Обчислення

Граф являє собою гіперболу, тому існують дві лінії симетрії: y = x-1 і y = -x + 1 Графік y = 1 / (x-1) - це гіпербола. Гіперболи мають дві лінії симетрії. обидві лінії симетрії проходять через центр гіперболи. Один проходить через вершини (і через осередки), а інший перпендикулярний першому. Графік y = 1 / (x-1) - це переклад графіка y = 1 / x. y = 1 / x має центр (0,0) і два симетрії: y = x і y = -x Для y = 1 / (x-1) ми замінили x на x-1 (і не замінили y Це переводить центр в точку (1,0), все переміщується 1 праворуч, граф, асимптоти і лінії симетрії y = 1 / (x-1) має центр (1,0) і два Симетрії: y = (x-1) і y = - (x-1) Од Докладніше »

3/2 * (sqrt (x ^ 3 - 2x + 3)) * (3x ^ 2 - 2) Правило ланцюга: d / dx f (g (x)) = f '(g (x)) * g' (x) Правило потужності: d / dx x ^ n = n * x ^ (n-1) Застосовуючи ці правила: 1 Внутрішня функція, g (x) - це x ^ 3-2x + 3, зовнішня функція, f (x) g (x) ^ (3/2) 2 Візьмемо похідну зовнішньої функції за допомогою правила потужності d / dx (g (x)) ^ (3/2) = 3/2 * g (x) ^ (3/2 - 2/2) = 3/2 * g (x) ^ (1/2) = 3/2 * sqrt (g (x)) f '(g (x)) = 3/2 * sqrt (x ^ 3 - 2x + 3) 3 Візьміть похідну внутрішньої функції d / dx g (x) = 3x ^ 2 -2 g '(x) = 3x ^ 2 -2 4 Помножте f' (g (x )) з g '(x) (3/2 * sqrt (x ^ 3 - 2x + 3 Докладніше »

Intx ^ 2e ^ (- x) dx = -e ^ (- x) (x ^ 2 + 2x + 2) + C Інтеграція за частинами говорить, що: intv (du) / (dx) = uv-intu (dv) / (dx) u = x ^ 2 (du) / (dx) = 2x (dv) / (dx) = e ^ (- x); v = -e ^ (- x) intx ^ 2e ^ (- x) dx = -x ^ 2e ^ (- x) -int-2xe ^ (- 2x) dx Тепер ми робимо це: int-2xe ^ (- 2x) dx u = 2x; (du) / (dx) = 2 (dv ) / (dx) = - e ^ (- x); v = e ^ (- x) int-2xe ^ (- x) dx = 2xe ^ (- x) -int2e ^ (- x) dx = 2xe ^ ( -x) + 2e ^ (- x) intx ^ 2e ^ (- x) dx = -x ^ 2e ^ (- x) - (2xe ^ (- x) + 2e ^ (- x)) = - x ^ 2e ^ (- x) -2xe ^ (- x) -2e ^ (- x) + C = -e ^ (- x) (x ^ 2 + 2x + 2) + C Докладніше »

"Нормальна" => y = - (3x) / (8-24sqrt3) + (152sqrt3-120 + 3pi) / (24-72sqrt2) => y ~~ 0.089x-1.52 Нормальна перпендикулярна лінія до дотичної. f (x) = sec (4x) -cot (2x) f '(x) = 4sec (4x) tan (3x) + 2csc ^ 2 (2x) f' (pi / 3) = 4 сек ((4pi) / 3 ) tan ((4pi) / 3) + 2csc ^ 2 ((2pi) / 3) = (8-24sqrt3) / 3 Для нормального m = -1 / (f '(pi / 3)) = - 3 / ( 8-24sqrt3) f (pi / 3) = sec ((4pi) / 3) -cot ((2pi) / 3) = (sqrt3-6) / 3 (sqrt3-6) / 3 = -3 / (8- 24sqrt3) (pi / 3) + cc = (sqrt3-6) / 3 + pi / (8-24sqrt3) = (152sqrt3-120 + 3pi) / (24-72sqrt2) "Normal": y = - (3x) / (8-24sqrt3) + (152sqrt Докладніше »

Я думаю, ви запитуєте про спрямовану похідну тут, і максимальну швидкість зміни, яка є градієнтом, що веде до нормального вектора vec n. Отже, для скалярного f (x, y) = y ^ 2 / x можна сказати, що: nabla vec f = langle - y ^ 2 / x ^ 2, (2y) / x rangle = vec n І: vec n _ {( 2,4)} = nabla f _ {(2,4)} = langle -4, 4 rangle Отже, можна зробити висновок, що: abs (vec n _ {(2,4)}) = abs (langle -4, 4 rangle) = 2 sqrt2 Докладніше »

X_ {max} = + infty x_ {min} = 0 Функція має вертикальну асимптоту в x = pi, а її максимум - коли знаменник має найменше значення тільки для x = + pi, а є мінімальним, коли знаменник найбільший тобтодля x = 0 і x = 2pi Такий же висновок можна було б вивести, вивівши функцію і вивчивши знак першої похідної! Докладніше »

Перш за все, немає невизначених чисел. Є цифри і є описи, які звучать так, ніби вони могли б описати число, але вони цього не роблять. "Число x, що робить x + 3 = x-5", є таким описом. Як є "Номер 0/0". Краще уникати говорити (і мислити), що "0/0 є невизначеним числом". . У контексті лімітів: При оцінці межі функції «побудованої» деякою алгебраїчною комбінацією функцій, ми використовуємо властивості меж. Ось деякі з них. Зверніть увагу на умову, вказану на початку. Якщо lim_ (xrarra) f (x) існує і lim_ (xrarra) g (x) існує, то lim_ (xrarra) (f (x) + g (x)) = lim_ (xrarra) f (x) + lim Докладніше »

9 Відносні мінімальні та максимальні точки можна знайти, встановивши похідну на нуль. У цьому випадку f '(x) = 0 iff6x-6 = 0 якщо x = 1 Відповідне значення функції при 1 є f (1) = 9. Отже, точка (1,9) є відносною крайньою точкою. Оскільки друга похідна позитивна, коли x = 1, f '' (1) = 6> 0, то випливає, що x = 1 є відносним мінімумом. Оскільки функція f є поліномом 2-го ступеня, то її граф є параболою і, отже, f (x) = 9 є також абсолютним мінімумом функції над (-оо, оо). Доданий графік також перевіряє цю точку. графік {3x ^ 2-6x + 12 [-16,23, 35,05, -0,7, 24,94]} Докладніше »

Мінімальне значення при x = 1-sqrt 5 прибл. "-" 1.236; g (1 - sqrt 5) = - (1+ sqrt 5) / (8) прибл. "-" 0,405. У закритому інтервалі можливі місця для мінімуму будуть: локальний мінімум всередині інтервалу або кінцеві точки інтервалу. Тому ми обчислюємо і порівнюємо значення g (x) при будь-якому x в ["-2", 2], що становить g '(x) = 0, а також при x = "- 2" і x = 2. Перше: що таке g '(x)? Використовуючи правило частки, отримуємо: g '(x) = ((1) (x ^ 2 + 4) - (x-1) (2x)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 колір (білий) ( g '(x)) = (x ^ 2 + 4-2x ^ 2 + 2x) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 колір (білий) (g Докладніше »

Функція постійно зростає в інтервалі [1,7], його мінімальне значення при х = 1. Очевидно, що x ^ 2-2x-11 / x не визначається при x = 0, однак він визначається в інтервалі [1,7]. Тепер похідна від x ^ 2-2x-11 / x є 2x-2 - (- 11 / x ^ 2) або 2x-2 + 11 / x ^ 2 і є позитивною протягом [1,7] Отже, функція безперервно зростає в інтервалі [1,7] і в якості такого мінімального значення x ^ 2-2x-11 / x в інтервалі [1,7] при x = 1. графік {x ^ 2-2x-11 / x [-40, 40, -20, 20]} Докладніше »

Існує мінімальне значення 0, розташоване як при x = 0, так і при x = 1. Спочатку ми можемо негайно записати цю функцію як g (x) = x / (1 / sin (pix)) = xsin (pix) Нагадуючи, що csc (x) = 1 / sin (x). Тепер, щоб знайти мінімальні значення на інтервалі, визнайте, що вони можуть відбуватися або в кінцевих точках інтервалу, або в будь-яких критичних значеннях, які відбуваються в межах інтервалу. Щоб знайти критичні значення в межах інтервалу, встановіть похідну функції, що дорівнює 0. І, щоб диференціювати функцію, нам доведеться використовувати правило продукту. Застосування правила продукту дає нам g '(x) = sin (pix) d / Докладніше »

Lim_ (xtooo) log (4 + 5x) - log (x-1) = log (5) lim_ (xtooo) log (4 + 5x) - log (x-1) = lim_ (xtooo) log ((4 + 5x) ) / (x-1)) Використовуючи правило ланцюга: lim_ (xtooo) log ((4 + 5x) / (x-1)) = lim_ (utoa) log (lim_ (xtooo) (4 + 5x) / (x- 1)) lim_ (xtooo) (ax + b) / (cx + d) = a / c lim_ (xtooo) (5x + 4) / (x-1) = 5 lim_ (uto5) log (u) = log5 Докладніше »

