Як розрахувати суму цього? sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n

Відповідь:

Дивись нижче.

Пояснення:

Враховуючи #abs x <1 #

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n #

але # sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 # і

# d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 # потім

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1) ^ 3 #

Відповідь:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 # коли # | x | <1 #

Пояснення:

Почнемо з написання деяких коефіцієнтів:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … = #

Перше, на що ми хочемо подивитися, - це коефіцієнти (ступінь # x # можна досить легко скорегувати шляхом множення і ділення ряду на # x #, тому вони не так важливі). Ми бачимо, що всі вони кратні двом, тому ми можемо вивести фактор два:

# = 2 (x ^ 2-3x ^ 3 + 6x ^ 4-10x ^ 5 …) #

Коефіцієнти всередині цієї дужки можуть бути розпізнані як біноміальні ряди з силою # alpha = -3 #:

# (1 + x) ^ alpha = 1 + alphax + (альфа (альфа-1)) / (2!) X ^ 2 + (альфа (альфа-1) (альфа-2)) / (3!) X ^ 3 … #

# (1 + x) ^ - 3 = 1-3x + 6x ^ 2-10x ^ 3 … #

Зауважимо, що показники всіх термінів у дужках більші на два порівняно з серіями, які ми тільки що отримали, тому треба множити # x ^ 2 # отримати потрібну серію:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … #

Це означає, що наша серія (коли вона збігається) дорівнює:

# (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 #

Щоб переконатися, що ми не помилилися, ми можемо швидко використовувати Binomial Series для обчислення серії # 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 #:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2 (1-3x + ((- 3) (- 4)) / (2!) X ^ 2 + ((- 3) (- 4) (- 5)) / (3!) X ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4!) / (2 * 2!) X ^ 2- (5!) / (2 * 3!) X ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4 * 3) / 2x ^ 2- (5 * 4) / 2x ^ 3 …) = #

Ми можемо описати цю модель так:

# = 2x ^ 2sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n (n (n-1)) / 2x ^ (n-2) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n #

Оскільки перший термін є справедливим #0#, ми можемо написати:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n #

це серія, з якої ми почали, перевіряючи наш результат.

Тепер нам просто потрібно з'ясувати інтервал конвергенції, щоб побачити, коли серія насправді має значення. Ми можемо зробити це, розглянувши умови збіжності для біноміальних рядів і знайдемо, що ряд сходиться, коли # | x | <1 #