Доведіть: sqrt ((1-cosx) / (1 + cosx)) + sqrt ((1 + cosx) / (1-cosx)) = 2 / abs (sinx)?

Відповідь:

Доказ нижче

з використанням кон'югатів і тригонометричної версії теореми Піфагора.

Пояснення:

Частина 1

#sqrt ((1-cosx) / (1 + cosx)) #

#color (білий) ("XXX") = sqrt (1-cosx) / sqrt (1 + cosx) #

#color (білий) ("XXX") = sqrt ((1-cosx)) / sqrt (1 + cosx) * sqrt (1-cosx) / sqrt (1-cosx) #

#color (білий) ("XXX") = (1-cosx) / sqrt (1-cos ^ 2x) #

Частина 2

Аналогічно

#sqrt ((1 + cosx) / (1-cosx) #

#color (білий) ("XXX") = (1 + cosx) / sqrt (1-cos ^ 2x) #

Частина 3: Поєднання термінів

#sqrt ((1-cosx) / (1 + cosx)) + sqrt ((1 + cosx) / (1-cosx) #

#color (білий) ("XXX") = (1-cosx) / sqrt (1-cos ^ 2x) + (1 + cosx) / sqrt (1-cos ^ 2x) #

#color (білий) ("XXX") = 2 / sqrt (1-cos ^ 2x) #

#color (білий) ("XXXXXX") #і з тих пір # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 # (на основі теореми Піфагора)

#color (білий) ("XXXXXXXXX") sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #

#color (білий) ("XXXXXXXXX") sqrt (1-cos ^ 2x) = abs (sinx) #

#sqrt ((1-cosx) / (1 + cosx)) + sqrt ((1 + cosx) / (1-cosx)) = 2 / sqrt (1-cos ^ 2x) = 2 / abs (sinx) #

Як довести (1 + sinx-cosx) / (1 + cosx + sinx) = tan (x / 2)?

Дивіться нижче. LHS = (1-cosx + sinx) / (1 + cosx + sinx) = (2sin ^ 2 (x / 2) + 2sin (x / 2) * cos (x / 2)) / (2cos ^ 2 (x / 2) + 2sin (x / 2) * cos (x / 2) = (2sin (x / 2) [sin (x / 2) + cos (x / 2)]) / (2cos (x / 2) * [ sin (x / 2) + cos (x / 2)]) = tan (x / 2) = RHS

Числа x, y z задовольняють abs (x + 2) + abs (y + 3) + abs (z-5) = 1, тоді доводять, що abs (x + y + z) <= 1?

Див. Пояснення. Нагадаємо, що | (a + b) | le | a | + | b | ............ (зірка). :. | x + y + z | = | (x + 2) + (y + 3) + (z-5) |, le | (x + 2) | + | (y + 3) | + | (z-5) ) | .... [оскільки, (зірка)], = 1 ........... [тому, що "Дано"). тобто, (x + y + z) | le 1.

Чи може хтось допомогти перевірити цю ідентифікацію трикутника? (Sinx + cosx) ^ 2 / sin ^ 2x-cos ^ 2x = sin ^ 2x-cos ^ 2x / (sinx-cosx) ^ 2

Це підтверджується нижче: (sinx + cosx) ^ 2 / (sin ^ 2x-cos ^ 2x) = (sin ^ 2x-cos ^ 2x) / (sinx-cosx) ^ 2 => (скасувати ((sinx + cosx) ) (sinx + cosx)) / (скасувати ((sinx + cosx)) (sinx-cosx)) = (sin ^ 2x-cos ^ 2x) / (sinx-cosx) ^ 2 => ((sinx + cosx) ( sinx-cosx)) / ((sinx-cosx) (sinx-cosx)) = (sin ^ 2x-cos ^ 2x) / (sinx-cosx) ^ 2 => колір (зелений) ((sin ^ 2x-cos ^ 2x) / (sinx-cosx) ^ 2) = (sin ^ 2x-cos ^ 2x) / (sinx-cosx) ^ 2