Як знайти об'єм області, утворений кривими y = x ^ 2 - 1 і y = 0, повернутий навколо лінії x = 5?

Відповідь:

# V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = pi (85 + 1/3) #

Пояснення:

Для того, щоб розрахувати цей обсяг, ми в якомусь сенсі будемо розрізати його на (нескінченно тонкі) шматочки.

Ми уявляємо регіон, щоб допомогти нам у цьому, я додав графік, де область є частиною під кривою. Відзначимо це # y = x ^ 2-1 # перетинає лінію # x = 5 # де # y = 24 # і що вона перетинає лінію # y = 0 # де # x = 1 # графік {x ^ 2-1 1, 5, -1, 24}

При різанні цієї області горизонтальними зрізами з висотою # dy # (дуже маленька висота). Довжина цих зрізів сильно залежить від координати y. для обчислення цієї довжини нам потрібно знати відстань від точки # (y, x) # на лінії # y = x ^ 2-1 # до точки (5, y). Звичайно, це так # 5-x #, але ми хочемо знати, від чого це залежить # y #. З # y = x ^ 2-1 #, ми знаємо # x ^ 2 = y + 1 #, так як у нас #x> 0 # для регіону, в якому ми зацікавлені, # x = sqrt (y + 1) #, отже, ця відстань залежить від # y #, які ми позначимо як #r (y) # дається #r (y) = 5-sqrt (y + 1) #.

Тепер ми обертаємо цей регіон навколо # x = 5 #Це означає, що кожен зріз стає циліндром з висотою # dy # і радіус #r (y) #, отже, обсяг #pir (y) ^ 2dy #. Все, що нам потрібно зробити зараз, це додати ці нескінченно малі обсяги за допомогою інтеграції. Відзначимо це # y # виходить з #0# до #24#.

# V = int_0 ^ 24pir (y) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (25-10sqrt (y-1) + y + 1) dy = piint_0 ^ 24 (26-10sqrt (y + 1) + y) dy = pi 26y-20/3 (y + 1) ^ (3/2) + y ^ 2/2 _0 ^ 24 = pi (26 * 24-20) / 3 (25) ^ (3/2) + 20/3 + 24 ^ 2/2) = pi (85 + 1/3) #.