-sin (pi / 2x ^ 2-pix) * (pix-pi) Спочатку візьмемо похідну зовнішньої функції, cos (x): -sin (pi / 2x ^ 2-pix). Але ви також повинні помножити це на похідну того, що знаходиться всередині (pi / 2x ^ 2-pix). Зробіть цей термін терміном. Похідна pi / 2x ^ 2 pi / 2 * 2x = pix. Похідна -pix просто -pi. Отже, відповідь -sin (pi / 2x ^ 2-pix) * (pix-pi) Докладніше »

Відповідь: x + arctan (x) Спочатку зверніть увагу, що: (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) можна записати як (1 + 1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 / (1 + x ^ 2) + (1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 + 1 / (1 + x ^ 2) => int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx = int [1 + 1 / (1 + x ^ 2)] dx = int [1] dx + int [1 / (1 + x ^ 2)] dx = x + int [1 / ( 1 + x ^ 2)] dx = Похідна arctan (x) дорівнює 1 / (1 + x ^ 2). Звідси випливає, що антидеріватив 1 / (1 + x ^ 2) є arctan (x) І саме на цій основі можна записати: int [1 + 1 / (1 + x ^ 2)] dx = x + arctan ( x) Отже, int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx == int [1 + 1 / (1 + x ^ 2)] dx = x + arctan (x) + c of (2 Докладніше »

Ось один приклад ... Ви можете мати (nsin (t), mcos (t)), коли n! = M, а n і m не дорівнюють 1. Це по суті тому, що: => x = nsin (t) => x ^ 2 = n ^ 2sin ^ 2 (t) => x ^ 2 / n ^ 2 = sin ^ 2 (t) => y = mcos (t) => y ^ 2 / m ^ 2 = cos ^ 2 (t) => x ^ 2 / n ^ 2 + y ^ 2 / m ^ 2 = sin ^ 2 (t) + cos ^ 2 (t) Використовуючи те, що sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 ( x) = 1 ... => x ^ 2 / n ^ 2 + y ^ 2 / m ^ 2 = 1 Це по суті еліпс! Зауважте, що якщо ви хочете, щоб не круговий еліпс, ви повинні переконатися, що n! = M Докладніше »

Intcosx / sin ^ 2xdx = -cscx Нехай u = sinx, потім du = cosxdx і intcosx / sin ^ 2xdx = int (du) / u ^ 2 = -1 / u = -1 / sinx = -cscx Докладніше »

Миттєва швидкість задається (ds) / dt. Оскільки s (t) = t ^ 3 + 8t ^ 2-t, (ds) / dt = 3t ^ 2 + 16t-1. При t = 2, [(ds) / dt] _ (t = 2) = 3 * 2 ^ 2 + 16 * 2-1 = 43. Докладніше »

Послідовність сходяться Щоб знайти, чи послідовність a_n = ln (n ^ 2) / n = (2ln (n)) / n збігається, ми спостерігаємо, що a_n має n-> oo. lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) (2ln (n)) / n Використовуючи правило l'Hôpital, = lim_ (n-> oo) (2 / n) / 1 = lim_ (n-> oo) 2 / n = 0 Оскільки lim_ (n-> oo) a_n є кінцевим значенням, послідовність сходиться. Докладніше »

Відповідь (3x ^ 2-3) * (2x ^ 2 + 3x + 5) + (x ^ 3 - 3x) * (4x + 3), що спрощує до 10x ^ 4 + 12x ^ 3-3x ^ 2- 18x-15. Відповідно до правила продукту, (f) g) f = f ′ g + f g ′ Це просто означає, що коли ви диференціюєте продукт, ви робите похідну від першого, залиште другий поодинці, плюс похідну другого, залиште друге. перший один. Отже, першим буде (x ^ 3 - 3x), а другим буде (2x ^ 2 + 3x + 5). Гаразд, тепер похідна першого становить 3x ^ 2-3, разів другий (3x ^ 2-3) * (2x ^ 2 + 3x + 5). Похідною другого є (2 * 2x + 3 + 0), або просто (4x + 3). Помножте його на перше і отримайте (x ^ 3 - 3x) * (4x + 3). Тепер додайте обид Докладніше »

112pi "або" 351.86 cm "/" min Монета може розглядатися як маленький циліндр. І його обсяг виходить з формули: V = pir ^ 2h Нам пропонується знайти, як змінюється обсяг. Це означає, що ми шукаємо швидкість зміни обсягу по відношенню до часу, тобто (dV) / (dt) Отже, все, що ми повинні зробити, це диференціювати обсяг по часу, як показано нижче, => (dV) / (dt) = d (pir ^ 2h) / (dt) = pi (2r * (dr) / (dt) + (dh) / (dt)) Ми сказали, що: (dr) / (dt) = 6 см "/" min, (dh) / (dt) = 4 cm "/" min, r = 9 cm та h = 12 cm => (dV) / (dt) = pi (2 (9) * (6) + (4) = 112pi ~ = 351,86 см "/&q Докладніше »

2 сек (2х) (сек ^ 2 (2х) + загар ^ 2 (2х)) y '= (сек (2х)) (загар (2х))' + (загар (2х)) (сек (2х)) '( Правило продукту) y '= (sec (2x)) (sec ^ 2 (2x)) (2) + (tan (2x)) (sec (2x) tan (2x)) (2) (правило ланцюга і похідні тригера) ) y '= 2сек ^ 3 (2х) + 2сек (2x) загар ^ 2 (2х) у' = 2сек (2х) (сек ^ 2 (2х) + загар ^ 2 (2х) Докладніше »

Правило продукту для похідних визначає, що з урахуванням функції f (x) = g (x) h (x), похідною функції є f '(x) = g' (x) h (x) + g (x) h '(x) Правило продукту використовується в першу чергу, коли функція, для якої бажано, щоб похідна була явно продуктом двох функцій, або коли функція була б більш легко диференціювати, якщо розглядати її як продукт двох функцій. Наприклад, при перегляді функції f (x) = tan ^ 2 (x) легше висловити функцію як продукт, в даному випадку f (x) = tan (x) tan (x). У цьому випадку вираження функції як продукту легше, тому що основні похідні для шести основних тригонометричних функцій (s Докладніше »

Y '= (5x-2) ^ 3 (6x + 1) ^ 2 ((15) / (5x-2) + (12) / (6x + 1)) 1 / ln (y) = 3ln (5x-2) ) + 2ln (6x + 1) 2 / (1) / (y) y '= (3) ((1) / (5x-2)) (5) + (2) ((1) / (6x + 1) )) (6) 3 / (1) / (y) y '= (15) / (5x-2) + (12) / (6x + 1) 4 / y' = y ((15) / (5x- 2) + (12) / (6x + 1)) 5 / y '= (5x-2) ^ 3 (6x + 1) ^ 2 ((15) / (5x-2) + (12) / (6x + 1)) Докладніше »

Обмеження дозволяє досліджувати тенденцію функції навколо заданої точки, навіть якщо функція не визначена в точці. Давайте подивимося на функцію нижче. f (x) = {x ^ 2-1} / {x-1} Оскільки його знаменник дорівнює нулю, коли x = 1, f (1) не визначено; однак її межа при x = 1 існує і вказує, що значення функції наближається до 2. lim_ {x до 1} {x ^ 2-1} / {x-1} = lim_ {x до 1} {(x + 1) (x-1)} / {x-1} = lim_ {x до 1 } (x + 1) = 2 Цей інструмент є дуже корисним при обчисленні, коли нахил дотичної лінії апроксимується нахилами січних ліній з близькими точками перетину, що мотивує визначення похідної. Докладніше »

Y = x-7 Нехай y = f (x) = x ^ 2-5x + 2 При x = 3, y = 3 ^ 2-5 * 3 + 2 = 9-15 + 2 = -6 + 2 = -4 Отже, координата знаходиться на (3, -4). По-перше, потрібно знайти нахил дотичної лінії в точці, диференціюючи f (x), і тампонувати x = 3. : .f '(x) = 2x-5 При x = 3, f' (x) = f '(3) = 2 * 3-5 = 6-5 = 1 Отже, нахил дотичної лінії буде 1. Тепер ми використовуємо формулу точкового нахилу, щоб з'ясувати рівняння лінії, тобто: y-y_0 = m (x-x_0) де m - нахил лінії, (x_0, y_0) - вихідний координати. Так, y - (- 4) = 1 (x-3) y + 4 = x-3 y = x-3-4 y = x-7 Графік показує, що це правда: Докладніше »

Швидкість зміни ширини з часом (dW) / (dt) = 0.6 "ft / s" (dW) / (dt) = (dW) / (dh) xx (dh) / dt (dh) / (dt) ) = - 1 "ft / s" So (dW) / (dt) = (dW) / (dh) xx-1 = - (dW) / (dh) Wxxh = 60 W = 60 / h (dW) / ( dh) = - (60) / (h ^ 2) Так (dW) / (dt) = - (- (60) / (h ^ 2)) = (60) / (h ^ 2) Отже, при h = 10 : rArr (dW) / (dt) = (60) / (10 ^ 2) = 0,6 "фут / с" Докладніше »

