Як інтегрувати int sec ^ -1x шляхом інтеграції за методом частин?

Відповідь:

Відповідь # = x "arc" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Пояснення:

Нам потрібно

# (sec ^ -1x) '= ("arc" secx)' = 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

# intsecxdx = ln (sqrt (x ^ 2-1) + x) #

Інтеграція по частинах є

# intu'v = uv-intuv '#

Тут ми маємо

# u '= 1 #, #=>#, # u = x #

# v = "arc" secx #, #=>#, # v '= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

Тому, #int "arc" secxdx = x "arc" secx-int (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)) #

Виконайте другий інтеграл шляхом заміни

Дозволяє # x = secu #, #=>#, # dx = secutanudu #

#sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (sec ^ 2u-1) = tanu #

# intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu) / (tanu) = intsecudu #

# = int (secu (secu + tanu) du) / (secu + tanu) #

# = int ((sec ^ 2u + secutanu) du) / (secu + tanu) #

Дозволяє # v = secu + tanu #, #=>#, # dv = (sec ^ 2u + secutanu) du #

Тому, # intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (dv) / (v) = lnv #

# = ln (secu + tanu) #

# = ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) #

Нарешті, #int "arc" secxdx = x "arc" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Відповідь:

#int ^ 1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Пояснення:

Альтернативно, можна використовувати мало відому формулу для розробки інтегралів обернених функцій. У формулі зазначається:

f = -1 (x) dx = xf ^ -1 (x) -F (f ^ -1 (x)) + C #

де # f ^ -1 (x) # є зворотним #f (x) # і #F (x) # є анти-похідною Росії #f (x) #.

У нашому випадку ми отримуємо:

#inx ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -F (sec ^ -1 (x)) + C #

Тепер все, що нам треба розробити, це анти-похідна # F #, що є звичним сеансовим інтегралом:

#int (x) dx = ln | sec (x) + tan (x) | + C #

Підключення його до формули дає остаточну відповідь:

#int ^ 1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln | sec (sec ^ -1 (x)) + tan (sec ^ -1 (x)) | + C #

Ми повинні бути обережними щодо спрощення #tan (sec ^ -1 (x)) # до #sqrt (x ^ 2-1) # тому що ідентифікація дійсна лише якщо # x # позитивний. Нам пощастило, однак, тому що ми можемо це виправити, поклавши абсолютне значення на інший термін всередині логарифму. Це також усуває необхідність першого абсолютного значення, оскільки все всередині логарифму завжди буде позитивним:

# xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #