Що таке похідна -sin (x)?

Попередня відповідь містить помилки. Ось правильне виведення.

По-перше, знак мінуса перед функцією #f (x) = - sin (x) #, приймаючи похідну, змінюють знак похідної функції #f (x) = sin (x) # до протилежного. Це легка теорема в теорії меж: межа постійної, помножена на змінну, дорівнює цій константі, помноженій на межу змінної. Отже, знайдемо похідну від #f (x) = sin (x) # і потім помножте на #-1#.

Потрібно виходити з наступного твердження про межу тригонометричної функції #f (x) = sin (x) # як його аргумент прагне до нуля:

#lim_ (h-> 0) sin (h) / h = 1 #

Доказ цього є чисто геометричним і ґрунтується на визначенні функції #sin (x) #. Існує безліч веб-ресурсів, які містять доказ цього твердження, наприклад, Math Page.

Використовуючи це, можна обчислити похідну від #f (x) = sin (x) #:

#f '(x) = lim_ (h-> 0) (sin (x + h) -sin (x)) / h #

Використання представлення різниці # sin # функціонує як продукт # sin # і # cos # (див. Унізор, Тригонометрія - тригонна сума кутів - проблеми 4), #f '(x) = lim_ (h-> 0) (2 * sin (h / 2) cos (x + h / 2)) / h #

#f '(x) = lim_ (h-> 0) sin (h / 2) / (h / 2) * lim_ (h-> 0) cos (x + h / 2) #

#f '(x) = 1 * cos (x) = cos (x) #

Отже, похідна від #f (x) = - sin (x) # є #f '(x) = - cos (x) #.