Що таке похідна від f (x) = sec ^ -1 (x)?

# d / dx sec ^ -1x = 1 / (sqrt (x ^ 4 - x ^ 2)) #

Процес:

По-перше, ми зробимо це рівняння легше справлятися. Візьміть секунду з обох сторін:

#y = sec ^ -1 x #

#sec y = x #

Далі перепишемо в термінах # cos #:

# 1 / cos y = x #

І вирішувати за # y #:

# 1 = xcosy #

# 1 / x = cosy #

#y = arccos (1 / x) #

Тепер це виглядає набагато простіше диференціювати. Ми знаємо це

# d / dx arccos (alpha) = -1 / (sqrt (1-альфа ^ 2)) #

щоб ми могли використовувати цю ідентичність, а також правило ланцюга:

# dy / dx = -1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx 1 / x #

Трохи спрощення:

# dy / dx = -1 / sqrt (1 - 1 / x ^ 2) * (-1 / x ^ 2) #

Трохи більше спрощення:

# dy / dx = 1 / (x ^ 2sqrt (1 - 1 / x ^ 2)) #

Щоб зробити рівняння трохи більш гарним, я переміщу # x ^ 2 # всередині радикала:

# dy / dx = 1 / (sqrt (x ^ 4 (1 - 1 / x ^ 2))) #

Деяке остаточне скорочення:

# dy / dx = 1 / (sqrt (x ^ 4 - x ^ 2)) #

І є наша похідна.

При диференціації зворотних функцій тригера, ключ полягає в отриманні їх у формі, яку легко вирішувати. Більше, ніж будь-що інше, це вправа у вашому знанні тотожностей і алгебраїчних маніпуляцій.