Як вирішити для inte ^ xcosxdx?

Відповідь:

eint x e cos (x) "d" x = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

Пояснення:

# I = int e ^ x cos (x) t

Ми будемо використовувати інтеграцію по частинах, про що говориться #int u "d" v = uv-int v "d" u #.

Використання інтеграції по частинах, с # u = e ^ x #, # du = e ^ x, # "d" v = cos (x), і # v = sin (x) #:

# I = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) t

Використовуйте інтеграцію за частинами знову до другого інтеграла, с # u = e ^ x #, # "d" u = e ^ x, # "d" v = sin (x) t, і # v = -cos (x) #:

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) t

Тепер, згадаємо, ми визначили # I = int e ^ x cos (x) t. Таким чином, наведене вище рівняння стає наступним (згадуючи додати константу інтеграції):

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -I + C #

# 2I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) + C = e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

# I = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

Відповідь:

Дивись нижче.

Пояснення:

Використання ідентичності de Moivre

# e ^ (ix) = cos x + i sin x # ми маємо

#int e ^ x cos x dx = "Re" int e ^ x (cos x + i sin x) dx = "Re" int e ^ (x + ix) dx #

але #int e ^ ((1 + i) x) dx = 1 / (1 + i) e ^ ((1 + i) x) = (1-i) / 2 e ^ x e ^ (ix) = #

# = (1-i) / 2e ^ x (cos x + isinx) = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + i1 / 2e ^ x (sinx -кокс) #

і, нарешті

#int e ^ x cos x dx = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + C #