Середня швидкість зміни дає нахил секантної лінії, але миттєва швидкість зміни (похідна) дає нахил дотичної лінії. Середня швидкість зміни: (f (x + h) -f (x)) / h = (f (b) -f (a)) / (ba), де інтервал [a, b] Миттєва швидкість зміни : lim_ (h -> 0) (f (x + h) -f (x)) / h Також відзначимо, що середня швидкість зміни наближається до миттєвої швидкості зміни протягом дуже коротких інтервалів. Докладніше »

Y = cscx = 1 / sinx = (sinx) ^ - 1 Щоб знайти max / min, знаходимо першу похідну і знаходимо значення, для яких похідна дорівнює нулю. y = (sinx) ^ - 1: .y '= (- 1) (sinx) ^ - 2 (cosx) (ланцюгове правило): .y' = - cosx / sin ^ 2x На макс. / хв., y '= 0 => - cosx / sin ^ 2x = 0: .cosx = 0: .x = -pi / 2, pi / 2, ... Коли x = pi / 2 => y = 1 / sin (pi / 2) = 1 Коли x = -pi / 2 => y = 1 / sin (-pi / 2) = - 1 Таким чином, є точки повороту на (-pi / 2, -1) і (pi / 2,1), якщо подивитися на графіку y = cscx спостерігаємо, що (-pi / 2, -1) є відносним максимумом, а (pi / 2,1) є відносним мінімумом. графік {csc Докладніше »

I = 1 / 4ln (x ^ 4-4x ^ 2) + C Ми хочемо розв'язати I = int (x ^ 2-2) / (x ^ 3-4x) dx Помножити DEN і NUM на x I = int ( x ^ 3-2x) / (x ^ 4-4x ^ 2) dx Тепер ми можемо зробити хороший колір заміни (червоний) (u = x ^ 4-4x ^ 2 => du = 4x ^ 3-8xdx = 4 ( x ^ 3-2x) dx I = 1 / 4int1 / udu колір (білий) (I) = 1 / 4ln (u) + C колір (білий) (I) = 1 / 4ln (x ^ 4-4x ^ 2) + C Докладніше »

Як пояснено нижче. Якщо є, консервативне векторне поле F (x, y, z) = Mdx + Ndy + Pdz. її потенційну функцію можна знайти. Якщо потенційна функція, наприклад, f (x, y, z), то f_x (x, y, z) = M, f_y (x, y, z) = N і f_z (x, y, z) = P . Тоді, f (x, y, z) = int Mdx + C1 f (x, y, z) = int Ndy + C2 і f (x, y, z) = int Pdz + C3, де C1 буде деякою функцією y та z, C2 буде деякою функцією x та z, C3 буде деякою функцією x та y З цих трьох версій f (x, y, z) потенційна функція f (x, y, z) може бути детермінована . Визначення певної проблеми краще проілюструє метод. Докладніше »

-1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) Щоб диференціювати це, ми будемо застосовувати ланцюгове правило: Почати з Letta theta = arcsin (1 / x) => sin (тета) = 1 / x Тепер диференціювати кожен член на обидві сторони рівняння по відношенню до x => cos (тета) * (d (тета)) / (dx) = - 1 / x ^ 2 Використовуючи ідентичність: cos ^ 2theta + sin ^ 2theta = 1 => costheta = sqrt (1-sin ^ 2theta) => sqrt (1-sin ^ 2theta) * (d (тета)) / (dx) = - 1 / x ^ 2 => (d (тета)) / (dx) = - 1 / x ^ 2 * 1 / sqrt (1-sin ^ 2theta) Нагадаємо: sin (тета) = 1 / x "" і "" тета = arcsin (1 / x) Таким чином, ми можемо написати, (d (arcs Докладніше »

F '' (x) = 6 / x ^ 4> переписати f (x) = 1 / x ^ 2 = x ^ -2 rArr f '(x) = -2x ^ -3 rArr f' '(x) = 6x ^ -4 = 6 / x ^ 4 Докладніше »

(4f * g) (x) Нехай P (x) = (f * g) (x) = f (x) g (x) Тоді, використовуючи правило продукту: P '(x) = f' (x) g ( x) + f (x) g '(x). Використовуючи умову, задану в питанні, отримуємо: P '(x) = (g (x)) ^ 2+ (f (x)) ^ 2 Тепер використовуючи правила потужності та ланцюга: P' '(x) = 2g (x) g '(x) + 2f (x) f' (x). Знову застосовуючи особливу умову цього питання, пишемо: P '' (x) = 2g (x) f (x) + 2f (x) g (x) = 4f (x) g (x) = 4 (f *) g) (x) Докладніше »

H '' (x) = 9 сек (3x + 1) [sec ^ 2 (3x + 1) + tan ^ 2 (3x + 1)] Дано: h (x) = sec (3x + 1) Використовуйте наступну похідну правила: (sec u) '= u' sec u tan u; "" (tan u) '= u' sec ^ 2 u Правило продукту: (fg) '= f g' + g f 'Знайти першу похідну: Нехай u = 3x + 1; "u" = 3 h '(u) = 3 sec u tan u h' (x) = 3 сек (3x + 1) tan (3x + 1) Знайти другу похідну за допомогою правила продукту: Нехай f = 3 сек (3х + 1); "f" = 9 сек (3x + 1) tan (3x + 1) Нехай g = tan (3x + 1); "" g '= 3 сек ^ 2 (3x + 1) h' '(x) = (3 сек (3x + 1)) (3 сек ^ 2 ( Докладніше »

F '' (x) = sec x (sec ^ 2 x + y ^ 2 x) задана функція: f (x) = sec x Диференціюючи w.r.t. x наступним чином frac {d} {dx} f (x) = frac {d} {dx} (s x) f '(x) = s x x x x Знову, диференціюючи f' (x) w.r.t. x, отримуємо frac {d} {dx} f '(x) = frac {d} {dx} (x x x x) f' '(x) = x x frac {d} { dx} a x + x x frac {d} {dx} sec = s xsec ^ 2 x + x x x x x x sec s 3 x + x x x ^ x x sec x x (^ 2 x + x ^ 2 x) Докладніше »

D ^ 2 / (dx ^ 2) x / (x-1) = 2 / (x-1) ^ 3 Для цієї задачі будемо використовувати правило частки: d / dx f (x) / g (x) = (g (x) f '(x) -f (x) g' (x)) / [g (x)] ^ 2 Ми також можемо зробити це трохи легше, ділячи на x / (x-1) = 1 + 1 / (x-1) Перша похідна: d / dx (1 + 1 / (x-1)) = (d / dx1) + (d / dx ((x-1) (d / dx1) -1 (d / dx (x-1))) / (x-1) ^ 2) = 0 + ((x-1) (0) - (1) (1)) / (x-1) ^ 2 = - 1 / (x-1) ^ 2 Друга похідна: друга похідна - похідна першої похідної. d ^ 2 / (dx ^ 2) (1 + 1 / (x-1)) = d / dx (-1 / (x-1) ^ 2) = - ((x-1) ^ 2 (d / dx1) ) -1 (d / dx (x-1) ^ 2)) / [(x-1) ^ 2] ^ 2 = - ((x-1) ^ 2 (0) -1 (2 (x-1) ) Докладніше »

Запитання 1 Якщо f (x) = (g (x)) / (h (x)), то за правилом f '(x) = (g' (x) * h (x) - g (x) * h '(x)) / ((g (x)) ^ 2) Отже, якщо f (x) = x / (x-1), то перша похідна f' (x) = ((1) (x-1) - (x) (1)) / x ^ 2 = - 1 / x ^ 2 = - x ^ (- 2), а друга похідна f '' (x) = 2x ^ -3 Запитання 2 Якщо f (x) = 2 / x це може бути переписано як f (x) = 2x ^ -1 і з використанням стандартних процедур для прийняття похідної f '(x) = -2x ^ -2 або, якщо ви віддаєте перевагу f' (x) = - 2 / x ^ 2 Докладніше »

Y ^ ('') = (2 * x (x ^ 2 - 24)) / ((16-x ^ 2) * sqrt (16-x ^ 2)) Почніть з обчислення першої похідної вашої функції y = x * sqrt (16-x ^ 2) за допомогою правила продукту. Це дасть вам d / dx (y) = [d / dx (x)] * sqrt (16 - x ^ 2) + x * d / dx (sqrt (16 - x ^ 2)) Ви можете диференціювати d / dx (sqrt (16 -x ^ 2)) за допомогою ланцюгового правила для sqrt (u), з u = 16 -x ^ 2. d / dx (sqrt (u)) = d / (du) sqrt (u) * d / dx (u) d / dx (sqrt (u)) = 1/2 * 1 / sqrt (u) * d / dx (16-x ^ 2) d / dx (sqrt (16-x ^ 2)) = 1 / колір (червоний) (скасувати (колір (чорний) (2))) * 1 / sqrt (16-x ^ 2) * (-колір (червоний) (скасувати Докладніше »

