Яке мінімальне значення g (x) = x / csc (pi * x) на інтервалі [0,1]?

Відповідь:

Є мінімальне значення #0# розташовані як на # x = 0 # і # x = 1 #.

Пояснення:

По-перше, ми можемо негайно написати цю функцію як

#g (x) = x / (1 / sin (pix)) = xsin (pix) #

Згадуючи це #csc (x) = 1 / sin (x) #.

Тепер, щоб знайти мінімальні значення на інтервалі, визнайте, що вони можуть відбуватися або в кінцевих точках інтервалу, або в будь-яких критичних значеннях, які відбуваються в межах інтервалу.

Щоб знайти критичні значення в межах інтервалу, встановіть похідну функції, що дорівнює #0#.

І, щоб диференціювати функцію, нам доведеться скористатися правило продукту. Застосування правила продукту дає нам

#g '(x) = sin (pix) d / dx (x) + xd / dx (sin (pix)) #

Кожен з цих похідних дає:

# d / dx (x) = 1 #

І, через правило ланцюга:

# d / dx (sin (pix)) = cos (pix) * underbrace (d / dx (pix)) _ (= pi) = picos (pix) #

Об'єднуючи ці, ми бачимо це

#g '(x) = sin (pix) + pixcos (pix) #

Таким чином, критичні значення відбуватимуться кожного разу

#sin (pix) + pixcos (pix) = 0 #

Ми не можемо вирішити це алгебраїчно, тому використовуйте калькулятор, щоб знайти всі нулі цієї функції на заданому інтервалі #0,1#:

граф {sin (pix) + pixcos (pix) -.1, 1.1, -3, 2.02}

Дві критичні значення в межах інтервалу знаходяться на # x = 0 # і # xapprox0.6485 #.

Отже, ми знаємо, що мінімальне значення #g (x) # може статися в #3# різні місця:

# x = 0 # або # x = 1 #, кінцеві точки інтервалу
# x = 0 # або # x = 0.6485 #, критичні значення в межах інтервалу

Тепер підключіть кожен із цих можливих значень до інтервалу:

# {(g (0) = 0, колір (червоний) текст (мінімум)), (g (0.6485) = 0.5792, колір (синій) текст (максимум)), (g (1) = 0, колір (червоний)) текст (мінімум)):} #

Оскільки існують два значення, які однаково низькі, є мінімуми обох # x = 0 # і # x = 1 #. Зверніть увагу, що, навіть якщо ми пройшли через знаходження проблеми # x = 0.6485 #Це не було навіть мінімумом.

Graphed є #g (x) # на інтервалі #0,1#:

графік {x / csc (pix) -05, 1.01, -.1,.7}

Також зверніть увагу, що мінімальним значенням є #0#, з #g (0) = g (1) = 0 #. Різниця в тому, що # x = 0 # і # x = 1 # є розташування мінімумів.

Що таке мінімальне значення g (x) = (x-1) / (x ^ 2 + 4)? на інтервалі [-2,2]?

Мінімальне значення при x = 1-sqrt 5 прибл. "-" 1.236; g (1 - sqrt 5) = - (1+ sqrt 5) / (8) прибл. "-" 0,405. У закритому інтервалі можливі місця для мінімуму будуть: локальний мінімум всередині інтервалу або кінцеві точки інтервалу. Тому ми обчислюємо і порівнюємо значення g (x) при будь-якому x в ["-2", 2], що становить g '(x) = 0, а також при x = "- 2" і x = 2. Перше: що таке g '(x)? Використовуючи правило частки, отримуємо: g '(x) = ((1) (x ^ 2 + 4) - (x-1) (2x)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 колір (білий) ( g '(x)) = (x ^ 2 + 4-2x ^ 2 + 2x) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 колір (білий) (g

Що таке мінімальне значення g (x) = x ^ 2-2x - 11 / x? на інтервалі [1,7]?

Функція постійно зростає в інтервалі [1,7], його мінімальне значення при х = 1. Очевидно, що x ^ 2-2x-11 / x не визначається при x = 0, однак він визначається в інтервалі [1,7]. Тепер похідна від x ^ 2-2x-11 / x є 2x-2 - (- 11 / x ^ 2) або 2x-2 + 11 / x ^ 2 і є позитивною протягом [1,7] Отже, функція безперервно зростає в інтервалі [1,7] і в якості такого мінімального значення x ^ 2-2x-11 / x в інтервалі [1,7] при x = 1. графік {x ^ 2-2x-11 / x [-40, 40, -20, 20]}

Будь ласка, допоможіть!!! це множинний вибір. визначити мінімальне значення функції f (x) = e ^ (- x) -2e ^ x на інтервалі -1 x 2.

Відповідь є мінімальним на інтервалі f (2) = e ^ 2} -2e ^ 2, який насправді не є вибором, але (c) є гарним наближенням. f (x) = e ^ x} - 2e ^ x f '(x) = - e ^ x} - 2 e ^ x Ця похідна є явно негативною всюди, тому функція зменшується протягом інтервалу. Таким чином, його мінімальне значення f (2) = e ^ 2} -2e ^ 2. Якби я був прихильником (який я є), то я б не відповів ні на одне з вищевикладеного, тому що не існує способу, яким трансцендентальна кількість може дорівнювати одному з цих раціональних цінностей. Але ми піддаємося культурі апроксимації і виходимо з калькулятора, який каже f (2) прибл.