Як ви знаходите обсяг твердого тіла, що генерується обертанням області, обмеженої кривими y = x ^ (2) -x, y = 3-x ^ (2) обертається навколо y = 4?

Відповідь:

# V = 685 / 32pi # кубічних одиниць

Пояснення:

Спочатку намалюйте графіки.

# y_1 = x ^ 2-x #

# y_2 = 3-x ^ 2 #

# x #-перехоплення

# y_1 = 0 => x ^ 2-x = 0 # І ми це маємо # {(x = 0), (x = 1):} #

Так перехоплює #(0,0)# і #(1,0)#

Отримати вершину:

# y_1 = x ^ 2-x => y_1 = (x-1/2) ^ 2-1 / 4 => y_1 - (- 1/4) = (x-1/2) ^ 2 #

Так вершина знаходиться на #(1/2,-1/4)#

Повторити попереднє:

# y_2 = 0 => 3-x ^ 2 = 0 # І ми це маємо # {(x = sqrt (3)), (x = -sqrt (3)):} #

Так перехоплює # (sqrt (3), 0) # і # (- sqrt (3), 0) #

# y_2 = 3-x ^ 2 => y_2-3 = -x ^ 2 #

Так вершина знаходиться на #(0,3)#

Результат:

Як отримати обсяг? Ми скористаємося метод диска!

Цей метод просто: # "Том" = piint_a ^ від ^ 2dx #

Ідея проста, але ви повинні використовувати його розумно.

І саме це ми і зробимо.

Давайте назвемо наш том # V #

# => V = V_1-V_2 #

# V_1 = piint_a ^ b (4-y_1) ^ 2dx #

# V_2 = piint_a ^ b (4-y_2) ^ 2dx #

NB: Я беру # (4-y) # оскільки # y # є лише відстань від # x #-аксі до кривої, тоді як ми хочемо відстань від лінії # y = 4 # до кривої!

Тепер знайти # a # і # b #, ми прирівнюємо # y_1 # і # y_2 # а потім вирішити для # x #

# y_1 = y_2 => 2x ^ 2-x + 3 = 0 #

# => 2x ^ 2 + 2x-3x + 3 = 0 #

# => (2x-3) (x + 1) = 0 => {(x = 3/2 = 1.5), (x = -1):} #

З # a # приходить раніше # b #, # => a = -1 # і # b = 1.5 #

# => V_1 = piint _ (- 1) ^ (1.5) (4-y_1) ^ 2dx = pi int_-1 ^ 1.5 (4-x ^ 2-x) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1.5) (x ^ 2 + x-4) ^ 2dx #

# => piint (-1) ^ (1.5) (x ^ 4 + 3x ^ 3-7x ^ 2-8x + 16) dx = pi x ^ 5/5 + x ^ 4 / 2- (7x ^ 3) /3-4x^2+16x_-1^1.5#

# V_1 = (685pi) / 24 #

Зробіть те саме для # V_2 #:

# V_2 = piint_-1 ^ 1.5 (4-y_2) ^ 2dx = piint_-1 ^ 1.5 (4-3 + x ^ 2) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1.5) (1 + x-4) ^ 2dx #

# => piint (-1) ^ (1.5) (1 + 2x ^ 2 + x ^ 4) dx = pi x + (2x ^ 3) / 3 + x ^ 5/5 _- 1 ^ 1.5 #

# V_1 = (685pi) / 96 #

# V = V_1-V_2 = 685 / 24-685 / 96 = колір (синій) ((685pi) / 32) #