2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C Потрібно знайти A, B, C такі, що 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) для всіх x. Помножте обидві сторони на x ^ 2 (2x-1), щоб отримати 1 = Ax (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2-Ax + 2Bx-B + Cx ^ 2 1 = (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) xB Прирівнюючі коефіцієнти дають нам {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} І таким чином ми маємо A = -2, B = -1, C = 4. Підставивши це в початкове рівняння, отримаємо 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 Тепер інтегруємо його термін за терміном int t (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx для отримання 2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / Докладніше »

Int_0 ^ 6x ^ 3dx ~ ~ 324 Правило Сімпсона говорить, що int_b ^ af (x) dx можна апроксимувати h / 3 [y_0 + y_n + 4y_ (n = "непарний") + 2y_ (n = "even") h = (ба) / n = (6-0) / 6 = 6/6 = 1 int_0 ^ 6x ^ 3dx ~~ 1/3 [0 + 216 + 4 (1 + 27 + 125) +2 (8 + 64)] = [216 + 4 (153) +2 (72)] / 3 = [216 + 612 + 144] = 972/3 = 324 Докладніше »

Вона збігається Розглянемо ряди sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ p, де p> 1. До р-тесту ця серія збігається. Тепер, 1 / n ^ ln n <1 / n ^ p для всіх досить великих n до тих пір, поки p - кінцеве значення. Таким чином, за допомогою тесту прямого порівняння сума_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ ln n збігається. Фактично, значення приблизно дорівнює 2,2381813. Докладніше »

Dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x Використовуйте логарифмічну диференціацію. y = (sinx) ^ x lny = ln ((sinx) ^ x) = xln (sinx) (Використовуйте властивості ln) Диференційовано неявно: (Використовуйте правило продукту та ланцюжок) 1 / y dy / dx = 1ln ( sinx) + x [1 / sinx cosx] Отже, ми маємо: 1 / y dy / dx = ln (sinx) + x cotx Вирішуємо для dy / dx множення на y = (sinx) ^ x, dy / dx = ( ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x Докладніше »

= (10 (2x-5) ^ 4 * (x ^ 2 + 2) ^ 2 - (2x-5) ^ 5 * 4x (x ^ 2 + 2)) / (x ^ 2 + 2) ^ 4 f ' (x) = (f '(x) * g (x) - f (x) * g' (x)) / (g (x)) ^ 2 f '(x) = (((5 (2x-5) ) ^ 4 * 2) (x ^ 2 + 2) ^ 2) - (2x-5) ^ 5 * (2 (x ^ 2 + 2) * 2x)) / ((x ^ 2 + 2) ^ 2) ^ 2 = (10 (2x-5) ^ 4 * (x ^ 2 + 2) ^ 2 - (2x-5) ^ 5 * 4x (x ^ 2 + 2)) / (x ^ 2 + 2) ^ 4 Ви можете зменшити більше, але це нудно вирішити це рівняння, просто використовуйте алгебраїчний метод. Докладніше »

(dy) / (dx) = (xsen (x ^ 2 + 2) + sen (x + 2)) / (sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2))) (dy ) / (dx) = 1 / (2sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2))) * sen (x ^ 2 + 2) * 2x + 2 (x + 2) (dy ) / (dx) = (2хсек (x ^ 2 + 2) + 2см (х + 2)) / (2sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2))) (dy) / (dx) = (cancel2 (xsen (x ^ 2 + 2) + sen (x + 2))) / (cancel2sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2))) (dy) / (dx) = (xsen (x ^ 2 + 2) + sen (x + 2)) / (sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2))) Докладніше »

Відомо, що серія Маклорена e ^ x є сумами (n = 0) ^ oo ^ n / (n!) Ми також можемо вивести цю серію за допомогою розширення Маклорена f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ ((n)) (0) x ^ n / (n!) і той факт, що всі похідні e ^ x все ще e ^ x та e ^ 0 = 1. Тепер, просто замініть вищезгадані серії на (e ^ x-1) / x = (sum_ (n = 0) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x = (1 + sum_ (n =) 1) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x = (sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!))) / X = sum_ (n = 1) ^ oox ^ (n-1) / (n!) Якщо ви хочете, щоб індекс починався з i = 0, просто замінюйте n = i + 1: = sum_ (i = 0) ^ oox ^ i / ((i + 1) !) Тепер просто оцініть перші три терміни, що Докладніше »

Dy / dx = -0,54 Для полярної функції f (тета), dy / dx = (f '(тета) sintheta + f (тета) costheta) / (f' (тета) costheta-f (theta) sintheta) f ( тета) = тета-сек ^ 3тета + тезан ^ 3тета f '(тета) = 1-3 (сек ^ 2 тета) (d / dx [sectheta]) - гріх ^ 3тета + 3тетасин ^ 2 тета (d / dx [sintheta]) f '(тета) = 1-3сек ^ 3тетантатета-сіна ^ 3тета + 3тетасин ^ 2тетакостета f' ((5pi) / 3) = 1-3сек ^ 3 ((5pi) / 3) загар ((5pi) / 3) - sin ^ 3 ((5pi) / 3) +3 ((5pi) / 3) sin ^ 2 ((5pi) / 3) cos ((5pi) / 3) ~~ -9.98 f ((5pi) / 3) = ((5pi) / 3) -sec ^ 3 ((5pi) / 3) + ((5pi) / 3) sin ^ 3 ((5pi) / 3) ~~ -6.16 dy / dx = (- 9 Докладніше »

Dy / dx = 10x (x ^ 2 + 1) ^ 4 Якщо ми запишемо це як: y = u ^ 5, то можна використовувати правило ланцюга: dy / dx = (dy) / (du) * (du) / ( dx) (dy) / (du) = 5u ^ 4 (du) / (dx) = 2x dy / dx = (dy) / (du) * (du) / (dx) = 10xu ^ 4 Покласти назад у x 2 + 1 дає нам: dy / dx = 10x (x ^ 2 + 1) ^ 4 Докладніше »

Дивись нижче. Якщо: y = lnx <=> e ^ y = x Використовуючи це визначення з заданою функцією: e ^ y = (sin (x + 3)) ^ 2 Диференціюючи неявно: e ^ ydy / dx = 2 (sin (x + 3) )) * cos (x + 3) Розділення на e ^ y dy / dx = (2 (sin (x + 3)) * cos (x + 3)) / e ^ y dy / dx = (2 (sin (x +3)) * cos (x + 3)) / (sin ^ 2 (x + 3)) Скасування загальних факторів: dy / dx = (2 (скасувати (sin (x + 3))) * cos (x + 3) )) / (sin ^ cancel (2) (x + 3)) dy / dx = (2cos (x + 3)) / (sin (x + 3)) Тепер ми маємо похідну і, отже, зможемо розрахувати градієнт при x = pi / 3 Підключення до цього значення: (2cos ((pi / 3) +3)) / (sin ((pi / 3) +3)) Докладніше »

Lim_ (xto0 ^ +) x ^ 4ln (x) = 0 f (x) = x ^ 4ln (x) [(x, f (x)), (1,0), (0,1, -2,30 * 10 ^ - 4), (0.01, -4.61 * 10 ^ -8), (0.001, -6.91 * 10 ^ -12)] Оскільки x прагне до 0 з правого боку, f (x) залишається на негативній стороні, коли x < 1, але самі значення наближаються до 0, коли x-> 0 lim_ (xto0 ^ +) x ^ 4ln (x) = 0 граф {x ^ 4ln (x) [-0.05 1, -0.1, 0.01]} Докладніше »

Нахил дотичної до y при x = 1/3 -8 y = x ^ 2 (3x + 1 / x ^ 3) = x ^ 2 (3x + x ^ (- 3)) dy / dx = x ^ 2 ( 3-3x ^ (- 4) + 2x (3x + x ^ (- 3)) Правило продукту = 3x ^ 2-3x ^ (- 2) + 6x ^ 2 + 2x ^ (- 2) = 9x ^ 2- x ^ (- 2) Нахил (m) дотичної до y при x = 1/3 dy / dx при x = 1/3 Таким чином: m = 9 * (1/3) ^ 2 - (1/3) ) ^ (- 2) m = 1-9 = 8 Докладніше »

Нахил дорівнює 0. Мінімуми (множини з «мінімуму») плавних кривих виникають на точках повороту, які за визначенням є також стаціонарними точками. Вони називаються стаціонарними, тому що в цих точках функція градієнта дорівнює 0 (тому функція не є "рухомою", тобто вона нерухома).Якщо градієнтна функція дорівнює 0, то нахил дотичної лінії в цій точці також дорівнює 0. Легкий приклад для зображення є y = x ^ 2. Він має мінімум у початковій точці, і він також дотичний до осі абсцис в цій точці (яка є горизонтальною, тобто нахилом 0). Це відбувається тому, що в цьому випадку dy / dx = 2x, а при x = 0, dy / dx Докладніше »

