюючи B на A, ми маємо:

# I_S = -1/2 e ^ x cos2x + 1/2 {1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S} #

E ^ x cos2x + 1/4 e ^ x sin2x - 1/4 I_S #

#:. 5 / 4I_S = 1/4 e ^ x2 x2 -1/2 e ^ x cos2x #

#:. I_S = 4/5 (1/4 e ^ x sin2x -1/2) e ^ x cos2x} #

Призводить до:

I_S + C #

# 2/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} + C #

# 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #