Що таке мінімальне значення g (x) = (x-1) / (x ^ 2 + 4)? на інтервалі [-2,2]?

Відповідь:

Мінімальне значення - # x = 1-sqrt 5 прибл. "-" 1.236 #;

#g (1 - sqrt 5) = - (1+ sqrt 5) / (8) прибл. "-" 0.405 #.

Пояснення:

У закритому інтервалі можливі місця для мінімуму:

локальний мінімум всередині інтервалу, або

кінцеві точки інтервалу.

Тому ми обчислюємо та порівнюємо значення для #g (x) # у будь-якому #x у "-2", 2 # що робить #g '(x) = 0 #, а також на #x = "- 2" # і # x = 2 #.

Перше: що є #g '(x) #? Використовуючи правило частки, отримуємо:

#g '(x) = ((1) (x ^ 2 + 4) - (x-1) (2x)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

#color (білий) (g '(x)) = (x ^ 2 + 4-2x ^ 2 + 2x) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

#color (білий) (g '(x)) = - (x ^ 2-2x-4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

Це буде дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю. За квадратичною формулою отримуємо

# x ^ 2-2x-4 = 0 "" => "" x = 1 + -sqrt 5 приблизно {"-1.236", 3.236} #

Тільки один з них # x #-значення в #'-2',2#, і це є # x = 1-sqrt 5 #.

Тепер ми обчислюємо:

1. #g ("- 2") = ("-" 2-1) / (("- 2") ^ 2 + 4) = "- 3" / 8 = "-" 0.375 #

2. #g (1 - sqrt 5) = (1 - sqrt 5 -1) / ((1 - sqrt 5) ^ 2 + 4) = ("-" sqrt 5) / (1-2 кв. 5 + 5 + 4) #

#color (білий) (g (1 - sqrt 5)) = - (sqrt 5) / (10-2sqrt 5) = - (sqrt 5) / ((2) (5-sqrt5)) * колір (синій) ((5 + кв. 5) / (5+ кв. 5)) #

#color (білий) (g (1 - sqrt 5)) = - (5 + 5 кв. 5) / (2 * (25-5) #

#color (білий) (g (1 - sqrt 5)) = - (5 (1 + sqrt5)) / (40) = - (1 + sqrt 5) / (8) прибл. "-" 0,405 #

3. #g (2) = (2-1) / (2 ^ 2 + 4) = 1/8 = 0,125 #

Порівняння цих трьох значень #g (x) #, ми бачимо це #g (1-sqrt 5) # є найменшим. Тому # - (1+ кв. 5) / 8 # є нашим мінімальним значенням для #g (x) # на #'-'2, 2#.

Що таке мінімальне значення g (x) = x ^ 2-2x - 11 / x? на інтервалі [1,7]?

Функція постійно зростає в інтервалі [1,7], його мінімальне значення при х = 1. Очевидно, що x ^ 2-2x-11 / x не визначається при x = 0, однак він визначається в інтервалі [1,7]. Тепер похідна від x ^ 2-2x-11 / x є 2x-2 - (- 11 / x ^ 2) або 2x-2 + 11 / x ^ 2 і є позитивною протягом [1,7] Отже, функція безперервно зростає в інтервалі [1,7] і в якості такого мінімального значення x ^ 2-2x-11 / x в інтервалі [1,7] при x = 1. графік {x ^ 2-2x-11 / x [-40, 40, -20, 20]}

Яке мінімальне значення g (x) = x / csc (pi * x) на інтервалі [0,1]?

Існує мінімальне значення 0, розташоване як при x = 0, так і при x = 1. Спочатку ми можемо негайно записати цю функцію як g (x) = x / (1 / sin (pix)) = xsin (pix) Нагадуючи, що csc (x) = 1 / sin (x). Тепер, щоб знайти мінімальні значення на інтервалі, визнайте, що вони можуть відбуватися або в кінцевих точках інтервалу, або в будь-яких критичних значеннях, які відбуваються в межах інтервалу. Щоб знайти критичні значення в межах інтервалу, встановіть похідну функції, що дорівнює 0. І, щоб диференціювати функцію, нам доведеться використовувати правило продукту. Застосування правила продукту дає нам g '(x) = sin (pix) d /

Будь ласка, допоможіть!!! це множинний вибір. визначити мінімальне значення функції f (x) = e ^ (- x) -2e ^ x на інтервалі -1 x 2.

Відповідь є мінімальним на інтервалі f (2) = e ^ 2} -2e ^ 2, який насправді не є вибором, але (c) є гарним наближенням. f (x) = e ^ x} - 2e ^ x f '(x) = - e ^ x} - 2 e ^ x Ця похідна є явно негативною всюди, тому функція зменшується протягом інтервалу. Таким чином, його мінімальне значення f (2) = e ^ 2} -2e ^ 2. Якби я був прихильником (який я є), то я б не відповів ні на одне з вищевикладеного, тому що не існує способу, яким трансцендентальна кількість може дорівнювати одному з цих раціональних цінностей. Але ми піддаємося культурі апроксимації і виходимо з калькулятора, який каже f (2) прибл.