E ^ a * (a / 2) * (1 - a) "Ви можете використовувати ряди Тейлора і вказувати більш високі терміни порядку для" x-> 0 "." x ^ y = exp (y * ln (x)) => (1 + x) ^ y = exp (y * ln (1 + x)) "і" ln (1 + x) = x - x ^ 2 / 2 + x ^ 3/3 - ... "і" exp (x) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + x ^ 4/24 + ... "Так" exp (y * ln (1 + x)) = exp (y * (x - x ^ 2/2 + ...)) => (1 + x) ^ (a / x) = exp ((a / x) * ln (1 + x)) = exp ((a / x) * (x - x ^ 2/2 + x ^ 3/3 - ...)) = exp (a - a * x / 2 + a * x ^ 2/3 - ...) => (1 + ax) ^ (1 / x) = exp ((1 / x) * ln (1 + ax)) = exp ((1 / x) * (ax - ( ax) Докладніше »

Використовуємо формулу: Area = h / 2 (y_1 + y_n + 2 (y_2 + y_3 + ... + y_ (n-1))), щоб отримати результат: Area = 4314/3145 ~ = 1.37 h - довжина кроку Знайти довжину кроку за допомогою наступної формули: h = (ba) / (n-1) a - мінімальне значення x і b - максимальне значення x. У нашому випадку a = 0 і b = 6 n - кількість смуг. Звідси n = 4 => h = (6-0) / (4-1) = 2 Отже, значення x 0,2,4,6 "NB:" Починаючи з x = 0 додаємо довжину кроку h = 2, щоб отримати наступне значення x до x = 6 Для того, щоб знайти y_1 до y_n (або y_4), ми підключаємо кожне значення x, щоб отримати відповідний y Наприклад: щоб отримати y_1 Докладніше »

Відповідь є мінімальним на інтервалі f (2) = e ^ 2} -2e ^ 2, який насправді не є вибором, але (c) є гарним наближенням. f (x) = e ^ x} - 2e ^ x f '(x) = - e ^ x} - 2 e ^ x Ця похідна є явно негативною всюди, тому функція зменшується протягом інтервалу. Таким чином, його мінімальне значення f (2) = e ^ 2} -2e ^ 2. Якби я був прихильником (який я є), то я б не відповів ні на одне з вищевикладеного, тому що не існує способу, яким трансцендентальна кількість може дорівнювати одному з цих раціональних цінностей. Але ми піддаємося культурі апроксимації і виходимо з калькулятора, який каже f (2) прибл. Докладніше »

Нахил перпендикуляра дорівнює 1/4, але похідна кривої дорівнює -1 / {2sqrt {x}}, яка завжди буде негативною, тому дотична до кривої ніколи не буде перпендикулярно y + 4x = 4. f (x) = 2 - x ^ {1/2} f '(x) = - 1/2 x ^ {- 1/2} = -1 / {2sqrt {x}} Дана лінія y = -4x + 4 має нахил -4, тому його перпендикуляри мають негативний зворотний нахил, 1/4. Ми встановлюємо похідну, що дорівнює такому, і вирішуємо: 1/4 = -1 / {2 sqrt {x}} sqrt {x} = -2 Не існує реальних x, які б задовольняли це, так що немає місця на кривій, де дотична перпендикулярна до y + 4x = 4. Докладніше »

Вона збігається абсолютно. Використовуйте тест для абсолютної конвергенції. Якщо взяти абсолютне значення термінів, то отримаємо серію 4 + 1 + 1/4 + 1/16 + ... Це геометрична серія загального відношення 1/4. При цьому він сходиться. З обох | a_n | сходиться a_n сходиться абсолютно. Сподіваюся, це допоможе! Докладніше »

H = 1000 / (2pix) - x для 31a, потрібна формула для загальної площі поверхні циліндра. загальна площа поверхні циліндра така ж, як і сума обох кругових поверхонь (верхня і нижня) і криволінійна поверхня. криволінійна площа поверхні може розглядатися як прямокутник (якщо вона повинна бути розгорнута). довжина цього прямокутника буде висотою циліндра, а його ширина - окружність круга зверху або знизу. окружність кола - 2pir. висота h. площа криволінійної поверхні = 2pirh. площа кола - пір ^ 2. площа верхніх і нижніх кіл: 2pir ^ 2 загальна площа поверхні циліндра становить 2pirh + 2pir ^ 2, або 2pir (h + r). ми вважаємо, що з Докладніше »

Int cos (x) / (sin ^ 2 (x) + sin (x)) "d" x = ln | sin (x) / (sin (x) +1) | + C t int cos (x) / (sin ^ 2 (x) + sin (x)) "d" x Замінити u = sin (x) і "d" u = cos (x) "d" x. Це дає = int ("d" u) / (u ^ 2 + u) = int ("d" u) / (u (u + 1)) Окремі часткові частки з 1 / (u (u + 1) )) = 1 / u-1 / (u + 1): = int (1 / u-1 / (u + 1)) "d" u = ln | u | -ln | u + 1 | + C = ln | u / (u + 1) | + C Замінити назад u = sin (x): = ln | sin (x) / (sin (x) +1) | + C Докладніше »

Int, sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C Оскільки простіше маючи справу тільки з одним х під квадратним коренем, ми виконуємо квадрат: x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2 + kx ^ 2 + 4x = x ^ 2 + 4x + 4 + kk = -4 x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2-4 int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx Тепер нам потрібно зробити тригонометричну заміну. Я збираюся використовувати гіперболічні тригерні функції (тому що secant інтеграл зазвичай не дуже приємно). Ми хочемо використовувати наступну ідентичність: cosh ^ 2 (тета) -1 = sinh ^ 2 (тета) Щоб зробити це, ми хочемо (x + 2) ^ 2 = 4cosh ^ 2 ( Докладніше »

Якщо 0 <x <e ^ (- 15/56), то f увігнута вниз; якщо x> e ^ (- 15/56), то f увігнуте; x = e ^ (- 15/56) є точкою перегину (падіння). Щоб проаналізувати увігнутість і точки перегину двічі диференційованої функції f, можна вивчити позитивність другої похідної. Насправді, якщо x_0 точка в області f, то: якщо f '' (x_0)> 0, то f увігнута в околі x_0; якщо f '' (x_0) <0, то f увігнута вниз в околі x_0; якщо f '' (x_0) = 0 і знак f '' на досить малому правому сусідстві x_0 є протилежним знаку f '' на досить малому лівому околі x_0, то x = x_0 називається точка перегину f. У ко Докладніше »

Функція увігнута, коли друга похідна позитивна, вона є увігнутою, коли вона є негативною, і може бути точка перегину, коли вона дорівнює нулю. y '= 18x ^ 2 + 54 y' '= 36x + 54 так: y' '> 0rArrx> -54 / 36rArrx> -3/2. У (-3 / 2, + oo) увігнута вгору, в (-оо, -3 / 2) увігнута вниз, в х = -3 / 2 є точка перегину. Докладніше »

X = y = sqrt (a) x * y = a => x * y - a = 0 f (x, y) = sqrt (x) + sqrt (y) "мінімальний" "Ми можемо працювати з множником Лагранжа L: "f (x, y, L) = sqrt (x) + sqrt (y) + L (x * ya)" Виведення результатів: "{df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * y = 0 {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (y)) + L * x = 0 {df} / {dL} = x * ya = 0 => y = a / x => { df} / dy = 1 / (2 * sqrt (a / x)) + L * x = 0 = sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) + L * x = 0 => {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * a / x = 0 => sqrt (x) / 2 + L * a = 0 "(після множення на x"! = "0)" => L = - sqrt (x) / (2 * a) =&g Докладніше »

1/4 "Ви можете використовувати розширення серії Taylor." cos (x) = 1 - x ^ 2/2! + x ^ 4/4! - ... tan (x) = x + x ^ 3/3 + 2 x ^ 5/15 + ... => cos ^ 2 (x) = 1 - x ^ 2 + x ^ 4 (1/4 + 2/24) ... = 1 - x ^ 2 + x ^ 4/3 ... => tan (3x) = 3x + 9 x ^ 3 + ... => (x * cos ^ 2 (x) ) / (x + tan (3x)) = (x - x ^ 3 + x ^ 5/3 ...) / (4x + 9 x ^ 3 + ...) x-> 0 => "вищі потужності зникають "= (x - ...) / (4x + ...) = 1/4 Докладніше »

1 / 3ln | x + 1 | -1 / 6ln | x ^ 2-x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C Почати шляхом факторизації знаменника: 1 + x ^ 3 = (x + 1) (x ^ 2-x + 1) Тепер можна зробити часткові частки: 1 / (1 + x ^ 3) = 1 / ((x + 1) (x ^ 2-x + 1)) = A / (x + 1) + (Bx + C) / (x ^ 2-x + 1) Знайдемо A, використовуючи метод прикриття: A = 1 / ((текст (////)) ( (-1) ^ 2 + 1 + 1)) = 1/3 Далі ми можемо помножити обидві сторони на знаменник LHS: 1 = 1/3 (x ^ 2-x + 1) + (Bx + C) (x +) 1) 1 = 1 / 3x ^ 2-1 / 3x + 1/3 + Bx ^ 2 + Bx + Cx + C 1 = (1/3 + B) x ^ 2 + (B + C-1/3) x + (C + 1/3) Це дає наступні рівняння: 1/3 + B = 0 -> B = -1 / 3 Докладніше »

Точка (2, -3) не лежить на заданій кривій. Покладіть в задане рівняння координати (2, -3): LHS = 2 (16) (4) (81) +6 (8) +7 (9) t + = 2703 Таким чином, точка (2, -3) не лежить на заданій кривій. Докладніше »

9 = e ^ (y ^ 2-y) / e ^ x + y - xy 9 = e ^ (y ^ 2-y) * e ^ (- x) + y - xy 9 = e ^ (y ^ 2- yx) + y - xy Диференціювати по x. Похідна експоненти є сама по собі похідною експонента. Пам'ятайте, що всякий раз, коли ви диференціюєте щось, що містить y, правило ланцюга дає вам коефіцієнт y '. 0 = e ^ (y ^ 2-yx) (2yy '-y'-1) + y' - (xy '+ y) 0 = e ^ (y ^ 2-yx) (2yy' -y'-1) + y '- xy'-y Тепер вирішуйте для y'. Ось початок: 0 = 2yy'e ^ (y ^ 2-yx) -y'e ^ (y ^ 2-yx) -e ^ (y ^ 2-yx) + y '- xy'-y Отримати всі терміни з y 'на лівій стороні. -2yy'e ^ (y ^ 2-y-x) + y' Докладніше »

Почніть з використання розподільчої власності. Нехай y = sqrtx (x - 4) Тоді y = xsqrtx - 4sqrtx = x ^ (3/2) - 4x ^ (1/2) Диференціюють за допомогою правила потужності. dy / dx = (3/2) x ^ (1/2) - 2x ^ (- 1/2) = (3/2) x ^ (1/2) - 2 / x ^ (1/2) = ( 3sqrtx / 2) - 2 / sqrtx Отримати загальний знаменник 2sqrtx, і ви отримаєте їх відповідь. Докладніше »

Int e ^ x cos (x) "d" x = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + CI = int e ^ x cos (x) "d" x ми будемо використовувати інтеграцію за частинами, що вказує, що int u (d) v = uv-int v "d" u. Використовуйте інтеграцію за частинами, з u = e ^ x, du = e ^ x "d" x, "d" v = cos (x) "d" x, і v = sin (x): I = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) "d" x Використовуйте інтеграцію за частинами знову до другого інтеграла, з u = e ^ x, "d" u = e ^ x "d" x " d "v = sin (x)" d "x, і v = -cos (x): I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos ( Докладніше »

0 "Це питання некоректно, оскільки" 0.93969 "є поліномом ступеня 0, який виконує завдання." "Калькулятор обчислює значення cos (x) через серію Taylor." "Ряд Тейлора cos (x):" 1 - x ^ 2 / (2!) + X ^ 4 / (4!) - x ^ 6 / (6!) + ... "Що потрібно знати полягає в тому, що кут, який ви заповнюєте в цій серії, "" повинен бути в радіанах. Отже 20 ° = "pi / 9 = 0.349 ..." rad. " "Щоб мати швидкий конвергентний ряд | x | повинен бути меншим за 1," "за перевагою менше ніж 0,5." "У нас є шанс, оскільки це так. У іншому випадку ми повинні Докладніше »

Див нижче: Перший крок - знаходження першої похідної f. f (x) = 6x-x ^ 2 f '(x) = 6-2x Отже: f' (- 1) = 6 + 2 = 8 Значення значення 8 полягає в тому, що це градієнт f, де x = - 1. Це також градієнт дотичної лінії, яка торкається графа f в цій точці. Отже, наша лінійна функція в даний час y = 8x Однак, ми також повинні знайти y-перехоплення, але для цього нам також потрібна координата y точки, де x = -1. Підключіть x = -1 до f. f (-1) = - 6- (1) = - 7 Отже точка на дотичній лінії (-1, -7) Тепер, використовуючи формулу градієнта, можна знайти рівняння лінії: градієнт = (Deltay) ) / (Deltax) Отже: (y - (- 7)) / (x - ( Докладніше »

Dy / dx = -1.5 Спочатку знаходимо d / dx кожного терміна. d / dx [xy ^ 2] -d / dx [(1-xy) ^ 2] = d / dx [C] d / dx [x] y ^ 2 + d / dx [y ^ 2] x-2 ( 1-xy) d / dx [1-xy] = 0 y ^ 2 + d / dx [y ^ 2] x-2 (1-xy) (d / dx [1] -d / dx [xy]) = 0 y ^ 2 + d / dx [y ^ 2] x-2 (1-xy) (- d / dx [x] y + d / dx [y] x) = 0 y ^ 2 + d / dx [y ^ 2] x-2 (1-xy) (- y + d / dx [y] x) = 0 Правило ланцюга говорить нам: d / dx = d / dy * dy / dx y ^ 2 + dy / dx d / dy [y ^ 2] x-2 (1-xy) (- y + dy / dxd / dy [y] x) = 0 y ^ 2 + dy / dx 2yx-2 (1-xy) (- y + dy / dx x) = 0 dy / dx 2yx-2 (1-x) dy / dx x = -y ^ 2-2y (1-xy) dy / dx (2yx-2x (1-x)) = - y ^ 2-2y Докладніше »

"Див. Пояснення" a_n = ((1 + 3 / n) ^ 4) ^ n = (((1 + 3 / n) ^ 2) ^ 2) ^ n = ((1 + 6 / n + 9 / n ^ 2) ^ 2) ^ n = (1 + 36 / n ^ 2 + 81 / n ^ 4 + 12 / n + 18 / n ^ 2 + 108 / n ^ 3) ^ n = (1 + 12 / n + 54) / n ^ 2 + 108 / n ^ 3 + 81 / n ^ 4) ^ n "Зазначимо, що тут можна легше застосувати межу Ейлера:" lim_ {n-> oo} (1 + 1 / n) ^ n = e = 2.7182818 .... => lim_ {n-> oo} (1 + 3 / n) ^ (12 * n / 3) = e ^ 12 = 162754.79 .... "Таким чином, послідовність зростає дуже велика, але не нескінченно велика, тому вона "" зближується. " Докладніше »

"Порівняйте його з" sum_ {n = 0} ^ oo 1 / (n!) = Exp (1) = e = 2.7182818 ... "Кожен член дорівнює або менше" sum_ {n = 0} ^ oo 1 / (n!) = Exp (1) = e = 2.7182818 ... "Всі терміни є позитивними, тому сума S серії знаходиться між" 0 <S <e = 2.7182818 .... "Таким чином, серія абсолютно конвергентний. " Докладніше »

Див. Нижче Перший крок - знаходження другої похідної функції f (x) = 2x ^ 4-e ^ (8x) f '(x) = 8x ^ 3-8e ^ (8x) f' '(x) = 24x ^ 2-64e ^ (8x) Тоді ми повинні знайти значення x, де: f '' (x) = 0 (я використовував калькулятор для вирішення цього) x = -0.3706965 Отже, при заданому значенні x, друга похідна 0. Однак для того, щоб вона була точкою перегину, має бути зміна знака навколо цього значення x. Отже, ми можемо підключити значення до функції і подивитися, що відбувається: f (-1) = 24-64e ^ (- 8) визначено позитивно як 64e ^ (- 8) дуже мало. f (1) = 24-64e ^ (8) визначено негативно, оскільки 64e ^ 8 дуж Докладніше »

V = (2pi) / 15 Спочатку нам знадобляться точки, де x та x ^ 2 зустрічаються. x = x ^ 2 x ^ xx = 0 x (x-1) = 0 x = 0 або 1 Отже, наші межі 0 і 1. Коли ми маємо дві функції для обсягу, використовуємо: V = piint_a ^ b (f) (x) ^ 2-g (x) ^ 2) dx V = piint_0 ^ 1 (x ^ 2-x ^ 4) dx V = pi [x ^ 3/3-x ^ 5/5] _0 ^ 1 V = pi (1 / 3-1 / 5) = (2pi) / 15 Докладніше »

Y '= (2x-3) (3x ^ 2 + 4) +2 (x + 5) (3x ^ 2 + 4) + 6x (2x-3) (x + 5) y' = 24x ^ 3 + 63x ^ 2-74x + 28 Якщо y = uvw, де u, v і w - всі функції x, то: y '= uvw' + uv'w + u'vw (Це можна знайти, виконавши ланцюгове правило з двома функції, заміщені як одиниці, тобто внесення uv = z) u = x + 5 u '= 1 v = 2x-3 v' = 2 w = 3x ^ 2 + 4 w '= 6x y' = (2x-3) (3x) ^ 2 + 4) +2 (x + 5) (3x ^ 2 + 4) + 6x (2x-3) (x + 5) y '= 6x ^ 3 + 8x-9x ^ 2-12 + 6x ^ 3 + 8x + 30x ^ 2 + 40 + 12x ^ 3 + 60x ^ 2-18x ^ 2-90x y '= 24x ^ 3 + 63x ^ 2-74x + 28 Докладніше »

Dy / dx = - (yx (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (- 1/2) -1-2y ^ -1) / (xy ^ -2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1 / 2) + y ^ 2 (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (- 1/2)) Добре, це дуже довгий. Я зрозумію кожен крок, щоб полегшити, а також не комбінував кроки, щоб ви знали, що відбувається. Почати з: 2xy ^ -1 = y (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2) -x Спочатку беремо d / dx кожного терміна: 2. d / dx [2xy ^ -1] = d / dx [y (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2)] - d / dx [x] 3. d / dx [2 x] y ^ -1 + xd / dx [y ^ -1] = d / dx [y] (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2) + yd / dx [(x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2)] - d / dx [x] 4. 2y ^ -1 + xd / dx [y ^ -1] = d / dx [y] (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2) + (y (x ^ 2 + y ^ 2) ^ ( - Докладніше »

Y = 11.2x-20.2 Або y = (5e ^ (3/2)) / 2x-2e ^ (3/2) y = e ^ (3/2) ((5x) / 2-2) Ми маємо: f (x) = (x ^ 2e ^ x) ^ (1/2) f '(x) = (x ^ 2e ^ x) ^ (- 1/2) / 2 * d / dx [x ^ 2e ^ x] f '(x) = (x ^ 2e ^ x) ^ (- 1/2) / 2 * (2xe ^ x + x ^ 2e ^ x) f' (x) = ((2xe ^ x + x ^ 2e ^ x) (x ^ 2e ^ x) ^ (- 1/2)) / 2 f '(x) = (2xe ^ x + x ^ 2e ^ x) / (2 (x ^ 2e ^ x) ^ (1 / 2)) = (2xe ^ x + x ^ 2e ^ x) / (2sqrt (x ^ 2e ^ x)) f '(3) = (2 (3) e ^ 3 + 3 ^ 2e ^ 3) / (2sqrt) (3 ^ 2e ^ 3)) = (5e ^ (3/2)) / 2 ~~ 11.2 y = mx + cf (3) = sqrt (9e ^ 3) = 3e ^ (3/2) ~~ 13.4 13.4 = 11.2 (3) + cc = 13.4-11.2 (3) = - 20.2 y = 11.2x-20.2 Аб Докладніше »

F '(x) = (5e ^ x + sec ^ 2x) (x ^ 2-2x) + (5e ^ x + tanx) (2x-2) Для f (x) = (5e ^ x + tanx) (x ^ 2-2x), знаходимо f '(x) шляхом: f' (x) = d / dx [5e ^ x + tanx] (x ^ 2-2x) + (5e ^ x + tanx) d / dx [x ^ 2-2x] f '(x) = (5e ^ x + sec ^ 2x) (x ^ 2-2x) + (5e ^ x + tanx) (2x-2) Докладніше »

F (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} Розглянемо деякі деталі. f (x) = arctanx f '(x) = 1 / {1 + x ^ 2} = 1 / {1 - (- x ^ 2)} Пам'ятайте, що геометрична потужність ряду 1 / {1-x} = sum_ { n = 0} ^ infty x ^ n шляхом заміни x на -x ^ 2, Rightarrow 1 / {1 - (- x ^ 2)} = sum_ {n = 0} ^ infty (-x ^ 2) ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} Отже, f '(x) = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} Інтегруючи, f (x) = int sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} dx, поставивши інтегральний знак всередині підсумовування, = sum_ {n = 0} ^ infty int (-1) ^ nx ^ {2n} dx по правилу потужності, = sum Докладніше »

Lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) = 0 Ми шукаємо: L = lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) І чисельник, і знаменник 2 rarr 0 як x rarr 0. Таким чином, межа L (якщо вона існує) має невизначену форму 0/0, і, отже, ми можемо застосувати правило L'Hôpital, щоб отримати: L = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin ( t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) Тепер, використовуючи фундаментальну теорему обчислення: d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt = sin (x ^ 2) А, d / dx sin (x ^ 2) = 2xcos (x ^ 2) А так: L = lim_ (x ra Докладніше »

:. F '(x) = (sqrtsinx) (cosx). F (x) = int_0 ^ sinx sqrttdt, оскільки intsqrttdt = intt ^ (1/2) dt = t ^ (1/2 + 1) / (1/2 + 1) = 2 / 3t ^ (3/2) + c,:. F (x) = [2 / 3t ^ (3/2)] _ 0 ^ sinx:. F (x) = 2 / 3sin ^ (3/2) x:. F '(x) = 2/3 [{(sinx)} ^ (3/2)]' Використовуючи правило ланцюга, F '(x) = 2/3 [3/2 (sinx) ^ (3 / 2- 1)] d / dx (sinx) = (sinx) ^ (1/2) (cosx):. F '(x) = (sqrtsinx) (cosx). Насолоджуйтесь математикою! Докладніше »

12 Ми можемо розширювати куб: (2 + h) ^ 3 = 8 + 12h + 6h ^ 2 + h ^ 3 Вмикаючи це, lim_ (hrightarrow 0) (8 + 12h + 6h ^ 2 + h ^ 3-8) / h = lim_ (hrightarrow 0) (12h + 6h ^ 2 + h ^ 3) / h = lim_ (hrightarrow 0) (12 + 6h + h ^ 2) = 12. Докладніше »

Frac {1} {2} Ліміт представляє невизначену форму 0/0. У цьому випадку, ви можете використовувати теорему де l'hospital, що вказує, що lim = frac {f (x)} {g (x)} = lim frac {f '(x)} {g' (x)} похідною чисельника є frac {1} {2sqrt (1 + h)} Хоча похідна знаменника просто 1. Отже, lim_ {x 0} frac {f '(x)} {g' (x)} = lim_ {x з 0} frac {frac {1} {2sqrt (1 + h)}} {1} = lim_ {x 0} frac {1} {2sqrt ( 1 + h)} І таким чином просто frac {1} {2sqrt (1)} = frac {1} {2} Докладніше »

Почніть з факторингу чисельника: = lim_ (x-> 2) (((x + 3) (x-2)) / (x-2)) Ми бачимо, що термін (x - 2) скасовується. Таким чином, ця межа еквівалентна: = lim_ (x-> 2) (x + 3) Тепер має бути легко побачити, яку межу оцінює: = 5 Давайте поглянемо на графік того, як буде виглядати ця функція , щоб побачити, чи відповідає наша відповідь: "діра" при x = 2 обумовлена (x - 2) терміном у знаменнику. Коли x = 2, цей член стає 0, і відбувається поділ на нуль, внаслідок чого функція невизначена при x = 2. Однак функція добре визначена скрізь, навіть коли вона дуже близька до x = 2. І, коли x стає надзвичайно близьким Докладніше »

= 3/5 Пояснення, Використовуючи знаходження лімітів алгебраїчно, = lim_ (x -> - 4) (x ^ 2 + 5x + 4) / (x ^ 2 + 3x-4), якщо підключити x = -4, отримаємо 0/0 форма = lim_ (x -> - 4) (x ^ 2 + 4x + x + 4) / (x ^ 2 + 4x-x-4) = lim_ (x -> - 4) (x (x +) 4) +1 (x + 4)) / (x (x + 4) -1 (x + 4)) = lim_ (x -> - 4) ((x + 4) (x + 1)) / (( x + 4) (x-1)) = lim_ (x -> - 4) ((x + 1)) / ((x-1)) = (- 3) / - 5 = 3/5 Докладніше »

Перший чинник знаменника ... (x ^ 3-64) / ((x-4) (x-4)) Тепер порівнюємо чисельник ... ((x-4) (x ^ 2 + 4x + 16)) / ((x-4) (x-4)) Розділіть чисельник і знаменник на x-4 ... (x ^ 2 + 4x + 16) / (x-4) Замініть всі x з обмеженням наближення (4) ... ((4) ^ 2 + 4 (4) +16) / ((4) -4) Об'єднати терміни ... 48/0 Межа наближається до нескінченності, оскільки поділ на 0 є невизначеним, але поділ на 0 також наближається нескінченність. Докладніше »

Це зменшується. Почнемо з виведення функції f, оскільки похідна функція f 'описує швидкість зміни f. f (x) = - 4x ^ 3 + 4x ^ 2 + 2x-1 f '(x) = - 12x ^ 2 + 8x + 2 Потім підключіть x = 2 до функції. f '(2) = - 12 (4) +8 (2) +2 f' (2) = - 48 + 18 f´ (2) = - 30 Отже, оскільки значення похідної є негативним, миттєва швидкість зміни в цій точці є негативною, тому функція f зменшується в цьому випадку. Докладніше »

F '(x) = (1 / (ln ((x + 4) / (ln (x ^ 2 + 4))))) ((1) / ((x + 4))). (((x 2 + 4) (ln (x ^ 2 + 4)) - (2x ^ 2 + 4x)) / ((x ^ 2 + 4) (ln (x ^ 2 + 4)))) f '(x) = (1 / (ln ((x + 4) / (ln (x ^ 2 + 4))))) (1 / ((x + 4) / (ln (x ^ 2 + 4))). (1) (ln (x ^ 2 + 4)) - (x + 4) (1) / ((x ^ 2 + 4)) (2x)) / ((ln (x ^ 2 + 4))) ^ 2) f '(x) = (1 / (ln ((x + 4) / (ln (x ^ 2 + 4))))) (ln (x ^ 2 + 4) / ((x + 4)) ((ln (x ^ 2 + 4) - (2x ^ 2 + 4x) / ((x ^ 2 + 4))) / ((ln (x ^ 2 + 4))) ^ 2) f '( x) = (1 / (ln ((x + 4) / (ln (x ^ 2 + 4))))) (скасувати (ln (x ^ 2 + 4)) / ((x + 4))). (((x ^ 2 + 4) (ln (x ^ 2 + 4)) - (2x ^ 2 + 4x)) / ((x Докладніше »

У випадку, якщо ви мали на увазі "тест на збіжність ряду: sum_ (n = 1) ^ (oo) 1 / ((2n + 1)!)" Відповідь: це колір (блакитний) "сходиться" Щоб з'ясувати, ми можемо використовувати тест співвідношення.Тобто, якщо "U" _ "n" є n ^ "th" членом цієї серії. Тоді, якщо, ми покажемо, що lim_ (nrarr + oo) abs ("U" _ ("n" +1) / "U "_n) <1 означає, що ряд збігається на іншому, якщо lim_ (nrarr + oo) abs ((" U "_" "n" +1)) / "U" _n)> 1, це означає, що серія розходиться У нашому випадку "U" _n = 1 / ((2 Докладніше »

Ln (abs (x / (x + 1))) + C Спочатку вираховуємо 2: int1 / (x ^ 2 + x) dx Потім факторизуем знаменник: int1 / (x (x + 1)) dx Нам потрібно розділити це на часткові частки: 1 = A (x + 1) + Bx Використовуючи x = 0, дає нам: A = 1 Тоді, використовуючи x = -1, дає нам: 1 = -B Використовуючи це, отримуємо: int1 / x-1 / (x + 1) dx int1 / xdx-int / (x + 1) dx ln (abs (x)) - ln (abs (x + 1 _) + C ln (abs (x / (x + 1))) + C Докладніше »

"Див. Пояснення" a = {dv} / dt => v = int a (t) dt = 16 t ^ 3 + t ^ 2 + 6 t + C v (0) = v_0 = -3 => C = -3 => v = 16 t ^ 3 + t ^ 2 + 6 t - 3 v = {ds} / dt "(v = швидкість) => s = int v (t) dt = 4 t ^ 4 + t ^ 3 / 3 + 3 t ^ 2 - 3 t + C s (0) = s_0 = 1 => C = 1 => s (t) = 4 т ^ 4 + т ^ 3/3 + 3 т ^ 2 - 3 т + 1 Докладніше »

Похідна 2Cos (x) - (1 / Cos ^ 2 (x)) - див. Нижче, як це зробити. Якщо f (x) = 2Sinx-Tan (x) Для синусної частини функції, похідна просто: 2Cos (x) Однак, Tan (x) є трохи більш складним - потрібно використовувати правило фактора. Нагадаємо, що Tan (x) = (Sin (x) / Cos (x)) Отже, можна використовувати коефіцієнт iff (x) = (Sin (x) / Cos (x)) Тоді f '(x) = (( Cos ^ 2 (x) - (- Sin ^ 2 (x)) / / (Cos ^ 2 (x))) Гріх ^ 2 (x) + Cos ^ 2 (x) = 1 f '(x) = 1 / (Cos ^ 2 (x)) Отже, повна функція стає f '(x) = 2Cos (x) - (1 / Cos ^ 2 (x)) Або f' (x) = 2Cos (x) -Sec ^ 2 ( x) Докладніше »

У більшості випадків існують два типи функцій, які мають горизонтальні асимптоти. Функції у факторній формі, чиї знаменники більші, ніж чисельники, коли x є великим позитивним або великим негативним. ex.) f (x) = {2x + 3} / {x ^ 2 + 1} (Як ви можете бачити, чисельник є лінійною функцією, зростає набагато повільніше, ніж знаменник, який є квадратичною функцією.) lim_ {x до pm infty} {2x + 3} / {x ^ 2 + 1}, розділивши чисельник і знаменник на x ^ 2, = lim_ {x на pm infty} {2 / x + 3 / x ^ 2} / { 1 + 1 / x ^ 2} = {0 + 0} / {1 + 0} = 0, що означає, що y = 0 - горизонтальна асимптота f. Функція у факторній формі, чисельні та зн Докладніше »

Похідна 3sqrt (x) / 2 - cot (x) csc (x) Похідна цієї функції є сумою похідних x ^ (3/2) і csc (x). Зверніть увагу, що sqrt (x) ^ 3 = x ^ (3/2) По правилу потужності, похідною першого є: 3/2 xx x ^ (3/2 -1) = 3sqrt (x) / 2 Похідна csx (x) -cot (x) csc (x) Отже, похідною даної функції є 3sqrt (x) / 2 - cot (x) csc (x). Докладніше »

Inte ^ (4t ^ 2-t) dt = (e ^ (4x ^ 2-x)) / (8x-1) -e ^ (33) / 23 Be f (x) = e ^ (4t ^ 2-t) ) Ваша функція. Щоб інтегрувати цю функцію, вам знадобиться її примітивний F (x) F (x) = (e ^ (4t ^ 2-t)) / (8t-1) + k з k константою. Інтеграція e ^ (4t ^ 2-t) на [3; x] обчислюється наступним чином: inte ^ (4t ^ 2-t) dt = F (x) -F (3) = (e ^ (4x ^) 2-x)) / (8x-1) + k - ((e ^ (4cdot3 ^ 2-3)) / (8cdot3-1) + k) = (e ^ (4x ^ 2-x)) / (8x -1) -e ^ (33) / 23 Докладніше »

Екстремуми для y = sin (x) cos (x) є x = pi / 4 + npi / 2 з n відносним цілим числом Be f (x) - функцією, що представляє зміну y з repsect до x. Be f '(x) - похідна f (x). f '(a) - нахил кривої f (x) у точці x = a. Коли нахил позитивний, крива збільшується. Коли нахил є негативним, крива зменшується. Коли нахил є нульовим, крива залишається на тому ж значенні. Коли крива досягне екстремуму, вона перестане збільшуватися / зменшуватися і починати зменшуватися / збільшуватися. Іншими словами, нахил переходить від позитивного до негативного чи негативного до позитивного проходження по нульовому значенню. Тому, якщо ви Докладніше »

4ln (abs (x + 2)) + 2ln (abs (x + 1)) + (x + 1) ^ - 1 + C Отже, спочатку запишемо це: (6x ^ 2 + 13x + 6) / ((x +2) (x + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 Крім того, отримуємо: (6x ^ 2 + 13x + 6) ) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + (B (x + 1) + C) / (x + 1) ^ 2 = (A (x + 1) ) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C)) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) 6x ^ 2 + 13x + 6 = A (x + 1) ^ 2+ (x + 2) (B (x + 1) + C) Використання x = -2 дає нам: 6 (-2) ^ 2 + 13 (-2) + 6 = A (-1) ^ 2 A = 4 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C) Потім, використовуючи x = -1, дає нам: 6 (-1) ^ 2 + 13 (-1) + 6 = CC = -1 6x ^ 2 + Докладніше »

Dy / dx = ((e ^ (x-2y)) ^ 2-y) / (2 (e ^ (x-2y)) ^ 2 + xy) Ми можемо написати це як: 2yx-y ^ 2 = (e ^ (x-2y)) ^ 2 Тепер візьмемо d / dx кожного терміна: d / dx [2yx] -d / dx [y ^ 2] = d / dx [(e ^ (x-2y)) ^ 2 ] 2yd / dx [x] + xd / dx [2y] -d / dx [y ^ 2] = 2 (e ^ (x-2y)) d / dx [e ^ (x-2y)] 2yd / dx [ x] + xd / dx [2y] -d / dx [y ^ 2] = 2 (e ^ (x-2y)) d / dx [x-2y] e ^ (x-2y) 2yd / dx [x] + xd / dx [2y] -d / dx [y ^ 2] = 2 (e ^ (x-2y)) e ^ (x-2y) (d / dx [x] -d / dx [2y]) 2y + xd / dx [2y] -d / dx [y ^ 2] = 2 (e ^ (x-2y)) ^ 2 (1-d / dx [2y]) Використовуючи ланцюгове правило, отримуємо: d / dx = dy / dx * d / dy 2y + dy / d Докладніше »

За умови, що графік має відстань як функцію часу, нахил лінії, дотичної до функції в даній точці, представляє миттєву швидкість у цій точці. Щоб отримати уявлення про цей схил, необхідно використовувати межі. Для прикладу, припустимо, що задана функція відстані x = f (t), і бажано знайти миттєву швидкість або швидкість зміни відстані в точці p_0 = (t_0, f (t_0)), це допомагає спочатку розглянемо іншу сусідню точку, p_1 = (t_0 + a, f (t_0 + a)), де a - якась довільно мала константа. Нахил сеансової лінії, що проходить через графік у цих точках, є: [f (t_0 + a) -f (t_0)] / a Так як p_1 наближається до p_0 (що відбудеться як Докладніше »